人教新课标A版 高中数学必修3 第二章统计 2.3变量间的相关关系
一、单选题
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )
A．正方形的面积与周长
B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
2．下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
3．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）
4．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
A． B． C． D．
5．设有一个直线回归方程为 ，则变量x 增加一个单位时( )
A．y 平均增加 1.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位
C．y 平均减少 1.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位
6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上
C．身高在145.83cm以下 D．身高在145.83cm左右
7．对变量x， y 有观测数据（，）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断( )
图1 图2
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
8．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）体内脂肪含量之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）红橙的产量与气候之间的关系；（4）学生与他（她）的学号之间的关系．其中有相关关系的是（ ）
A．（1）、（2） B．（1）、（3）
C．（1）、（4） D．（3）、（4）
9．某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6
支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根据统计资料，则（ ）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
10．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且=2.347x-6.423； ②y与x负相关且=-3.476x+5.648；
③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
11． 已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与 正相关
12．下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②用相关指数可以刻画回归的效果，R2值越小说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
13．已知x与y之间的一组数据
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程=bx+必过点（ ）
A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）
14．（2016高一下·黄山期末）已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7
且回归直线方程为 =bx+2.6，根据模型预报当x=6时，y的预测值为（ ）
A．5.76 B．6.8 C．8.3 D．8.46
15．（2016高二下·南阳期末）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4
C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4
二、填空题
16．给出下列关系：①正方形的面积与边长；②人的身高与体重；③匀速行驶车辆的行驶距离与时间；④球的半径与体积．其中有相关关系的是
17．在5个点组成的散点图中，已知点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），则去掉点 后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大．
18．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为 ，残差平方和为 ，相关指数为
19．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：
①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；
②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；
③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；
④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．
20．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a=
价格x（元） 9 9.5 10 10.5 11
销售量y（件） 11 10 8 6 5
三、解答题
21．某产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 3 4 6 5 7
（1）画出散点图
（2）求回归直线方程．
22．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+；
（Ⅲ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
（参考数据：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）
23．某工厂的某产品产量与单位成本的资料如表所示：
产量x千件 2 4 5 6 8
单位成本y元/件 30 40 60 50 70
请画出散点图并从图中判断产品产量与单位成本成什么样的关系？
24．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
25．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒） 8 10 12 14 16
每小时生产有缺点的零件数y（件） 5 7 8 9 11
（1）如果y对x有线性相关关系，求回归方程；
（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】正方形的面积与周长具有确定的函数关系，匀速行驶车辆的行驶路程与时间也具有确定的函数关系，人的身高与体重具有相关关系，而人的身高与视力不具备相关关系.
2．【答案】D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系．
名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，乌鸦叫丧则没有必然的关系．
故选D．
【分析】根据两个变量之间的相关关系，分别进行判断．
3．【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】（1）中各点都在一条直线上，所以这两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
（2）、（4）所示的散点图中，样本点成带状分布，这两组变量具有线性相关关系；
（3）所示的散点图中，样本点成团状分别，不是带状分布，所以这两个变量不具线性相关关系．
综上，具有线性相关关系的是（2）和（4）．
故选：C．
【分析】根据散点图中样本点成带状分布，这样的变量具有线性相关关系，由此判断题目中的选项是否符合条件即可。
4．【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；
C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；
D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．
故选：B．
【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】回归方程，变量x增加一个单位时，变量平均变化[2-1.5（x+1)]-（2-1.5x)=-1.5，∴变量平均减少1.5个单位，故选C．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点。
6．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】当x=10时，y=145.83cm，所以身高在145.83cm左右，选D。
【分析】有线性回归直线方程求出的y值只是一个约数，而不是确切的值，我们要注意。
7．【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x 与y 负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u 与v 正相关，故选C
【分析】熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题。
8．【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
（2），（4）是一种函数关系，
∴具有相关关系的有：（1）（3），
故选：B．
【分析】相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（2）（4）是一种函数关系，（1）（3）的两个变量具有相关性．
9．【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，
故选：C．
【分析】月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．
10．【答案】D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】因为若，则时，表示与正相关，当时，表示与负相关；所以可知①④错误，选D.
11．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】 【解答】因为变量和满足关系,其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设,则将代人即可得到：,所以,所以与负相关 ，综上可知，应选A.
【分析】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.
12．【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】对于①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，
∴命题①正确；
对于②，用相关指数可以刻画回归的效果，R2值越大说明模型的拟合效果越好，
∴命题②错误；
对于③，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好，
∴命题③正确．
综上，正确的命题是①③．
故选：C．
【分析】①残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②用相关指数刻画回归的效果时，R2值越大说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型拟合效果越好。
13．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，
∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）
故选：B．
【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．
14．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得 = （0+1+2+3+4）=2， = （2.2+4.3+4.5+4.8+6.7）=4.5，
则样本中心为（2，4.5），
∵回归直线方程为 =bx+2.6，过样本中心，
∴2b+2.6=4.5，
即2b=4.5﹣2.6=1.9，
即b=0.95，
则方程为 =0.95x+2.6，
当x=6时，y=0.95×6+2.6=8.3，
故选：C．
【分析】根据平均数的定义计算出样本中心，代入方程求出b即可得到结论．
15．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
16．【答案】②
【知识点】线性相关
【解析】【解答】①正方形的面积与边长是函数关系；
②一般来说，人的身高越高，体重相应的越重，所以人的身高与体重具有相关关系；
③匀速行驶车辆的行驶距离与时间之间的关系是函数关系；
④球的半径与体积之间的关系是函数关系．
故答案为②.
【分析】逐一分析题目给出的四个关系，运用数学知识可知①③④中的两个量具有函数关系，只有②符合相关关系。
17．【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】仔细观察点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），
可知点A、B、D、E在一直线上，
直线方程为，
整理，得x﹣y+2=0．
而C点不在此直线上，
∴去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大．
故选C．
【分析】仔细观察点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），可知点A、B、D、E在一直线上，而C点不在此直线上，由此可知去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大。
18．【答案】0；0；1
【知识点】散点图
【解析】【解答】若散点图的所有点都在一条直线上，
则残差为0，残差平方和为0，相关指数为1，
故答案为：0，0，1．
【分析】根据残差，残差平方和，和相关指数的定义和性质即可得到结论。
19．【答案】①③④
【知识点】线性相关
【解析】【解答】相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；
由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；
由残差图的定义可③正确；
在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．
故答案：①③④.
【分析】利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析。
20．【答案】40
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，
∵线性回归直线方程是=﹣3.2x+，
∴8=﹣3.2×10+a
∴a=40
故答案为：40
【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论．
21．【答案】解：（1）由题意，画出散点图，如图所示：
（2）计算平均数为=（2+4+5+6+8）=5，
=（3+4+6+5+7）=5；
∴回归直线的系数==0.85，
∴=﹣=5﹣0.85×5=0.75；
∴y关于x的线性回归方程是=0.85x+0.75．
【知识点】散点图
【解析】【分析】（1）根据题意，画出散点图即可；
（2）计算平均数、，求出回归直线的系数与，写出线性回归方程。
22．【答案】解：（I）表中数据的散点图如下图所示：
（II）∵b==1.23
∵=4，=5，
∴样本中心点的坐标是（4，5）
∴5=4×1.23+a
∴a=0.08，
∴线性回归方程是y=1.23x+0.08，
（III）当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38
∴使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元
【知识点】散点图
【解析】【分析】（I）由已知中某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）的统计表中数据，易画出数据的散点图；
（Ⅱ）根据所给的样本中心点和两个最小二乘法要用的和式，写出b的表示式，求出结果，再代入样本中心点求出a，写出线性回归方程；
（III）根据（II）中所得的线性回归方程，代入x=10求出预报值，即使用年限为10年时，维修费用的估算值。
23．【答案】解：根据所给的五组数据写出五个有序数对：
（2，30）、（4，40）、（5，60）、（6，50）、（8，70），
以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，
所作的散点图如图所示．
观察散点图呈带状分布，
从图中可以发现单位成本与产品产量之间具有相关关系，
并且当单位成本由小到大时，
产品产量也由小变大，
图中的数据大致分布在某条直线的附近．
【知识点】散点图
【解析】【分析】以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，作出散点图，从图中可以发现单位成本与产品产量之间具有相关关系，并且当单位成本由小到大时，产品产量也由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近。
24．【答案】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）==5，
==50
又已知．
于是可得：==
=-=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【知识点】线性相关
【解析】【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额。
25．【答案】解：（1）=12，=8，
40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，
64+100+144+196+256﹣5×144=40，
∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4
∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；
（2）由(1)可知0.7x﹣0.4≤10，
解得x≤14.85．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修3 第二章统计 2.3变量间的相关关系
一、单选题
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )
A．正方形的面积与周长
B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间
C．人的身高与体重
D．人的身高与视力
【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】正方形的面积与周长具有确定的函数关系，匀速行驶车辆的行驶路程与时间也具有确定的函数关系，人的身高与体重具有相关关系，而人的身高与视力不具备相关关系.
2．下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．瑞雪兆丰年 B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【答案】D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系．
名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，乌鸦叫丧则没有必然的关系．
故选D．
【分析】根据两个变量之间的相关关系，分别进行判断．
3．在下列各图中，图中两个变量具有相关关系的图是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）
【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】（1）中各点都在一条直线上，所以这两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
（2）、（4）所示的散点图中，样本点成带状分布，这两组变量具有线性相关关系；
（3）所示的散点图中，样本点成团状分别，不是带状分布，所以这两个变量不具线性相关关系．
综上，具有线性相关关系的是（2）和（4）．
故选：C．
【分析】根据散点图中样本点成带状分布，这样的变量具有线性相关关系，由此判断题目中的选项是否符合条件即可。
4．在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】散点图
【解析】【解答】A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
对照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正相关关系；
C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是负相关关系；
D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显．
故选：B．
【分析】观察两个变量的散点图，样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，
若带状从左向右上升，是正相关，下降是负相关，由此得出正确的选项。
5．设有一个直线回归方程为 ，则变量x 增加一个单位时( )
A．y 平均增加 1.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位
C．y 平均减少 1.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】回归方程，变量x增加一个单位时，变量平均变化[2-1.5（x+1)]-（2-1.5x)=-1.5，∴变量平均减少1.5个单位，故选C．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点。
6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上
C．身高在145.83cm以下 D．身高在145.83cm左右
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】当x=10时，y=145.83cm，所以身高在145.83cm左右，选D。
【分析】有线性回归直线方程求出的y值只是一个约数，而不是确切的值，我们要注意。
7．对变量x， y 有观测数据（，）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断( )
图1 图2
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x 与y 负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u 与v 正相关，故选C
【分析】熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题。
8．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）体内脂肪含量之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）红橙的产量与气候之间的关系；（4）学生与他（她）的学号之间的关系．其中有相关关系的是（ ）
A．（1）、（2） B．（1）、（3）
C．（1）、（4） D．（3）、（4）
【答案】B
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
（2），（4）是一种函数关系，
∴具有相关关系的有：（1）（3），
故选：B．
【分析】相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，（2）（4）是一种函数关系，（1）（3）的两个变量具有相关性．
9．某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6
支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根据统计资料，则（ ）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
【答案】C
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，
故选：C．
【分析】月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．
10．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且=2.347x-6.423； ②y与x负相关且=-3.476x+5.648；
③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】因为若，则时，表示与正相关，当时，表示与负相关；所以可知①④错误，选D.
11． 已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与 正相关
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】 【解答】因为变量和满足关系,其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设,则将代人即可得到：,所以,所以与负相关 ，综上可知，应选A.
【分析】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.
12．下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②用相关指数可以刻画回归的效果，R2值越小说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】对于①，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，
∴命题①正确；
对于②，用相关指数可以刻画回归的效果，R2值越大说明模型的拟合效果越好，
∴命题②错误；
对于③，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好，
∴命题③正确．
综上，正确的命题是①③．
故选：C．
【分析】①残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②用相关指数刻画回归的效果时，R2值越大说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型拟合效果越好。
13．已知x与y之间的一组数据
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则y与x的线性回归方程=bx+必过点（ ）
A．（2，2） B．（1.5，4） C．（1.5，0） D．（1，2）
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，
∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）
故选：B．
【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．
14．（2016高一下·黄山期末）已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：
x 0 1 2 3 4
y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7
且回归直线方程为 =bx+2.6，根据模型预报当x=6时，y的预测值为（ ）
A．5.76 B．6.8 C．8.3 D．8.46
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得 = （0+1+2+3+4）=2， = （2.2+4.3+4.5+4.8+6.7）=4.5，
则样本中心为（2，4.5），
∵回归直线方程为 =bx+2.6，过样本中心，
∴2b+2.6=4.5，
即2b=4.5﹣2.6=1.9，
即b=0.95，
则方程为 =0.95x+2.6，
当x=6时，y=0.95×6+2.6=8.3，
故选：C．
【分析】根据平均数的定义计算出样本中心，代入方程求出b即可得到结论．
15．（2016高二下·南阳期末）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4
C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：∵变量x与y正相关，
∴可以排除C，D；
样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，
故选：A．
【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．
二、填空题
16．给出下列关系：①正方形的面积与边长；②人的身高与体重；③匀速行驶车辆的行驶距离与时间；④球的半径与体积．其中有相关关系的是
【答案】②
【知识点】线性相关
【解析】【解答】①正方形的面积与边长是函数关系；
②一般来说，人的身高越高，体重相应的越重，所以人的身高与体重具有相关关系；
③匀速行驶车辆的行驶距离与时间之间的关系是函数关系；
④球的半径与体积之间的关系是函数关系．
故答案为②.
【分析】逐一分析题目给出的四个关系，运用数学知识可知①③④中的两个量具有函数关系，只有②符合相关关系。
17．在5个点组成的散点图中，已知点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），则去掉点 后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大．
【答案】C
【知识点】散点图
【解析】【解答】仔细观察点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），
可知点A、B、D、E在一直线上，
直线方程为，
整理，得x﹣y+2=0．
而C点不在此直线上，
∴去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大．
故选C．
【分析】仔细观察点A（1，3），B（2，4），C（3，10），D（4，6），E（10，12），可知点A、B、D、E在一直线上，而C点不在此直线上，由此可知去掉点C后，使剩下的四点组成的数组相关系数最大。
18．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为 ，残差平方和为 ，相关指数为
【答案】0；0；1
【知识点】散点图
【解析】【解答】若散点图的所有点都在一条直线上，
则残差为0，残差平方和为0，相关指数为1，
故答案为：0，0，1．
【分析】根据残差，残差平方和，和相关指数的定义和性质即可得到结论。
19．利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：
①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；
②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；
③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；
④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．
【答案】①③④
【知识点】线性相关
【解析】【解答】相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；
由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；
由残差图的定义可③正确；
在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．
故答案：①③④.
【分析】利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析。
20．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a=
价格x（元） 9 9.5 10 10.5 11
销售量y（件） 11 10 8 6 5
【答案】40
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，
∵线性回归直线方程是=﹣3.2x+，
∴8=﹣3.2×10+a
∴a=40
故答案为：40
【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论．
三、解答题
21．某产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 3 4 6 5 7
（1）画出散点图
（2）求回归直线方程．
【答案】解：（1）由题意，画出散点图，如图所示：
（2）计算平均数为=（2+4+5+6+8）=5，
=（3+4+6+5+7）=5；
∴回归直线的系数==0.85，
∴=﹣=5﹣0.85×5=0.75；
∴y关于x的线性回归方程是=0.85x+0.75．
【知识点】散点图
【解析】【分析】（1）根据题意，画出散点图即可；
（2）计算平均数、，求出回归直线的系数与，写出线性回归方程。
22．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+；
（Ⅲ）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
（参考数据：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）
【答案】解：（I）表中数据的散点图如下图所示：
（II）∵b==1.23
∵=4，=5，
∴样本中心点的坐标是（4，5）
∴5=4×1.23+a
∴a=0.08，
∴线性回归方程是y=1.23x+0.08，
（III）当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38
∴使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元
【知识点】散点图
【解析】【分析】（I）由已知中某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）的统计表中数据，易画出数据的散点图；
（Ⅱ）根据所给的样本中心点和两个最小二乘法要用的和式，写出b的表示式，求出结果，再代入样本中心点求出a，写出线性回归方程；
（III）根据（II）中所得的线性回归方程，代入x=10求出预报值，即使用年限为10年时，维修费用的估算值。
23．某工厂的某产品产量与单位成本的资料如表所示：
产量x千件 2 4 5 6 8
单位成本y元/件 30 40 60 50 70
请画出散点图并从图中判断产品产量与单位成本成什么样的关系？
【答案】解：根据所给的五组数据写出五个有序数对：
（2，30）、（4，40）、（5，60）、（6，50）、（8，70），
以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，
所作的散点图如图所示．
观察散点图呈带状分布，
从图中可以发现单位成本与产品产量之间具有相关关系，
并且当单位成本由小到大时，
产品产量也由小变大，
图中的数据大致分布在某条直线的附近．
【知识点】散点图
【解析】【分析】以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，作出散点图，从图中可以发现单位成本与产品产量之间具有相关关系，并且当单位成本由小到大时，产品产量也由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近。
24．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
【答案】解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）==5，
==50
又已知．
于是可得：==
=-=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【知识点】线性相关
【解析】【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额。
25．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒） 8 10 12 14 16
每小时生产有缺点的零件数y（件） 5 7 8 9 11
（1）如果y对x有线性相关关系，求回归方程；
（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？
【答案】解：（1）=12，=8，
40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，
64+100+144+196+256﹣5×144=40，
∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4
∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；
（2）由(1)可知0.7x﹣0.4≤10，
解得x≤14.85．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
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