人教A版（2019）数学必修第二册 6.2平面向量的运算
一、单选题
1．（2019高一下·哈尔滨月考）在平行四边形 中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019高一下·雅安月考）如图所示，在正 中， 均为所在边的中点，则以下向量和 相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一下·铜梁月考）向量 化简后等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一下·铜梁月考）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为（ ）
A． B． C． D．
5．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）下列各式：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中结果为零向量的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020高一上·铜仁期末）在 中，点 为 边上一点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2018高一下·伊通期末）设 是不共线的两个向量，已知 ， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
8．（2019高一下·延边月考）已知 为非零不共线向量，向量 与 共线，则 （ ）
A． B． C． D．8
9．（2018高一下·平顶山期末）已知 分别为 的边 的中点，且 ，则① ；② ；③ ；④ 中正确的等式的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．（2018高一下·毕节期末）在矩形 中，若 与 交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 同步练习）向量 、 均为非零向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若向量 与 反向，且 ，则向量 与 的方向相同
B．若向量 与 反向，且 ，则向量 与 的方向相同
C．若向量 与 同向，则向量 与 的方向相同
D．若向量 与 的方向相同或相反，则 的方向必与 、 之一的方向相同
12．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高一下·铜梁月考）若 与 是互为相反向量,则 .
14．（2017高一上·武邑月考）化简： ．
15．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）梯形 中， ， 与 交于点 ，则 ．
16．（2017高一下·芮城期末）如图在平行四边形 中， 为 中点， ．(用 表示)
三、解答题
17．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）化简：
（1） ；
（2） .
18．化简3（﹣）+3（2+3）﹣（﹣）．
19．（2018高一下·新乡期末）如图，在 中， ， 是 的中点，设 ， .
（1）试用 ， 表示 ；
（2）若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 .
20．（2016高一下·武城期中）设两个非零向量 与 不共线．
（1）若 = + ， =2 +8 ， =3（ ﹣ ）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k + 和 +k 共线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】画出图像如下图所示.
对于A选项， 大小相等方向相反， ，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知， ，结论正确.对于C选项，由于 ，故结论错误.对于D选项， ，大小相等方向相反， ，结论正确.
故答案为：C.
【分析】利用相等向量、相反向量定义和平行四边形法则找出错误的结论。
2．【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】 与向量 ，方向不同，
与向量 不相等，
而向量 与 方向相同，长度相等，
，
故答案为：D.
【分析】利用向量相等的等价关系结合正三角形的性质找出和 相等的向量。
3．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】原式等于 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的加法运算，即可化简得结果.
4．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由向量的三角形法则， .
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的三角形法则，即可求出向量 .
5．【答案】D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】① ；② ；③ ；④ . 故答案为：D
【分析】根据题意结合向量加法与减法的运算法则，逐一运算即可得出结果。
6．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】由题 ,则
故答案为：A
【分析】利用向量的减法法则将 分解即可得到结论．
7．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】由题意 ，
则 ，
即 ，所以 ，所以 三点共线.
故答案为：D
【分析】根据三点共线的基本性质：两两相互构成的向量可以相互表示，由题意计算得到，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】 向量 与 共线，
存在实数 ，使得 ，即
又 为非零不共线向量，
，解得： ，
故答案为：C
【分析】由已知利用向量共线定理，设出，整理后列式，即可求出k的值.
9．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以（1）错误；因为 ，所以 正确；因为 ，所以 正确；因为 ，所以 正确.
故答案为：C
【分析】运用向量的加减运算法则计算可得答案。
10．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：在矩形 中，
，
，
错误，
由矩形的对角线相等，
得 成立，即 成立，
故答案为：C.
【分析】画出矩形ABCD，在图像上标记出向量，通过向量加减运算法则，即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】对于B，向量 与 的方向相同， 故答案为：B.
【分析】根据题意结合向量加法的几何意义即可得出结论。
12．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】，因为是的中点，，所以，
== ，
＝，故选C.
13．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为 与 是互为相反向量,所以 ，因此 .
故答案为
【分析】由已知利用相反向量的定义，即可得结果.
14．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】
【分析】减去一个向量可以转化为加上这个向量的相反向量，根据向量加法的三角形法则得到结果。
15．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】 ．
【分析】根据题意利用向量的加、减运算法则计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】
，故答案为
【分析】先将所要求得向量分为两个向量的和，再用已知向量分别表示这两个向量，即可求解.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的加法和减法的运算法则计算出结果即可。(2)根据题意由向量的加法和减法的运算法则计算出结果即可。
18．【答案】解：3（﹣）+3（2+3）﹣（﹣）=3﹣3+6+9﹣+=10+5．
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【分析】利用向量的加减法法则，即可得出结论。
19．【答案】（1）解： .
（2）解： ，
∴ ，
∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴ ，即
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】（1）运用三角形法则对向量进行转化得出答案。
（2）利用和进行求解。
20．【答案】（1）解：∵
= ，
∴ 与 共线
两个向量有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）∵ 和 共线，则存在实数λ，使得 =λ（ ），
即 ，
∵非零向量 与 不共线，
∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，
∴k=±1．
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．
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一、单选题
1．（2019高一下·哈尔滨月考）在平行四边形 中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】画出图像如下图所示.
对于A选项， 大小相等方向相反， ，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知， ，结论正确.对于C选项，由于 ，故结论错误.对于D选项， ，大小相等方向相反， ，结论正确.
故答案为：C.
【分析】利用相等向量、相反向量定义和平行四边形法则找出错误的结论。
2．（2019高一下·雅安月考）如图所示，在正 中， 均为所在边的中点，则以下向量和 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】 与向量 ，方向不同，
与向量 不相等，
而向量 与 方向相同，长度相等，
，
故答案为：D.
【分析】利用向量相等的等价关系结合正三角形的性质找出和 相等的向量。
3．（2019高一下·铜梁月考）向量 化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】原式等于 ，
故答案为：C.
【分析】利用向量的加法运算，即可化简得结果.
4．（2019高一下·铜梁月考）已知 为平行四边形，若向量 ， ，则向量 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】由向量的三角形法则， .
故答案为：C
【分析】由已知利用向量的三角形法则，即可求出向量 .
5．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）下列各式：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中结果为零向量的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】① ；② ；③ ；④ . 故答案为：D
【分析】根据题意结合向量加法与减法的运算法则，逐一运算即可得出结果。
6．（2020高一上·铜仁期末）在 中，点 为 边上一点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】由题 ,则
故答案为：A
【分析】利用向量的减法法则将 分解即可得到结论．
7．（2018高一下·伊通期末）设 是不共线的两个向量，已知 ， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】由题意 ，
则 ，
即 ，所以 ，所以 三点共线.
故答案为：D
【分析】根据三点共线的基本性质：两两相互构成的向量可以相互表示，由题意计算得到，即可得出答案。
8．（2019高一下·延边月考）已知 为非零不共线向量，向量 与 共线，则 （ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】 向量 与 共线，
存在实数 ，使得 ，即
又 为非零不共线向量，
，解得： ，
故答案为：C
【分析】由已知利用向量共线定理，设出，整理后列式，即可求出k的值.
9．（2018高一下·平顶山期末）已知 分别为 的边 的中点，且 ，则① ；② ；③ ；④ 中正确的等式的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以（1）错误；因为 ，所以 正确；因为 ，所以 正确；因为 ，所以 正确.
故答案为：C
【分析】运用向量的加减运算法则计算可得答案。
10．（2018高一下·毕节期末）在矩形 中，若 与 交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：在矩形 中，
，
，
错误，
由矩形的对角线相等，
得 成立，即 成立，
故答案为：C.
【分析】画出矩形ABCD，在图像上标记出向量，通过向量加减运算法则，即可得出答案。
11．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 同步练习）向量 、 均为非零向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若向量 与 反向，且 ，则向量 与 的方向相同
B．若向量 与 反向，且 ，则向量 与 的方向相同
C．若向量 与 同向，则向量 与 的方向相同
D．若向量 与 的方向相同或相反，则 的方向必与 、 之一的方向相同
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】对于B，向量 与 的方向相同， 故答案为：B.
【分析】根据题意结合向量加法的几何意义即可得出结论。
12．在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】，因为是的中点，，所以，
== ，
＝，故选C.
二、填空题
13．（2019高一下·铜梁月考）若 与 是互为相反向量,则 .
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】因为 与 是互为相反向量,所以 ，因此 .
故答案为
【分析】由已知利用相反向量的定义，即可得结果.
14．（2017高一上·武邑月考）化简： ．
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】
【分析】减去一个向量可以转化为加上这个向量的相反向量，根据向量加法的三角形法则得到结果。
15．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）梯形 中， ， 与 交于点 ，则 ．
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】 ．
【分析】根据题意利用向量的加、减运算法则计算出结果即可。
16．（2017高一下·芮城期末）如图在平行四边形 中， 为 中点， ．(用 表示)
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】
，故答案为
【分析】先将所要求得向量分为两个向量的和，再用已知向量分别表示这两个向量，即可求解.
三、解答题
17．（高中数学人教新课标A版必修4 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 同步练习）化简：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【分析】(1)根据题意由向量的加法和减法的运算法则计算出结果即可。(2)根据题意由向量的加法和减法的运算法则计算出结果即可。
18．化简3（﹣）+3（2+3）﹣（﹣）．
【答案】解：3（﹣）+3（2+3）﹣（﹣）=3﹣3+6+9﹣+=10+5．
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【分析】利用向量的加减法法则，即可得出结论。
19．（2018高一下·新乡期末）如图，在 中， ， 是 的中点，设 ， .
（1）试用 ， 表示 ；
（2）若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 .
【答案】（1）解： .
（2）解： ，
∴ ，
∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
∴ ，即
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减混合运算
【解析】【分析】（1）运用三角形法则对向量进行转化得出答案。
（2）利用和进行求解。
20．（2016高一下·武城期中）设两个非零向量 与 不共线．
（1）若 = + ， =2 +8 ， =3（ ﹣ ）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k + 和 +k 共线．
【答案】（1）解：∵
= ，
∴ 与 共线
两个向量有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）∵ 和 共线，则存在实数λ，使得 =λ（ ），
即 ，
∵非零向量 与 不共线，
∴k﹣λ=0且1﹣λk=0，
∴k=±1．
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．
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