高数统编版第一册 2.2 基本不等式同步训练
一、单选题
1．（2016高一上·青浦期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，
对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
故选：C．
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．
2．（2018·山东模拟）若 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，故 又因为 ，
故 的最小值为 。
故答案为：B.
【分析】利用2≤2a+b=4可得ab的取值范围，从而求得的最小值。
3．已知，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，故，所以选B
4．（人教新课标A版必修5数学3.4 基本不等式同步检测）用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】解答设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x× =2x（6﹣x），
∴当x=3时，y最大．
故选A．
分析：根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．
5．（2018高一下·包头期末）若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】令 ，则
，
当且仅当 ，即 时，
函数 的最小值为 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，通过拼凑法将（x-2）作为一个整体，变成，利用均值不等式的基本性质：，即可得出答案。
6．（2018高二上·宁阳期中）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． > B． ＋ ≤1
C． ≥2 D．a2＋b2≥8
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为a>0，b>0利用基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立，C不符合题意；由 得， ，A不符合题意； ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意； ，当且仅当 时等号成立，B不符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查基本不等式，由基本不等式及其变形即可得出结果.
二、填空题
7．（2019高一下·滁州月考）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵2x+y=1≥∴.
故答案为：
【分析】结合题意由2x+y的值,利用基本不等式可求得的最大值,进而求得xy的最大值.
8．（2018高二上·武邑月考）已知 ，则 取最小值是 ．
【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据题意，x＞0，则 2 2，
当且仅当x＝1时等号成立，
即 的最小值是2；
故答案为2．
【分析】根据已知条件利用基本不等式得出其最小值。
9．（2017高二下·荔湾期末）用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为 ．
【答案】8m3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，
则有8x+4y=24，即2x+y=6，
其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[ ]3=8m3，
当且仅当x=2时，等号成立；
即这个容器体积的最大值8m3；
故答案为：8m3．
【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．
10．（2017高一上·靖江期中）建造一个容积为4m3，深为1m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平米分别为160元和120元，则水池的最低总造价为 元．
【答案】1600
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设水池池底一边长为xm，另一边长为ym，总造价为z元，
则xy=4．
由题意z=160xy+120（2x+2y）×2=640+240（x+y）≥640+480 =1600，
当且仅当x=y=2时，水池总造价最低，最低总造价为1600元．
故答案为：1600
【分析】基本不等式，当且仅当a=b时不等式取得等号，是本题求最值所利用的知识点.
三、解答题
11．（2018高二上·通辽月考）已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，
求：
（1）xy的最小值；
（2）x＋y的最小值．
【答案】（1）解：由x＋4y－2xy＝0，得 又x＞0，y＞0，
则2＝ ≥2 ＝ ，得xy≥4，
当且仅当x＝4，y＝1时，等号成立．所以xy的最小值为4
（2）解：由(1)知
则x＋y＝ （ ）·(x＋y)＝ ≥
当且仅当x＝4且y＝1时等号成立，∴x＋y的最小值为
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知，结合基本不等式，即可求出最小值及此时x与y的取值；
（2）采用常数代换的方法，结合基本不等式，即可求出最小值.
12．（2018高二下·黄陵期末）已知 是全不相等的正实数，证明： .
【答案】证明：要证明
只需证明
又 全不相等， 命题得证
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】将不等式左边拆项，运用基本不等式，即可得出答案。
13．（2018高二上·宁阳期中）
（1）已知 ，求 的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）已知 ， ， ，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
【答案】（1）解：已知 ，
则： ，
故： ，
当且仅当： ，
解得： ，
即：当 时，y的最小值为7
（2）解：已知 ， ， ，
则： ，
解得： ，
即： ，
解得： ， 时，xy的最大值为6．
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
（2）首先根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
14．（2018高二下·滦南期末）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【答案】解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800．蔬菜的种植面积 所以 当 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】理解题意，列出等量关系式是本题的关键， 又ab=800为定值，故可以用基本不等式求s最大值。并注意到等号成立的条件。
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一、单选题
1．（2016高一上·青浦期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc
2．（2018·山东模拟）若 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．已知，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
4．（人教新课标A版必修5数学3.4 基本不等式同步检测）用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．（2018高一下·包头期末）若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2018高二上·宁阳期中）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． > B． ＋ ≤1
C． ≥2 D．a2＋b2≥8
二、填空题
7．（2019高一下·滁州月考）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为 ．
8．（2018高二上·武邑月考）已知 ，则 取最小值是 ．
9．（2017高二下·荔湾期末）用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为 ．
10．（2017高一上·靖江期中）建造一个容积为4m3，深为1m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平米分别为160元和120元，则水池的最低总造价为 元．
三、解答题
11．（2018高二上·通辽月考）已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，
求：
（1）xy的最小值；
（2）x＋y的最小值．
12．（2018高二下·黄陵期末）已知 是全不相等的正实数，证明： .
13．（2018高二上·宁阳期中）
（1）已知 ，求 的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）已知 ， ， ，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
14．（2018高二下·滦南期末）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，
对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
故选：C．
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．
2．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，故 又因为 ，
故 的最小值为 。
故答案为：B.
【分析】利用2≤2a+b=4可得ab的取值范围，从而求得的最小值。
3．【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，故，所以选B
4．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】解答设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x× =2x（6﹣x），
∴当x=3时，y最大．
故选A．
分析：根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】令 ，则
，
当且仅当 ，即 时，
函数 的最小值为 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，通过拼凑法将（x-2）作为一个整体，变成，利用均值不等式的基本性质：，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为a>0，b>0利用基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立，C不符合题意；由 得， ，A不符合题意； ，当且仅当 时，等号成立，D符合题意； ，当且仅当 时等号成立，B不符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查基本不等式，由基本不等式及其变形即可得出结果.
7．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵2x+y=1≥∴.
故答案为：
【分析】结合题意由2x+y的值,利用基本不等式可求得的最大值,进而求得xy的最大值.
8．【答案】2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据题意，x＞0，则 2 2，
当且仅当x＝1时等号成立，
即 的最小值是2；
故答案为2．
【分析】根据已知条件利用基本不等式得出其最小值。
9．【答案】8m3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，
则有8x+4y=24，即2x+y=6，
其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[ ]3=8m3，
当且仅当x=2时，等号成立；
即这个容器体积的最大值8m3；
故答案为：8m3．
【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．
10．【答案】1600
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：设水池池底一边长为xm，另一边长为ym，总造价为z元，
则xy=4．
由题意z=160xy+120（2x+2y）×2=640+240（x+y）≥640+480 =1600，
当且仅当x=y=2时，水池总造价最低，最低总造价为1600元．
故答案为：1600
【分析】基本不等式，当且仅当a=b时不等式取得等号，是本题求最值所利用的知识点.
11．【答案】（1）解：由x＋4y－2xy＝0，得 又x＞0，y＞0，
则2＝ ≥2 ＝ ，得xy≥4，
当且仅当x＝4，y＝1时，等号成立．所以xy的最小值为4
（2）解：由(1)知
则x＋y＝ （ ）·(x＋y)＝ ≥
当且仅当x＝4且y＝1时等号成立，∴x＋y的最小值为
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据已知，结合基本不等式，即可求出最小值及此时x与y的取值；
（2）采用常数代换的方法，结合基本不等式，即可求出最小值.
12．【答案】证明：要证明
只需证明
又 全不相等， 命题得证
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】将不等式左边拆项，运用基本不等式，即可得出答案。
13．【答案】（1）解：已知 ，
则： ，
故： ，
当且仅当： ，
解得： ，
即：当 时，y的最小值为7
（2）解：已知 ， ， ，
则： ，
解得： ，
即： ，
解得： ， 时，xy的最大值为6．
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
（2）首先根据题意得出 ，再利用基本不等式的关系式的变换得出结果。
14．【答案】解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800．蔬菜的种植面积 所以 当 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】理解题意，列出等量关系式是本题的关键， 又ab=800为定值，故可以用基本不等式求s最大值。并注意到等号成立的条件。
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