人教新课标A版 高中数学必修2 第一章空间几何体 1.3空间几何体的表面积与体积 同步测试
一、单选题
1．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示（单位： cm）则该组合体的体积为 （ ）
A．72000 B．64000 C．56000 D．44000
2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
3．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )
A．4 B． C． D．6
4．已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．24π D．36π
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2016高二上·右玉期中）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
7．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．cm3 B．cm3 C．2cm3 D．3cm3
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）
A．外接球的半径为 B．体积为
C．表面积为 D．外接球的表面积为
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B．160 C． D．
10．正方体的棱长为，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )
A．2 B．3 C． D．
12．已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．12π C． D．
13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
14．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（ ）
A． B． C． D．
15．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2015高一上·扶余期末）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是 ．
17．（2015高三上·和平期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为 cm3．
18．（2016高二上·重庆期中）若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于 ．
19．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为 ，三棱锥D﹣BCE的体积为
20．（2015高一上·福建期末）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．
三、解答题
21．（2015高一上·秦安期末）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
22．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）请画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
23．（2014·上海理）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
24．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，有A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
25．（2015高二上·新疆期末）正四棱台AC1的高是4cm，两底面的边长分别是4cm和10cm，求这个棱台的表面积和体积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积：，所以选B.
2．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是上半部分为底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高位1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为．故选C．
3．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】还原成立体图如图所示上底和下底是边长分别为1和2的正方形。且，，所以体积.选B。
4．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥的母线l==5，
∴圆锥的表面积为π×42+π×4×5=36π．
故选：D．
【分析】根据勾股定理求出母线，代入面积公式计算．
5．【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【分析】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的，所以.选A。
6．【答案】D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
①中线段为虚线，
②正确，
③中线段为实线，
④正确，
故选：D
【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．
7．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
如图，
故，
故选B．
【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解。
8．【答案】D
【知识点】空间几何体的三视图；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【分析】由题意设外接球半径为，则，A错误；外接球的表面积为，D正确；此几何体的体积为，故B错误；此几何体的表面积为，C错误．选D.
9．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】.选C。
10．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】此几何体是棱长为的正四面体，所以其体积为，故选C.
11．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】由三视图可知，该四棱锥底面是边长分别为2，3的矩形，有一条侧棱垂直于底面，这条侧棱长为2，分别算出四个侧面三角形的面积，分别为2，3，，，所以最大的为.
12．【答案】D
【知识点】由三视图还原几何体；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】由三棱柱的主视图和俯视图可知，三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，过点P向底面作垂线，垂足为D，易知AD=2，则外接球的球心O在PD上，设球的半径为，则，在三角形ADP中，，有，解得，所以.
13．【答案】C
【知识点】空间几何体的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面上底为1，下底为2，高为2的直角梯形的四棱锥，且棱锥的高为， 底面积为
由 得：
故选C.
14．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设三角形ABC的高为h，，选B.
15．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【分析】把原来的几何体补成以为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，.选C。
16．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题设及图知，此几何体为四棱锥P﹣ABCD，
其底面为一个对角线长BD=2的正方形ABCD，
由三视图知其中一个侧棱PD为棱锥的高，其相对的侧棱PB与高PD及底面正方形的对角线BD组成一个直角三角形，
此侧棱长PB= ，
故这个四棱锥的侧面积：
S=2S△PDC+2S△PBC
=2（ + ）
=3 + ．
故答案为： ．
【分析】此几何体为四棱锥P﹣ABCD，其底面为一个对角线长BD=2的正方形ABCD，由三视图知其中一个侧棱PD为棱锥的高，其相对的侧棱PB与高PD及底面正方形的对角线BD组成一个直角三角形，此侧棱长PB= ，由此能求出这个四棱锥的侧面积．
17．【答案】12π
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点
【解析】【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，
圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为 =4π（cm3），
圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），
则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），
故答案为：12π
【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．
18．【答案】
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由已知可得：
圆台的上底面直径为2，半径为1，面积为：π，
圆台的下底面直径为4，半径为2，面积为：4π，
圆台的高为2，
故圆台的体积V= = ，
故答案为： ．
【分析】根据已知，求出圆台的上下底面面积，及高，代入圆台体积公式，可得答案．
19．【答案】4；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为x2x4=4；
四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，
又AB⊥AC，且AE和AC相交，
∴AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，
又三棱锥E﹣ACB的体积为
∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．
故答案为：4；．
【分析】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．
20．【答案】3π
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
得到这是一个四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC= = ，
∴外接球的面积是 ，
故答案为：3π
【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．
21．【答案】解：∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=6cm
∴BD=6cm，且AC⊥BD
∴ （cm2）
∵VM是棱锥的高，且VC=5cm
∴Rt△VMC中， （cm）
∴正四棱锥V﹣ABCD的体积为V= （cm3）
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积
22．【答案】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：
（2）∵PD平面ABCD，PD 平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵SPCDE=（PD+EC） DC=3
∴四棱锥B﹣CEPD的体积
V= SPCDE BC=2．
【知识点】空间几何体的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；
（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B﹣CEPD的体积；
23．【答案】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC= =
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
24．【答案】解：因为圆柱底面圆的周长为2π，高为2，
所以将侧面展开为一长为2π，宽为2的矩形，
根据勾股定理，对角线长为=2．
故蚂蚁爬行的最短距离为2．
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．
25．【答案】解：过B1作棱台的高B1E，垂足为E，过E作EF⊥BC交BC于F，连结B1F．
∵B1E⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴B1E⊥BC，又BC⊥EF，EF∩B1E=E，
∴BC⊥平面B1EF，
∴B1F⊥BC，
∵B1E=4，EF= （10﹣4）=3，∴B1F=5，
∴ = （4+10）×5=35，
∴棱台的表面积S=42+102+4×35=256，
棱台的体积V= （42+102+ ）×4=208．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】做出棱台的高和斜高，利用勾股定理计算斜高，代入面积和体积公式计算即可．
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修2 第一章空间几何体 1.3空间几何体的表面积与体积 同步测试
一、单选题
1．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示（单位： cm）则该组合体的体积为 （ ）
A．72000 B．64000 C．56000 D．44000
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积：，所以选B.
2．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是上半部分为底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高位1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为．故选C．
3．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】还原成立体图如图所示上底和下底是边长分别为1和2的正方形。且，，所以体积.选B。
4．已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．24π D．36π
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥的母线l==5，
∴圆锥的表面积为π×42+π×4×5=36π．
故选：D．
【分析】根据勾股定理求出母线，代入面积公式计算．
5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【分析】由几何体的三视图可知，此几何体为半径为2的球体的，所以.选A。
6．（2016高二上·右玉期中）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
①中线段为虚线，
②正确，
③中线段为实线，
④正确，
故选：D
【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．
7．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．cm3 B．cm3 C．2cm3 D．3cm3
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，
如图，
故，
故选B．
【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解。
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）
A．外接球的半径为 B．体积为
C．表面积为 D．外接球的表面积为
【答案】D
【知识点】空间几何体的三视图；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【分析】由题意设外接球半径为，则，A错误；外接球的表面积为，D正确；此几何体的体积为，故B错误；此几何体的表面积为，C错误．选D.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B．160 C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】.选C。
10．正方体的棱长为，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】此几何体是棱长为的正四面体，所以其体积为，故选C.
11．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【分析】由三视图可知，该四棱锥底面是边长分别为2，3的矩形，有一条侧棱垂直于底面，这条侧棱长为2，分别算出四个侧面三角形的面积，分别为2，3，，，所以最大的为.
12．已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．12π C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图还原几何体；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】由三棱柱的主视图和俯视图可知，三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，过点P向底面作垂线，垂足为D，易知AD=2，则外接球的球心O在PD上，设球的半径为，则，在三角形ADP中，，有，解得，所以.
13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】空间几何体的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面上底为1，下底为2，高为2的直角梯形的四棱锥，且棱锥的高为， 底面积为
由 得：
故选C.
14．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设三角形ABC的高为h，，选B.
15．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【分析】把原来的几何体补成以为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，.选C。
二、填空题
16．（2015高一上·扶余期末）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是 ．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题设及图知，此几何体为四棱锥P﹣ABCD，
其底面为一个对角线长BD=2的正方形ABCD，
由三视图知其中一个侧棱PD为棱锥的高，其相对的侧棱PB与高PD及底面正方形的对角线BD组成一个直角三角形，
此侧棱长PB= ，
故这个四棱锥的侧面积：
S=2S△PDC+2S△PBC
=2（ + ）
=3 + ．
故答案为： ．
【分析】此几何体为四棱锥P﹣ABCD，其底面为一个对角线长BD=2的正方形ABCD，由三视图知其中一个侧棱PD为棱锥的高，其相对的侧棱PB与高PD及底面正方形的对角线BD组成一个直角三角形，此侧棱长PB= ，由此能求出这个四棱锥的侧面积．
17．（2015高三上·和平期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为 cm3．
【答案】12π
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点
【解析】【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，
圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为 =4π（cm3），
圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），
则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），
故答案为：12π
【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．
18．（2016高二上·重庆期中）若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于 ．
【答案】
【知识点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由已知可得：
圆台的上底面直径为2，半径为1，面积为：π，
圆台的下底面直径为4，半径为2，面积为：4π，
圆台的高为2，
故圆台的体积V= = ，
故答案为： ．
【分析】根据已知，求出圆台的上下底面面积，及高，代入圆台体积公式，可得答案．
19．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为 ，三棱锥D﹣BCE的体积为
【答案】4；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为x2x4=4；
四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，
又AB⊥AC，且AE和AC相交，
∴AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，
又三棱锥E﹣ACB的体积为
∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．
故答案为：4；．
【分析】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．
20．（2015高一上·福建期末）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．
【答案】3π
【知识点】由三视图求面积、体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
得到这是一个四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC= = ，
∴外接球的面积是 ，
故答案为：3π
【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．
三、解答题
21．（2015高一上·秦安期末）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
【答案】解：∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=6cm
∴BD=6cm，且AC⊥BD
∴ （cm2）
∵VM是棱锥的高，且VC=5cm
∴Rt△VMC中， （cm）
∴正四棱锥V﹣ABCD的体积为V= （cm3）
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积
22．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）请画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
【答案】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：
（2）∵PD平面ABCD，PD 平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵SPCDE=（PD+EC） DC=3
∴四棱锥B﹣CEPD的体积
V= SPCDE BC=2．
【知识点】空间几何体的三视图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；
（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B﹣CEPD的体积；
23．（2014·上海理）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
【答案】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC= =
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
24．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，有A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
【答案】解：因为圆柱底面圆的周长为2π，高为2，
所以将侧面展开为一长为2π，宽为2的矩形，
根据勾股定理，对角线长为=2．
故蚂蚁爬行的最短距离为2．
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．
25．（2015高二上·新疆期末）正四棱台AC1的高是4cm，两底面的边长分别是4cm和10cm，求这个棱台的表面积和体积．
【答案】解：过B1作棱台的高B1E，垂足为E，过E作EF⊥BC交BC于F，连结B1F．
∵B1E⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴B1E⊥BC，又BC⊥EF，EF∩B1E=E，
∴BC⊥平面B1EF，
∴B1F⊥BC，
∵B1E=4，EF= （10﹣4）=3，∴B1F=5，
∴ = （4+10）×5=35，
∴棱台的表面积S=42+102+4×35=256，
棱台的体积V= （42+102+ ）×4=208．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】做出棱台的高和斜高，利用勾股定理计算斜高，代入面积和体积公式计算即可．
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