冀教版数学八年级上册同步课件：13.3.3 利用“角边角”和“角角边”判定两个三角形全等(共34张PPT)

(共34张PPT)
第十三章 全等三角形
13.3.3 全等三角形的判定
　利用“角边角”和“角角边”判定两个三角形全等
知识回顾
填一填
三sanbian相等
两边和它们夹角相等
两边和其中一边的对角相等
两角和它们的夹边相等
两角和一角的对边相等
三边对应相等
两边和它们的夹角对应相等
两边和其中一边的对角对应相等
两角和其中一角的对边对应相等
两角和它们的夹边对应相等
图形
条件
能否判定两个三角形全等
√
√
×
？
？
情景导入
小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃吗？如果能，应该带哪一块去？为什么？
获取新知
知识点
判定两三角形全等的基本事实：“角边角“
1
探究活动一 每人画△ABC中，使∠B=45°，BC=3cm，∠C=30°，然后把你的三角形和同桌的三角形叠放在一起，它们能够完全重合吗？
探究活动二 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'.把△ABC和△A'B'C'叠放在一起，它们能够完全重合吗？
可以这样验证：
将△ABC叠放在△A′B′C′上，使边BC落在边B′C′上，顶点A与顶点A′在边B′C′的同侧．由BC＝B′C′可得边BC与边B′C′完全重合．因为∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ ，∠B的另一边BA落在边B′A′上， ∠C的另一边落在边C′A′上，所以∠B与∠B′完全重合， ∠C与∠C′完全重合．由于“两条直线相交只有一个交点”，所以点A与点A ′ 重合.所以， △ABC和△A′B′C′全等.
探究活动二 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'.把△ABC和△A'B'C'叠放在一起，它们能够完全重合吗？
基本事实三　如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等， 那么这两个三角形全等. (可简记为“角边角”或“ASA”).
归 纳
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
温馨提示：
(1)相等的元素：两角及它们的夹边；
(2)在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹
边相等写在中间，以突出角边角的位置及对应关系．
例1 如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，
求证：△ADF≌△CBE.
解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.
例题讲解
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
证明：∵AD∥BC，BE∥DF，（已知）
∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.（两直线平行，内错角相等）
∵AE＝CF，（已知）
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.（等式的基本性质1）
在△ADF和△CBE中，
∠DFA＝∠BEC，
AF=CE，
∠A＝∠C，
已知：如图，AD＝BE，∠A＝∠FDE，BC∥EF.
求证：△ABC≌△DEF.
变式练习1
证明：∵ AD＝BE(已知)，
∴ AB＝DE (等式的基本性质).
∵ BC∥EF(已知)，
∴∠ABC＝∠E(两直线平行，同位角相等).
在△ABC和△DEF中，
∵
∴ △ABC≌△DEF(ASA).
知识点
三角形全等的判定定理：“角角边“
2
1、如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角对应相等吗
2、由两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，能推出这两个三角形的全等吗？（小组讨论，并证明猜想）
探究活动三
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′, BC=B′C′.
求证: △ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A′+∠B′+∠C′=180°,∠A=∠A′,∠B=∠B′,
∴∠A+∠B=∠A′+∠B′，∴∠C=∠C′.
∴ΔABC≌ΔA′B′C′（ASA）
在ΔABC和ΔA′B′C′中,
判定定理：如果两个三角形的两角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（AAS）．
归纳
∠A =∠A′
∠C =∠C′
CB = C′B′
例2 如图，CA＝CD，∠B＝∠E，∠BCE＝ ∠ACD.
求证：AB＝DE.
例题讲解
解析：由∠BCE＝∠ACD推出∠BCA＝∠ECD，然后由已知条件CA＝CD，∠B＝∠E,即可得出△ABC≌△DEC，即可得出AB＝DE.
证明：∵∠BCE＝∠ACD（已知），
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE（等式的性质），
即∠BCA＝∠ECD.
在△ABC和△DEC中，
∠B＝∠E
∵ ∠BCA＝∠ECD
CA＝CD
∴△ABC≌△DEC(AAS)．
∴AB＝DE.
练一练 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，
求证：△ADC≌△BDF.
解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．
∴△ADC≌△BDF(AAS)．
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°（垂直的定义）.
∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°（三角形内角和定理），
∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC＝∠DBF.
在△ADC和△BDF中，
AC＝BF，
∠DAC＝∠DBF，
∠ADC＝∠BDF，
证明三角形全等的“三类条件”：
(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角．
(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条件，如
公共边、公共角、对顶角．
(3)准备条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应
角，需要进一步推理．
证明三角形全等的思路：
思路一：已知两边对应相等
　　证明两个三角形全等,当已知两边对应相等时,通常采取下列方法:①找两边的夹角,利用“SAS”证明两个三角形全等;②找第三边,利用“SSS”证明两个三角形全等.
思路二：已知一边及其邻角对应相等
当已知一边及其邻角对应相等时:①找任意角,利用“AAS”或“ASA”证明两个三角形全等;②找夹这个角的另一条边,利用“SAS”证明两个三角形全等.切记不能用“SSA”证明两个三角形全等.
　思路三　已知一边及其对角对应相等
　　当已知一边及其对角对应相等时,找任意角,利用“AAS”证明两个三角形全等.
　思路四　已知两角对应相等
　　当已知两角对应相等时,通常采取下列方法:①找其中任意一角的对边,利用“AAS”证明两个三角形全等;②找两角的夹边,利用“ASA”证明两个三角形全等.
1.如图所示,亮亮书上的三角形被污染了一部分,很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是 ( 　　)
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
随堂演练
D
2.已知： △ABC和△ A′B′C′中,AB=A′B′, ∠A=∠A′,∠B=∠B′, 则△ABC≌△ A′B′C′的根据是（ ）
　
A. SAS B.ASA C.AAS D.都不对
B
3.如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和△ABC全等的图形是( 　)
A．甲、乙 B．甲、丙　　
C．乙、丙 D．乙
C
4.如图,∠A=∠D,要使得△AOB≌△DOC,还需补充一个条件,不正确的是 ( 　　)
A.OA=OD B.AB=DC
C.OB=OC D.∠ABO=∠DCO
D
5.如图,填空:(填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”)
(1)已知BD=CE,CD=BE,利用　　　　可以判定△BCD≌△CBE;
(2)已知AD=AE,∠ADB=∠AEC,利用　　　　可以直接判定△ABD≌△ACE;
(3)已知OE=OD,OB=OC,利用　　　　可以判定△BOE≌△COD;
(4)已知∠BEC=∠CDB,∠BCE=∠CBD,利用　　　　可以直接判定△BCE≌△CBD.
SSS
ASA
ASA
AAS
6.如图，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△BAD，这个条件可以是　 　 （写出一个即可）．
∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或AD＝BC（答案不唯一）
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB．
（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
(2)∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝∠CBD＝40°．
8.(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,请问(1)中的结论DE=BD+CE是否仍成立 若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由.
(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠AEC=90°.
∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,
∵
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)结论DE=BD+CE仍成立.
证明:∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,
∵
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
课堂小结
全等三角形的判定（3）
应用
事实
定理
有两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
（简记为“角角边”或 “AAS”)
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角边角”或 “ASA”)
为证明线段和角的相等提供了新的方法
四种思路