冀教版数学八年级上册同步课件：13.3.2 利用“边角边”判定两个三角形全等(共31张PPT)

(共31张PPT)
第十三章 全等三角形
13.3.2 全等三角形的判定
　利用“边角边”判定两个三角形全等
知识回顾
复习：1.“边边边”的具体内容是什么？
基本事实一：如果两个三角形的三边对应相等， 那么这两个三角形全等. （简记为“边边边”或“SSS”）
2. 填空：
已知：AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
AC=AD ( )，
BC=BD ( )，
= ( )，
∴△ABC≌△ABD( ).
∴∠1=∠2 （ ）.
∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）.
A
B
C
D
1
2
已知
已知
SSS
证明:在△ABC和△ABD中，
AB AB 公共边
全等三角形的对应角相等
情景导入
小明不小心将一块大脸猫的玻璃摔成了三块(如图所示)，为了配一块和原来完全一样的玻璃，他带哪一块玻璃就可以了 你能替他解决这个难题吗 带着问题我们还是一块儿来学习一下这节的内容吧!
获取新知
观察与思考
画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5 cm，2.5 cm，并且使长为1. 5 cm的这条边所对的角是30°．小明的画图过程如图所示：
知识点
判定两三角形全等的基本事实：“边角边“
1
小明根据所给的条件，画出了两个形状不同的三角形，这说明两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定全等．
　　两边和它们的夹角对应相等，这两个三角形又将是怎样的呢
问题2 画一个三角形，使得它的两条边长分别是1.5cm，2.5cm，并且使两边夹角为30°.
3cm
5cm
B
A
E
30°
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起 能完全重合.
说明：这两个三角形全等.
画法：
（1） 画∠DA′E =∠A；
（2）在射线A′D上截取A′B′=AB， 在射线A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′.
B′
C′
在△ABC 和△ A′B′C′中，
∴△ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）．
AB = A′B′，
∠A =∠A′，
AC =A′C′ ，
A
B
C
A ′
B ′
C ′
必须是两边“夹角”
归纳
基本事实二:“边角边”判定方法
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等. （简记为“边边边”或“SSS”）
几何语言：
温馨提示：
(1)相等的元素：两边及这两边的夹角；
(2)在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、角、边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等；
(3)在三角形全等的条件中，要注意“SAS”和“SSA”的区别，SAS”指的是两边及其夹角对应相等；而“SSA”指的是有两边和一边的对角对应相等，它是不能证明两个三角形全等的．
例题讲解
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).
在△ADC和△CBA中，
∵
∴△ADC≌△CBA(SAS).
例1 已知：如图，AD∥BC，AD＝CB.
求证：△ADC≌△CBA.
准备条件
指明范围
列举条件
写出结论
如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C(两直线平行，内错角相等)，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
变式练习1
已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数.
【解析】利用已知条件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判定方法可证明△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．
拓展
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
解：
∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE.
在△ABC和△FBE中，
AB＝FB，
∠ABC＝∠FBE，
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴∠C＝∠BEF.
又∵BC∥EF，
BC＝BE，
温馨提示：
应用“SAS”判定两个三角形全等的“两点注意”：
1.对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系．
2.顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．
例2 如图是一种测量工具的示意图，其中AB=CD,AB,CD的中点O被固定在一起，AB,CD可以绕中点O张合，这样要想知道玻璃瓶子的内径是多少，只要量出AC的长度就可以了，你知道其中的道理吗？把你的想法和同学进行交流．
【解析】连接AC，BD，利用全等三角形的判定方法得△ODB≌△OCA，可知AC=BD．
知识点
三角形的稳定性
2
获取新知
(1)
(2)
解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD＝AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃瓶的内径．
【方案设计】如图，计划在湖的两岸点A，B之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间的距离．
请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量步骤；
(3)计算点A，B之间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表)．
变式练习2
温馨提示：本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计时，只要需要测量的线段在直线AB一侧便可实施，就可以达到目的．
解：(1)如图所示．
(2)在湖岸上找到可以直接到达点A，B的一点O，连接BO并延长到点C，使OC＝OB；连接AO并延长到点D，使OD＝OA，连接CD，则测量出CD的长度即为AB的长度．
(3)设CD＝m.
∵OD＝OA，∠COD＝∠BOA，OC＝OB，
∴△COD ≌△BOA(SAS)．
∴CD＝AB，即AB＝m.
归纳总结
　　解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的数量关系．
随堂演练
1.下列三角形中全等的是 ( 　　)
A.①与② B.②与③
C.③与④ D.①与④
A
2. 如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是 (　 　)
A.OC=OE B.OB=OD
C.AC=AE D.BC=DE
C
3.如图,AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,则图中全等三角形有( 　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
C
4.如图,OA=OC,OB=OD且OA⊥OB,OC⊥OD,有下列结论:①△AOD≌△COB;②CD=AB;③∠CDA=∠ABC.其中正确的结论是( 　　)
A.①② B.①②③
C.①③ D.②③
B
5.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立.
（已知），
＝
∠A=∠A（公共角），
=
A
D
C
B
E
∴△AEC≌△ADB ( ).
在△AEC和△ADB中，
AB
AC
AD
AE
SAS
注意：“SAS”中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间.
.
6.已知：如图，AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO．
求证：AB＝CD.
证明：在△AOB和△COD中，
∵
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∴AB＝CD.(全等三角形的对应边相等)
7.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.
求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；
证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，GD＝ED.
∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°.
在△ADE和△CDG中，
DE＝DG，
∠ADE＝∠CDG，
AD＝CD，
∴AE⊥CG.
(2)设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，
在△GMN和△DME中，
由(1)得∠CGD＝∠AED，
又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
∴∠CGD＋∠GME＝90°，
∴∠GNM＝90°，
M
N
8.如图,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M是BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.(提示:连接ME,MF,证明∠EMF=180°)
解:如图,连接ME,MF.
∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
在△BEM和△CFM中,
∴△BEM≌△CFM(SAS), ∴∠BME=∠CMF,
∴∠EMF=∠BME+∠BMF=∠CMF+∠BMF=∠BMC=180°,
∴三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
∵
课堂小结
全等三角形的判定（2）
应用
内容
解题思路
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或 “SAS”)
为证明线段和角的相等提供了新的方法