冀教版数学八年级上册同步课件：15.1.1 二次根式及其化简(共31张PPT)

(共31张PPT)
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
知识回顾
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .
用　 (a≥0)表示.
情景导入
学校要修建一个占地面积为S㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
解：设喷水池的半径为r m.
学校要修建一个占地面积为S㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？.
设大圆的半径为R
通过上面的实例，我们发现在日常生活中，常会用到一个数的算术平方根.
一个非负数的算术平方根有什么特征呢？
本节课我们一起来探究吧......
获取新知
知识点
二次根式的定义
1
1. (1) 2，18， 　， 的算术平方根是怎样表示的
(2) 非负数m，p＋q，t2－1的算术平方根又是怎样表示的
一起探究
把我们得到的式子放到一起，观察它们有什么共同特征？
①根指数为_____.
②被开方数为________.
2
非负数
观察与思考

概念学习
被开方数a≥0
根指数为2
（省略不写）

概念解析：
(1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次根号“　 ”；
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式，但是a必须大于或等于0；
(3)在具体问题中，已知二次根式　 ，就有了a≥0这一隐含条件；
(4)形如 (a≥0)的式子也是二次根式．b与　 是相乘的关系，若b为带分数，则要写成假分数的形式．
易错提示：
(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如： 是二次根式．
(2)像 ＋1(a≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) 　　　　 (2) 　 (3)
(4)　 ＋1(a≥0); (5) (6)
解析：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
例题讲解
解：(1)∵　 的根指数是3，∴　　 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，　　 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则　 　 不是二次根式．
∴　　 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．
(5)当x＝－3时，　　　 无意义，∴　　　　 也无意义；
当x≠－3时， 　　　 ＞0，∴ 是二次根式．
∴　　　　 不一定是二次根式．
(6)当a＝4，即a－4＝0时，　　　　　是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴　　　　 不是二次根式．
∴　　　　　不一定是二次根式．
变式练习1 下列各式中不是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
C
　　二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，关键看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数为非负数．
变式练习2 若二次根式 有意义，则x的取值范围是 　．
x≥﹣5
知识点
二次根式的“双重”非负性
2
　 (a≥0) 是一个非负数.
1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥0时，　 表示a的算术平方根，因此　 ≥0. 所以“二次根式”包含有两个“非负”即：(1)被开方数非负：a≥0；(2)二次根式的值非负： ≥0.
2.若 　　　　　 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 都是非负数，所以它们的值都为0.
例2 若 　　　　 　　　　　则x－y的值为(　　)
A．1 B．－1 C．7 D．－7
解析：因为　　　　　和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以
所以 x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y＝－3，所以x－y＝7.故选C．
C
两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
变式练习3 设x、y为实数，且y＝ + ﹣4，
则|x﹣y|的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式练习4 若 　　　　　　　　求a2012＋b2012的值．
　解：
∵
又∵
∴a＋1＝0，b－1＝0，∴a＝－1，b＝1，
∴原式＝(－1)2012＋12012＝1＋1＝2.
C
知识点
二次根式 的性质
3
1.小亮和小颖对二次根式“　　(a≥0)”分别有如下的观点.
你认同小亮和小颖的观点吗 请举例说明.
2.计算 　 (a≥0)，并与大家交流你的结果.
小亮的观点
　　因为　 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有　　≥0.
小颖的观点
　　因为　 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有
4
2
0
归纳： ，即任何一个非负数算术平方根的平方
都等于这个数.
做一做 1. 根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
=______; =_____;
=______; =______.
2
0.5
0
a (a≥0)
做一做 2.根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
归纳：
总结
　　事实上，对于二次根式，有
　　　　　　　　　(a≥0)是一个非负数，
　　　　　　　　　　　＝a(a≥0)，
　　　　　　　　　　　＝a(a≥0).
当a＜0时，
？
|a|
例3 化简：
例题讲解
拓展
归纳
　　运用　　 ＝a(a≥0)，　　　 进行化简的方法：
(1)化简　　 直接运用　 　＝a(a≥0)．
(2)化简　　一般有两个步骤：①去掉二次根号，写成绝对值的形式，即 　　＝|a|；②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即
变式练习5 计算：
解：
随堂演练
3.为要使二次根式 有意义，x应取 （ ）
A. x>1 B. x<1
C. x=1 D. x=-1
D
1.下列各式中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，一定是二次根式的有(　 　)
A．1个 B .2个 C．3个 D．4个
C
2.下列式子不一定是二次根式的是( 　　)
A. B. C. D.
A
5.若 　　　 ＝1－2a，则(　　)
A．a＞ B．a≤ C．a＞ D．a≥
B
4.下列结论正确的是(　　)
A． B．　
C.　 D．　
A
7.若 , 则a-b+c=_____.
3
m≥-2且m≠1
8.已知 ，试求x+2y的值.
解：由题意知
解得x=1，
y=2019，
所以
1-x ≥ 0,
x-1 ≥ 0
所以x+2y=1+2×2019=4035.
9.化简：
(1) (2) (3)
(4)
解：
　＝|x－1|＋|x－3|.
∵1≤x＜3，∴x－1≥0，x－3＜0.
∴原式＝x－1－(x－3)＝2.
课堂小结
二次根式
即a≥0, ≥0
二次根式的“双重”非负性
概念
二次根式
我们把形如　 (a≥0)的式子叫做二次根式
a (a≥0)
-a (a＜0)