冀教版数学八年级上册同步课件：15.1.2 二次根式的性质(共27张PPT)

(共27张PPT)
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
知识回顾
2.如何确定二次根式 中字母的取值范围？
1.怎样的式子叫二次根式？
被开方数为非负数，即a ≥0.
我们把形如　 (a≥0)的式子叫做二次根式.
3.我们已经学过哪些二次根式的相关性质？
一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
一个非负数的算术平方根是非负数.
情景导入
小丽的妈妈在院里围了一个面积为3平方米的小花坛，白色的栅栏、五颜六色的花儿相互映衬，赏心悦目，给小院增添了不少的生机.清晨坐在花园旁边看看书报，十分惬意.
奶奶则建议明年改成12平方米的菜园，种上几种蔬菜自己打理，吃绿色蔬菜多健康啊！
爸爸问小丽，菜园的面积是花坛面积的4倍，它们的边长又怎样的数量关系呢？
获取新知
知识点
积的算术平方根
1
1.　　　　　 　 是否相等 　 　　 　　　　 呢
2. 当a≥0，b≥0时，对 的关系提出你的猜想，并说明理由.
一起探究
事实上，
因为当a≥0，b≥0时，
所以
积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即
归纳
例1 化简:
解：
例题讲解
1.被开方数一定是积的形式，不能出现 的错误．
2.若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进行化简；如 = =5×8=40．
3.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要保证它们都是非负数．
温馨提示
变式练习1 化简下列各式：
解：
知识点
商的算术平方根
2
1. 是否相等 呢
2.当a≥0，b＞0时，对 的关系提出你的猜想，并说明理由.
一起探究
事实上， 理由如下：
因为当a≥0，b＞0时，
所以
归纳
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算
术平方根 的商，即
(a≥0，b＞0).
例题讲解
例2 化简:
解：
利用商的算术平方根化简二次根式的方法：
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根，先将分子、分母分别开平方，然后求商；
(2)若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根进行化简．
温馨提示
变式练习2　化简:
解析：将带分数化成假分数，多项式分解因式，然后再根据商的算术平方根化简.
解：
知识点
最简二次根式
3
观察与思考
　　在例2中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：
(1)化简前，被开方数是怎样的数
(2)化简后，被开方数是怎样的数 它们还含有能开得尽方的因数吗
获取新知
　　一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
　　如　　　　　　　　　 都是最简二次根式.
　　二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
概念学习
例题讲解
例3 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
C
　　判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法：最简二次根式需要同时满足的两个条件：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2.另外，还要满足分母中不含二次根式．
变式练习3 下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式 不是最简二次根式的，请说明理由．
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
综上，只有(2)是最简二次根式．
1.下列运算正确的是（ ）.
随堂演练
D
4.在下列根式 中，最简二次根式有( 　　)
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
C
3.下列根式中是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
B
2.若　　　　　　　　　　　　　则x的取值范围是(　　)
A．x≥－3 　 　　 B．x≥2
C．x＞－3 　　 　　　D．x＞2
B
解：
6.化简:
①1 ②3 ③4 ④5
②
7.把下列各式化简成最简二次根式：
解：
8.化简下列各式：
解：
课堂小结
二次根式
最简二次根式
二次根式的性质
①被开方数的因式是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开方开得尽方的因数或因式.