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第十四章 实数
14.5 用计算器求平方根与立方根
知识回顾
1.什么叫开平方运算?
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
2.什么叫开立方运算?
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
乘方
开方
互逆
情景导入
俗话说,登高望远.从理论上说,当人站在距地面h千米高处时,能看到的最远距离约为d=112 × 千米,上海金茂大厦观光厅高340米,人在观光厅里最多能看多远(结果保留到个位)?
解:d=112 × =112 ×
如何借助计算器算出 等于多少呢?
站在这样的高楼上肯定能看到周围旖旎的风光,你们想知道能看到多远的风景吗?
获取新知
知识点
利用计算器开方
1
按要求用计算器求下列各数的值,并将计算结果填在表格中:(结果精确到0.001)
输入法
按键顺序
计算结果
1.414
1.732
2.236
2.449
总结
1.开方运算要用到 键和 键;
2.求算术平方根的按键顺序是先按 ,再输入 被开方数,最后按 .
3.求立方根的按键顺序是先按 ,再按 , 然后输入被开方数,最后按 .
例题讲解
例1 用计算器求下列各式的近似值:(精确到0.001)
解:(1)按键顺序:
显示结果:0.773 799 386,所以 ≈0.734.
(2)按键顺序:
显示结果:4.932 424 149,所以 ≈4.932.
解:(3)按键顺序:
显示结果:-0.854 987 973,
所以 ≈-0.855.
(4)按键顺序:
显示结果:0.818 487 553,
所以 ≈0.818.
输入时不要忘记加括号哦!
变式练习1
使用科学计算器求 的近似值,其按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A
例题讲解
例2 某喷水池中央的顶端放置了一大理石球,已知球的质量公式为m= πr3ρ.其中,m(kg)表示球的质量,r(m)表示球的半径,ρ(kg/m3)为大理石的密度.如果球的质量m为400 kg,大理石的密度ρ为 2 600 kg/m3,那么这个大理石球的半径r是多大?(π取3. 14,结果 精确到0.01 m)
解:由公式m= πr3ρ,得r=
因为m=400 kg,ρ=2 600 kg/m3,π=3.14,
所以r=
≈0.332 460 015≈0.33(m).
答:这个大理石球的半径约为0.33m.
变式练习2 某地开辟一块长方形的荒地用于新建一个以环保为主题的公.已知这块荒地的长是宽的2倍,面积是400 000 m2.
(1)荒地的宽是多少?有1 000 m吗?
(2)如果要求误差小于10 m,荒地的宽大约是多少?(结果取整十数)
(3)该公园中心有一个圆形花圃,面积是800 m2,你能估计该花圃的半径吗?(误差要求小于1 m)
解:(1)设这块长方形荒地的宽是x m,那么长是2x m.
根据题意,得2x·x=400 000,即x2=200 000.
两边开平方,得x=
又因为x为荒地的宽,所以x= <1 000.
所以荒地的宽是 m,没有1 000 m.
(2)因为x= ≈447,所以如果要求误差小于10 m,
荒地的宽大约是450 m.
解:(3)设圆形花圃的半径为r m,则根据题意,
得πr2=800,
即r2= .两边开平方,得r=± .
因为r为圆形花圃的半径(r>0),
所以r= .
由于题目要求误差小于1 m,而15< <16,
所以15 m和16 m都满足要求.
所以估计该花圃的半径为15 m或16 m.
知识点
利用计算器比较大小
2
例3 用计算器比较 与 的大小.
解:用计算器求得
因为-2.080083823<-2.080024038
所以
变式练习3 利用计算器比较两数的大小:
归纳
比较两个含根号的数的大小,常用的方法有:
(1)先找个中间值再比较;
(2)先用计算器求出含根号的数的近似值,再比较;
(3)先把两数平方或立方,再比较.
0.707
2.236
7.071
22.361
一个正数的小数点向右(或向左)移动两位,则这个正数的算术平方根的小数点向右(或向左)移动一位
0.223 6
70.71
变式练习4 借助计算器探索:
= ,
= ,
= .
猜想:
555
5555
随堂演练
2. 式子 的结果精确到0.01为( )
A.4.9 B.4.87 C.4.88 D.4.89
C
1.用计算器求 的值为(结果精确到0.01)( )
A.6.69 B.6.7 C.6.70 D.±6.70
C
3.将 用不等号连接起来为( )
A. B.
C. D.
D
6 .用计算器比较大小: _______
(填“>”“=”或“<”)
<
5.用计算器计算: -3.142≈________.(结果精确到0.01)
0.46
C
7.求下列各式中x的值.(精确到0.01)
(1)x3-800=0;(2)27x3-8=0.
解:
(1)x3-800=0,x3=800,x=
(2)27x3-8=0,
解:
8.随着“神州”十号的升空,中国人又走出了探索宇宙的一大步,但是你知道吗,要想围绕着地球旋转,飞船的速度必须达到“第一宇宙速度”,其计算公式是 (单位:km/s,其中g=0.0098km/s2,为重力加速度,R为6370km,为地球半径)请你求出第一宇宙速度的值(结果保留两位有效数字).
答:第一宇宙速度的值约为7.90km/s.
10
100
1 000
10 000
(1)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么规律
如果这个正数大于1,那么随着开方次数的增加,值会减小,最后无限接近于1.
(2)改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似规律.
如果这个正数小于1,那么随着开方次数的增加,值会增加,最后无限接近于1.
(3)任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么
探究活动
一个非零数a利用计算器不断开立方的规律探索:
(1)当a>1时,不断开立方后,发现结果越来越小,越来越趋近于1;
(2)当0<a<1时,不断开立方后,发现结果越来越大,越来越趋近于1;
(3)当a<-1时,不断开立方后,发现结果越来越大,越来越趋近于-1;
(4)当-1<a<0时,不断开立方后,发现结果越来 越小,越来越趋近于-1.
课堂小结
用计算器求平方根与立方根
利用计算器探究规律
利用计算器开方
利用计算器比较大小