冀教版数学八年级上册同步课件：16.2.1 线段垂直平分线的性质定理(共23张PPT)

(共23张PPT)
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质定理
知识回顾
1.什么叫做线段的垂直平分线？
2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线.
情景导入
如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现
获取新知
知识点
线段垂直平分线的性质
1
A
B
l
P1
P2
P3
1.画出线段AB的中垂线l，垂足为C；在l上任取一点P1，连结P1A、 P1B；量一量P1A、P1B的长，你能发现什么？ 在l上任取一点P2，P2A、P2B的长呢？
在l上任取一点P3，P3A、P3B的长呢？
2.沿直线l对折线段AB，使端点Ａ与端点Ｂ重合，再次观察上述线段的关系.
①用对称的知识说明.
如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在l上.
求 证：PA=PB.
A
B
P
C
l
②用全等的知识进行推理.
证明：∵ l ⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
又 AC=CB, PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
几何语言：
∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，
∴PA=PB.
B
A
O
P
M
N
温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.
归纳
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，
(1)若△BCD的周长为 8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．
例题讲解
解： ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个．
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵　AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
∴AB=CE．
∴AB=AC=CE．
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
知识点
线段垂直平分线性质定理的应用
2
例2 已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P，使得AP+BP最短.
l
A
B
解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B ,交直线l于点P，则AP+BP最短.
A'
P
l
A
B
A'
P
由作图可知，l是AA'的中垂线
理由如下：在l上另取一点M，连接MA,MB,MA'
∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM
由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM
即AP+BP最短
M
变式练习3 如图，已知牧马人营地在M处，每天牧马人好先赶马群到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的的木马路线？
营地M
草地
河
M'
M''
（2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段；
求线段和最短问题的实质：
（3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决.
（1） 若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短；
随堂演练
1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( 　　)
A．AB＝AD　
B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD　
D．△BEC≌△DEC
C
2.如图，线段AC的垂直平分线交线 段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( 　　)
A．50°
B．100°
C．120°
D．130°
B
2.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( 　 　)
A．AM>CM
B．AM＝CM
C．AMD．无法确定
B
3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
A
B
C
D
E
10cm
4.如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等于_________．
A
B
C
D
E
8cm
5.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.
B
A
C
D
A'
M'
解：如图，最短路线是A--M′--B.
6.已知：如图，D、E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.
求证：AC=AB
A
C
B
D
E
证明：如图 连结B，C.
∵AD=BD， CD⊥AB
∴AC=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵AE=CE， BE⊥AC
∴AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴AC=AB
课堂小结
线段垂直平分线的性质
内容
见垂直平分线，得线段相等
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
应用