冀教版数学八年级上册同步课件：16.2.2 线段垂直平分线性质定理的逆定理(共25张PPT)

(共25张PPT)
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段垂直平分线
第2课时　线段垂直平分线性质定理的逆定理
知识回顾
什么叫做线段的垂直平分线？线段垂直平分线的性质定理内容是什么？
垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，
∴PA=PB.
A
B
P
C
l
情景导入
动手操作：在练习本上以线段AB为底边做等腰△PAB.
不确定
可以作无数个
△PAB的形状和大小是确定的吗？
符合条件的△PAB能作几个？
观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？
在一条直线上
推测：这条直线与线段AB的关系
这条直线是线段AB的中垂线
A
B
P
思考：当PA=PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？
折一折
获取新知
知识点
线段垂直平分线性质定理的逆定理
1
P
A
B
已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
一起探究
1.线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么？
2.结合图形写出这个逆命题的已知和求证.
3.猜想这个逆命题的真假，并试着说明理由.
4.小组合作完成猜想的证明．
证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在△POA和△POB中,
∴△POA≌△POB(SSS)，
∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，
∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
0
还可以怎么做辅助线？
证明：作∠APB的角平分线PO,交PO于点O.
在△POA 和△POB 中，
PA=PB，∠APO =∠BPO， PO =PO，
∴ △POA ≌△POB（SAS）．
∴ ∠POA=∠POB
P
A
B
O
∵∠POA+∠POB=180°，
∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P 作AB 的垂线PO，垂足为点O．
则∠POA =∠POB =90°．
在Rt△P0A 和Rt△P0B 中，
PA =PB，PO=PO，
∴ Rt△POA ≌Rt△POB（HL）．
∴ AO=BO．
又 PO⊥AB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
O
这个方法下一章将要学.
到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
几何语言：如图，
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
归纳
线段垂直平分线性质定理的逆定理
(2)若PA=PB,同时MA=MB,则直线PM是线段AB的中垂线吗？
P
A
B
l
不一定是.
理由：经过一点的直线有无数条.
思考：
(1)若PA=PB,过点P作直线l,则l是线段AB的中垂线吗？
是.
理由：两点确定一条直线.
M
归纳
几何语言：如图，
∵AB =AC，MB =MC，
∴点A、M均在线段BC的中垂线上　
∴AM垂直平分BC
A
B
C
D
M
用线段垂直平分性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的条件：必须有两个点到这条线段的两端距离相等.
判定线段垂直平分线的方法
1.用线段垂直平分线的定义.
2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线.
总结
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线．
分析：根据全等证CD＝DE，所以点D 在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE的垂直平分线上，就能解决问题．
证有两点在线段的垂直平分线上哦！
例题讲解
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE,
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
在△ADC和△ADE中，
∠DAC=∠DAE,∠AED＝∠ACB，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴AC＝AE，CD＝ED，
∴点A、点D在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
变式练习1 如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中AB=AD,CB=CD.
C
B
A
D
E
(1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=EB,你同意他的说法吗？
解：同意，理由
∵AB=AD,CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD,BE=EB.
C
B
A
D
E
(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
知识点
线段垂直平分线性质定理和逆定理的综合运用
2
例2 已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P
求证：点P在BC的垂直平分线上
（1）由已知条件想到哪个定理？
线段垂直平分线的性质定理
（2）由结论想到哪个定理？
线段垂直平分线的性质的逆定理
A
B
P
C
D
E
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
∴ PA＝PB，PA＝PC
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等）
∴ PB＝PC（等量代换）
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
你发现了什么结论？
三角形的三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳
A
B
P
C
D
E
变式练习2 如图，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边中垂线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
C
B
A
C
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　 　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有（ ）种.
D
A.1 B.2 C.3 D.无数
随堂演练
3.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+DA,则点D在线段（ ）的垂直平分线上.
A.AB
B.AC
C.BC
D.不能确定
B
D
C
B
A
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
6.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,∴∠DOE=∠COE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴△OED≌△OEC（AAS）.
∴DO=CO,DE=CE.
∵EC⊥OA,ED⊥OB,∴∠EDO=∠ECO=90°.
课堂小结
线段的垂直平分的性质定理的逆定理
作用
内容
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上