冀教版数学八年级上册同步课件：17.1.1 等腰三角形及其性质(共31张PPT)

(共31张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.1 第1课时 等腰三角形及性质
1、等腰三角形的定义.
2、等腰三角形是不是轴对称图形
有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形
知识回顾
北京五塔寺
西安半坡博物馆
斜拉桥梁
体育观看台架
埃及金字塔
情景导入
图中有些你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
等腰三角形的性质
问题1 在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.它们是什么特殊的三角形呢？
获取新知
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
△ABC中，AB = AC
定义：顶角是直角的等腰三角形是
等腰直角三角形
剪一剪： 如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
A
B
C
获取新知
一起探究
等腰三角形的性质
问题2 把等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
B
C
D
A
B
线段 角
AB与______重合 ∠BAD与_______重合
AD与______重合 ∠ABD与_______重合
BD与______重合 ∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
猜一猜： 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
猜想1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.
现在，我们用学过的知识来验证这两个猜想.
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
猜想1:等腰三角形的两个底角相等
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
讨论交流
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
归纳
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
获取新知
等边三角形的性质
问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60°.
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形的两个底角相等.
问题2 运用所学知识，证明你的结论.
A
B
C
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C(等边对等角) .同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
问题3 等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗
等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（一条对称轴）
等腰三角形
等边三角形
等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（三条对称轴）
图形 等腰三角形
　性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
A
B
C
A
B
C
类比探究
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
【分析】（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
例题讲解
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,
∠ABC=∠BDC=2∠A,
∠C=∠BDC=2∠A.
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 °，
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例2 如图，在△ABC中， AB=AC，BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB的平分线。
求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明：
∵BD，CE 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴ ∠ABD= ∠ABC， ∠ACＥ＝∠ACB
∵ ∠ABC＝∠ACB （等边对等角）
∴ ∠ABD= ∠ACＥ（等量代换）
∵ AB=AC（已知）， ∠A＝ ∠A（公共角）
∴ △ABD≌ △ACＥ（ASA）
∴BD=CE（全等三角形对应边相等）
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
A
随堂演练
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
A
B
C
A
B
C
【解析】当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________度.
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6.如图，在△ABC中，AD=BD=BC,若∠DBC=28°,
求∠ABC和∠C的度数.
设∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°,∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x°.
∵∠DBC=28°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴2x+2x+28=180,∴x=38,
∴∠C=76°,∠ABC=∠ABD+∠DBC=38°+28°=66°.
解：
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD.
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合
等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60°.
等边三角形的性质
课堂小结