冀教版数学八年级上册同步课件：17.1.2 等腰三角形与等边三角形的判定(共25张PPT)

(共25张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.1 第2课时 等腰三角形与等边三角形的判定
图形 等腰三角形
　 性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
知识回顾
复习
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
情景导入
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB=AC
你能验证你的结论吗？
获取新知
一起探究
问题1 如图，在△ABC 中，∠B=∠C.
B
C
D
A
(B)
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠△ABC
被直线AD分成的两部分能够重合吗？
(3)由上面的操作，你是否发现了边 AB
和边AC之间的数量关系
AB=AC
问题2 运用所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：作∠A的平分线，交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，
∠1=∠2，
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD，∴AB=AC.
D
1
2
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
几何语言
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
归纳
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
例1 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
例题讲解
类比探究
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形，
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
获取新知
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
【跟踪训练】
例 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E .
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例题讲解
尺规作等腰三角形
例 已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.
如图，已知线段a和h.
求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h.
a
h
提示：先作出线段BC=a，再作出BC的垂直平分线.在这条垂直平分线上截取点A，使点A到BC的距离=h，连接相关点即得.
获取新知
作法：
1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线MD，垂足为D.
3.在DM上截取DA=h.
4.连接AB，AC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
D
1.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=8 cm，则CD等于( )
A.8 cm
B.4 cm
C.15 cm
D.20 cm
A
随堂演练
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
3.在如图所示的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
D
1
4.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
O
a
b
D
A
5.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.
18
作法：
(1)作线段AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB交于点D;
(3)在MN上取一点C，使CD=b;
(4)连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形.
A
B
M
N
C
D
6.已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高长为b，求作这个等腰三角形.
a
b
7.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.
解：△ADF是等腰三角形.
理由：在△ABC中.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠F,∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
8.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：
∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
9.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°- 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角对等边）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
10.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
解：3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理
尺规作图
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形
根据已知条件作出等腰三角形
等边三角形的判定定理
三边法三边相等的三角形是等边三角形
三个角为60°的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
课堂小结