冀教版数学八年级上册同步课件：17.2 直角三角形(共28张PPT)

(共28张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.2 直角三角形
下面几幅图都是用七巧板拼成的，你能从中找出多少个直角三角形呢？
1.问题：什么叫做直角三角形？
2.请同学们交流、合作完成本题。
情景导入
3x+5y+2z
x2+2x+18
t-5
它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
t
-5
+
3x
5y
2z
+
+
+
x2
2x
18
+
+
获取新知
一起探究
定 义：
像这由单项式相加组成的代数式叫做多项式.
直角三角形的性质与判定
问题1 已知一个直角三角形，有一个角为直角，根据三角形内角和定理我们可以得到什么结论？
A
B
C
提示：三角形的三个内角和为180°，已知一个角为直角，可以得到另外两个角的数量关系
获取新知
一起探究
直角三角形的性质与判定
A
B
C
在直角三角形ABC中，∠C=90°由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,
即∠A +∠B=90°.
归纳：直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形性质的应用格式：
在直角三角形ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =____．
直角三角形的表示方法：
直角三角形可以用符号“______”表示，直角三角形ABC 可以写成___ ____ ．
90°
Rt△
Rt△ABC
归 纳
问题2.1 我们已经知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
1
2
∠1+∠2=90°
提示：三角形的三个内角和为180°，已知两个角的数量关系，可以得到另外一个角的大小.
问题2.2 试着用已经学习过的知识验证你的结论.
证明：在△ABC中，因为 ∠A +∠B+∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
于是可知△ABC是直角三角形.
A
B
C
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角_____，那么这个三角形是直 角三角形．
直角三角形判定定理的应用格式：
在三角形ABC 中，
∵∠A +∠B =____，
∴三角形ABC 是___________ ．
互余
90°
直角三角形
归 纳
直角三角形斜边上的中线性质
问题1 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°，如图(1)；
B
A
C
E
F
(B)
将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE， 如图(2)；
将纸展开，如图(3) .
B
A
C
(1)
(2)
B
A
C
E
F
(3)
获取新知
问题2 (1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有怎样的关系？
∠ECF=∠B
EC=EB
(2)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢
∠ACE=∠A
AE=CE
(3)由发现的上述关系，你能猜想线段CE与线段AB的关系吗
猜想：CE=AE=EB，即CE是AB的中线，且CE= AB.
问题3 试着运用所学知识，验证你的猜想.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线.
求证：CD= AB.
B
A
C
D
证明：如图，过点D，作DE∥BC，交AC于点E；
作DF∥AC，交BC于点F.
在△AED 和△DFB 中，
∠A=∠FDB(两直线平行，同位角相等)，
∵ AD=DB(中线的概念)，
∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∴△AED≌△DFB (ASA).
∴QE=DF，ED=FB. (全等三角形的对应边相等）
F
E
B
A
C
D
F
E
B
A
C
D
同理可证，△CDE≌△DCF.
从而，ED=FC，EC=FD.
∴ AE=EC，CF=FB.(等量代换）
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，(两直线平行，同位角相等)
∴DE为AC的垂直平分线，
DF为BC的垂直平分线.
∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).
CD= AB.
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
D
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的中线
∴CD＝AD＝BD＝ AB
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
同学们能用语言表达刚才的发现吗？请同学们试着说一说。
含30°角的直角三角形的性质
问题1:
用刻度尺测量含30°角的直角三角形斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
短直角边= ×斜边
获取新知
问题2 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
问题3 将做好的等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴　BC = AB．　　
1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( 　　)
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
随堂演练
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数是( )
A.26°
B.38°
C.42°
D.52°
D
3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
4.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )
A.20
B.18
C.14
D.13
C
5.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm，则AB=_____cm
Ｃ
Ｂ
Ａ
３００
８
6.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,BD=＿___，　BE=____ .
A
C
E
B
D
４cm　　　
２cm
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.
8.如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由.
证明：相等.理由如下∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∵E为AB的中点，
∴DE=CE.
∴DE= AB,CE= AB．　　
直角三角形
性质定理
直角三角形的两个锐角互余
判定定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
课堂小结