冀教版数学八年级上册同步课件：17.3.2 勾股定理的应用(共25张PPT)

(共25张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.3 第2课时 勾股定理的应用
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
┏
a
c
b
勾
股
弦
a2 + b2 = c2
a2 = c2 - b2
b2 = c2 - a2
知识回顾
结论变形
c2 = a2 + b2
a
b
c
A
B
C
1.在Rt△ABC中,两直角边长分别为3,4,求斜边的长.
5
2.在Rt△ABC中,一直角边长为5,斜边长为13,另一直角边的长是多少
12
小结:在上面两个问题中,我们应用了勾股定理:
在Rt△ABC中,若∠C=90°,则a2+b2=c2.
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
勾股定理的简单实际应用
情景导入
活动一 在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长．
1 m
2 m
A
C
B
D
在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
获取新知
一起探究
活动二 在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
A
C
B
D
AB＜BC＜AC
活动三 一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
A
B
C
1 m
2 m
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过．
∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？
一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
A
B
C
1 m
2 m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
我们已经学习了勾股定理，利用勾股定理，我们可以解决一些实际问题.
在应用中关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形模型，常见类型有：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；
（3）证明含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度解决生活、生产中的实际问题.
例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，∠ACB=90°.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.
C
A
B
基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范．
例题讲解
C
A
B
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).
∵AB=200 m，BC=160 m，
答：点A和点C间的距离是120 m.
例2 (教材第153页做一做)如图所示的是某厂房屋顶的三脚架的示意图.已知AB=AC=17 m,AD⊥BC,垂足为D,AD=8 m,求BC的长.
解:在Rt △ ABD中,
∵AB=17 m,AD=8 m,
∴BD2=AB2-AD2=172-82=225,
∴BD=15 m,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD=30 m.
例3 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
C
A
B
26
15
18
10
注意
利用勾股定理求未知边长时，关键要找准斜边,找斜边，就是找直角，直角所对的边就是斜边．
C
A
B
26
15
18
10
解：∵△ABC是直角三角形，
∴ AB2=AC2+BC2.
∵AC=50－15－26=9(mm)，
BC=40－18－10=12(mm)，
答：孔中心A和B间的距离是15 mm.
例4 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？
A
B
D
C
解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺.设水深AC为x尺.
在Rt△ABC中，
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
又∵AB=AD=（x+3）尺,
∴（x+3）2=x2+62，化简解得x=4.5.
答：湖水深4.5尺.
归纳：勾股定理的实际应用的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
1.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )
A.25海里
B.30海里
C.40海里
D.50海里
C
随堂演练
2.如图所示,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行(　　)
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
B
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
B
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
C
4．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
所以最长是2.5+0.5=3(m).
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
6.如图所示,公路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在公路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE.则农产品收购站E应建在距点A多少千米处
解:设AE=x km,则BE=(25-x)km,
∵C,D两村到收购站E的距离相等,
∴DE=CE,即DE2=CE2,
∵在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2,
在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE2,
∴DA2+AE2=BE2+BC2,
∴152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.
答:收购站E点应建在距点A10km处.
7.中国机器人创意大赛在哈尔滨开幕.如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A点先往东走4 m,又往北走1.5 m,遇到障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m处,往东一拐,仅走0.5 m就到达了B点.A,B两点间的距离是多少
解:如图所示,过点B作BC⊥AD于C,
由题知AC=4-2+0.5=2.5(m),
BC=4.5+1.5=6(m),在直角三角形ABC中,AB为斜边,
则AB= m.
答:A,B两点间的距离是 m.
勾股定理的应用
勾股定理的实际应用
勾股定理的几何应用
课堂小结