冀教版数学八年级上册同步课件：17.4 直角三角形全等的判定(共29张PPT)

(共29张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.4 直角三角形全等判定
复习
2.判别两个三角形全等的方法:
SSS
ASA
AAS
SAS
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等.
知识回顾
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺，他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量
你能用已学过的数学知识帮他想个办法吗？
生活中的数学
情景导入
问题1.1 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，AAS
获取新知
一起探究
问题1.2 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，ASA
问题1.3 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A'
B'
C'
全等，SAS
问题1.4 两个直角三角形中，两边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如何证明？
A
B
C
A'
B'
C'
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，
∠C=∠ C′=90°，AB = A′B′ ，
AC= A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
A'
B'
C'
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C=90°，∠C′=90°，
∴BC2=AB2－AC2， B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理).
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
A
B
C
A ′
B′
C ′
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
仅适合直角三角形
在使用“HL”时,同学们应注意什么
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
注意对应相等.
因为”HL”仅适用直角三角形,
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中
AB =DE
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
A
B
C
D
E
F
判断直角三角形全等条件
三边对应相等 SSS
一锐角和它的邻边对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS
两直角边对应相等 SAS
斜边和一条直角边对应相等 HL
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.
你能够用哪几种方法说明两个直角三角形全等？
我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
×
SAS
AAS
AAS
例题讲解
例1 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
利用“HL”判定直角三角形全等
例1 已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.
已知：如图，线段a，c.
求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.
a
c
例题讲解
分析：首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A。
作法：
（1）作线段CB=a，
（2）过点C，作MC⊥CB.
（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A,
（4）连接AB.
C
M
B
A
画法一
a
c
画法：1.画∠MCN=90 °.
3.以B为圆心，c为半径画弧，
交射线CN于点A.
4.连结AB .
△ABC就是所要画的直角三角形.
M
C
N
a
B
c
A
2.在射线CM上取CB=a.
画法二
例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC=PD.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
A
B
C
D
O
P
证明：如图，作射线OP.
∵PC⊥OA， PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
∴Rt△OFC≌Rt△OPD( HL).
∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线，
即点P在∠AOB的平分线上.
A
B
C
D
O
P
例3 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，
求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
随堂演练
1. 下列说法不正确的是(　　)
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
1.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
③斜边和一直角边对应相等;
④直角边和一锐角对应相等.
以上能判定两直角三角形全等的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
随堂演练
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A
B
C
E
D
H
A
3.如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是 （写出一个即可）.
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD.
一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等.
注意
C
A
B
D
4.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
AF=CE
AB=CD
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．
(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，
△ABC才能和△APQ全等．
【注意】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
直角三角形全等的证明（HL）
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
课堂小结