冀教版数学八年级上册同步课件：17.5 反证法(共18张PPT)

(共18张PPT)
第十七章 特殊三角形
17.5 反证法
从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢
他运用了怎样的推理方法
情景导入
王戎推理方法是:
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
反证法
在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时候间接证明的方法可能更方便，反证法就是一种常见的间接证明方法.
在下面我们以第九章中“一个三角形中最多有一个直角”为例，用反证法进行证明.
A
B
C
获取新知
一起探究
已知：如图，△ABC.
求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角.
A
B
C
证明：假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°.
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C>180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立.
故如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角.
第一步，假设原来命题结论不正确；
从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出矛盾的结果.
由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
1.提出假设
2.推理论证
3.得出矛盾
4.结论成立
以假设为条件，结合已知条件推理.
这与“......”相矛盾
所以假设不成立，所求证的命题成立.
假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.
反证法的步骤：
得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论.
例1 用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别于直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.
求证：∠1=∠2.
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
例题讲解
A
B
C
D
E
F
G
H
1
2
M
N
证明：假设∠1≠∠2.
过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1.
∵∠EGN=∠1.
∴MN∥CD（基本事实），
又∵AB∥CD（已知），
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知”相矛盾.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.
因此，∠1=∠2.
假设
推理
矛盾
命题成立
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
b
c
例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
b
c
D
证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等，即BC≠B'C'.不妨设BC在△ABC和△A'DC'中，∵AC=A'C'，∠C=∠C'，C'D=CB，∴△ABC≌△A'DC'.
∴AB=A'D（全等三角形的对应边相等）.
∵AB=A'B'（已知），∴A'B'=A'D.
∴∠B'=∠A'DB'，∴∠A'DB'<90°，
在即∠C'<∠A'DB'<90°（三角形外角和大于和它不相邻的内角）.这与∠C'=90°相矛盾.因此，BC≠B'C'不成立.即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立.∴△ABC≌△A'B'C'.
写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a∥b
练一练
【跟踪训练】
利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
锐角不小于45°”，应先假设( )
A.直角三角形的两个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的两个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°
C
1.试说出下列命题的反面：
（1）a是实数; 　　 （2）a大于2;
（3）a小于2; 　　 （4）至少有2个;
（5）最多有一个; （6）两条直线平行;
a不是实数
a小于或等于2
a大于或等于2
没有两个
一个也没有
两直线相交
随堂演练
2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是　____ .
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　 _______ 　 　 　.　
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
4.用反证法证明（填空）：
在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
已知：如图， ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角
求证： ∠A，∠B，∠C中至少有一个角不小于600.
Ａ
Ｂ
Ｃ
证明：
假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿60°，
∠Ｂ＿＿60°，
∠Ｃ＿＿60°
则　∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ　＜　1800
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设＿＿＿＿＿＿，
所以，所求证的结论成立．
＜
＜
＜
三角形三个内角的和等于180°
不成立
5.已知：a是整数，2能整除a2.
求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故2能整除a.
6.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1，
求证：
l3∥l2
l1
l2
l3
P
证明：
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设不成立即l3∥l2
反证法
反证法的步骤
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
课堂小结