冀教版数学八年级上册同步课件：17.3.1 勾股定理(共24张PPT)

(共24张PPT)
第十七章 有理数
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
情景导入
17.3.1 勾股定理
大会会标
情景导入
北京欢迎你
　这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。是为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的。经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会的会标。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
赵爽弦图
3
5
4
9
16
25
问题1
1、 BC=___, AC=___, AB=___
2、
4、能不能用直角三角形ABC的三边表
示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S黄+S蓝=S红
AC2+BC2=AB2
图中每个小方格子都是边长为1的小正方形．
B
C
A
猜想直角三角形的三边关系
获取新知
一起探究
A
C
B
问题2 观察正方形瓷砖铺成的地面.完成下列内容，并试着探究其中规律.
（图中每一格代表一平方厘米）
P
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
Q
R
问题2.1 直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
AC2+BC2=AB2
SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.即两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的例子，我们猜想：
a
b
c
证明猜想方法：
A
B
C
补的方法
P
Q
R
SR=C2=(a+b) 2-ab/2×4
=a2+b2+2ab-2ab
=a2+b2
b
a
c
证明猜想方法：
A
B
C
割的方法
P
Q
R
SR=C2=(b-a) 2+ab/2×4
=a2+b2-2ab+2ab
=a2+b2
b
a
c
勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
A
B
C
勾
股
弦
归纳：如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理 .
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2.
a
A
B
C
b
c
∟
几何语言：
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
例 1 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为______；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC 的
三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
.(用图中字母表示)
例题讲解
勾股定理与图形面积
归纳：
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
【跟踪训练】
求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
例2 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
C
A
B
（1）若a=1，b=2,求c.
（2）若a=15,c=17,求b.
解：
(1)据勾股定理,得
∵c＞0

(2)据勾股定理得
∵b＞0

【变式题】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
4
3
C
A
B
图
4
3
A
C
B
图
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是 (　　)
A.20 B.10 C.9.6 D.8
A
随堂演练
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是(　　)
D
3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
4.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
5.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
6.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
A
D
B
C
3
4
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形面积公式，
AC×BC= AB×CD.
所以CD= .
7. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
课堂小结