初中数学苏科版九年级下册 6.3 相似图形 同步训练
一、单选题
1．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
2．（2020九上·保定期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
3．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG B．FH C．EH D．EF
4．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
5．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． ：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
6．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：
7．（2020九上·吴兴期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD=AE.则AB：AD的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
9．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
10．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
二、填空题
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质（1） 同步练习）已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′= 度．
12．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．
14．（湘教版九年级数学上册 3.3 相似图形 同步练习）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是 cm2．
15．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，M、N分别是AD、BC的中点，MN∥AB，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）图中的两个四边形相似，则 = ，a= ．
17．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
18．（2014·绍兴）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
三、解答题
19．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝ ，它们的相似比是 .
（2）求边x、y的长度.
20．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
21．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
22．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
23．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 同步练习）在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
24．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
25．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
26．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
27．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
28．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = = ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′，根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。
2．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的判定方法：对应边成比例和夹角相等，逐项判定即可。
3．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
【解答】由图可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键．
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
5．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
6．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，
则k2= ，
∴k= ，
即相似比为1：2．
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，可得出相似比的平方，继而可求出相似比。
7．【答案】C
【知识点】黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：设AD=AE=1，
∵ 矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴AD：BE=AB：BC，
即1：BE=（1+BE）：1，
解得BE=，
∴BE=，
∴AB=AE+BE=1+=+1，
∴AB：AD=：1=.
故答案为：C.
【分析】设AD=AE=1，根据相似多边形的性质列式求出BE的长，进而求出AB的长，则AB：AD的值可求.
8．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
10．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
11．【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，
∴∠A′=50度
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠A′的度数。
12．【答案】3：5
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
13．【答案】①②④⑤
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；
⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．
其中，一定相似的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据相似图形的定义，即形状相同的图形是相似形，对每个命题判断可求解。
14．【答案】18
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，
∴相似比=1：3，
∴面积比=（1：3）2=1：9，
∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．
故答案为：18．
【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方，求解
15．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由已知得MN=AB，MD= AD= BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
= ，
∵MN=AB，DM= AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4 ，
故答案为：4
【分析】利用矩形的性质及M、N分别是AD、BC的中点，可得出MN=AB，MD= AD= BC，再根据相似多边形的性质，可得出矩形DMNC与矩形ABCD的对应边成比例，就可求出AD的长。
16．【答案】63；85°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 ，解得x=36，y=27，则 ．
．
故答案为63；85°
【分析】两个四边形相似，可得出它们的对应角相等，对应边成比例，就可求出答案。
17．【答案】5或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
18．【答案】4 +
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2 ：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为 = ，
∴另外一个矩形的长为2 ﹣ = ，宽为 = ，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+ + + ）=4 + ．
故答案为：4 + ．
【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
19．【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
20．【答案】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴，即∴BC2﹣BC AB﹣CD2=0，解得，BC=CD，∵BC、CD是正数，∴
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．
21．【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
22．【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE=GF．∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】正方形的判定与性质；图形的相似
【解析】【分析】先根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形EAFG为矩形．再证明一组邻边相等的矩形是正方形，可得出四边形EAFG为正方形．继而可证得结论。
23．【答案】解： 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
24．【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴ ，即 ，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
∴BC=3+3
【知识点】菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质，去证明AB=EB，就可证得四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的性质可证得结论。
（2）利用相似多边形的性质和菱形的性质，由四边形ABCD∽四边形CEFD，得出对应边成比例，就可求出BC的长。
26．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
27．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
28．【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP= AB=1，
AP= = ，AE=AG= ，
∴EP=2 ，
∴EB= = = ，
∴GD= ．
【知识点】菱形的性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）利用相似多边形的性质，可证得∠EAG=∠BAD，再证明∠EAB=∠GAD，然后利用就可证明△AEB≌△AGD，利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，先利用直角三角形的性质求出BP的长，再利用勾股定理求出AP，继而可求出AE、EP，然后在Rt△BEP中，利用勾股定理求出BE的长，就可求出DG。
1 / 1初中数学苏科版九年级下册 6.3 相似图形 同步训练
一、单选题
1．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AC、A′C′
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ = ，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = = ，
故答案为：A．
【分析】连接AC、A′C′，根据已知易证△ABC∽△A′B′C′，就可证得对角线之比等于相似比，然后根据周长比等于相似比，可解答。
2．（2020九上·保定期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的判定方法：对应边成比例和夹角相等，逐项判定即可。
3．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG B．FH C．EH D．EF
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
【解答】由图可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选D．
【点评】本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键．
4．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
5．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． ：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
6．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设分裂的小细胞与原图形的相似比是k，
则k2= ，
∴k= ，
即相似比为1：2．
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，可得出相似比的平方，继而可求出相似比。
7．（2020九上·吴兴期末）如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD=AE.则AB：AD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割；相似多边形
【解析】【解答】解：设AD=AE=1，
∵ 矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴AD：BE=AB：BC，
即1：BE=（1+BE）：1，
解得BE=，
∴BE=，
∴AB=AE+BE=1+=+1，
∴AB：AD=：1=.
故答案为：C.
【分析】设AD=AE=1，根据相似多边形的性质列式求出BE的长，进而求出AB的长，则AB：AD的值可求.
8．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
9．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
10．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
二、填空题
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质（1） 同步练习）已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′= 度．
【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，
∴∠A′=50度
【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠A′的度数。
12．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
【答案】3：5
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．
【答案】①②④⑤
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；
⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．
其中，一定相似的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据相似图形的定义，即形状相同的图形是相似形，对每个命题判断可求解。
14．（湘教版九年级数学上册 3.3 相似图形 同步练习）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是 cm2．
【答案】18
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，
∴相似比=1：3，
∴面积比=（1：3）2=1：9，
∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．
故答案为：18．
【分析】根据相似图形的面积比等于边长比的平方，求解
15．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，矩形ABCD中，AB=4，M、N分别是AD、BC的中点，MN∥AB，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由已知得MN=AB，MD= AD= BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
= ，
∵MN=AB，DM= AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4 ，
故答案为：4
【分析】利用矩形的性质及M、N分别是AD、BC的中点，可得出MN=AB，MD= AD= BC，再根据相似多边形的性质，可得出矩形DMNC与矩形ABCD的对应边成比例，就可求出AD的长。
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.1 比例线段 同步练习）图中的两个四边形相似，则 = ，a= ．
【答案】63；85°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 ，解得x=36，y=27，则 ．
．
故答案为63；85°
【分析】两个四边形相似，可得出它们的对应角相等，对应边成比例，就可求出答案。
17．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
18．（2014·绍兴）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
【答案】4 +
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2 ：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为 = ，
∴另外一个矩形的长为2 ﹣ = ，宽为 = ，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+ + + ）=4 + ．
故答案为：4 + ．
【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
三、解答题
19．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝ ，它们的相似比是 .
（2）求边x、y的长度.
【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
20．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
【答案】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴，即∴BC2﹣BC AB﹣CD2=0，解得，BC=CD，∵BC、CD是正数，∴
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．
21．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
22．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，∴四边形EAFG为矩形．∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠DAB．又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE=GF．∴四边形EAFG为正方形．∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】正方形的判定与性质；图形的相似
【解析】【分析】先根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形EAFG为矩形．再证明一组邻边相等的矩形是正方形，可得出四边形EAFG为正方形．继而可证得结论。
23．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 同步练习）在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
【答案】解： 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
24．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
25．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC
（2）解：∵四边形ABEF为菱形；
∴BE=AB=6，
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，
∴ ，即 ，
解得：BC=3±3 （负值舍去），
∴BC=3+3
【知识点】菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=CD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF是平行四边形，再根据角平分线的定义及平行线的性质，去证明AB=EB，就可证得四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的性质可证得结论。
（2）利用相似多边形的性质和菱形的性质，由四边形ABCD∽四边形CEFD，得出对应边成比例，就可求出BC的长。
26．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
27．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
28．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG= ，求GD的长．
【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP= AB=1，
AP= = ，AE=AG= ，
∴EP=2 ，
∴EB= = = ，
∴GD= ．
【知识点】菱形的性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）利用相似多边形的性质，可证得∠EAG=∠BAD，再证明∠EAB=∠GAD，然后利用就可证明△AEB≌△AGD，利用全等三角形的性质可证得结论。
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，先利用直角三角形的性质求出BP的长，再利用勾股定理求出AP，继而可求出AE、EP，然后在Rt△BEP中，利用勾股定理求出BE的长，就可求出DG。
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