人教新课标A版 高中数学必修3 第三章概率 3.2.1古典概型 同步测试
一、单选题
1．3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由于3名学生，甲乙需站在一起，可将两人视为一个整体与第三人进行排列，有2种排法，又甲乙两人位置可以对调，有两种站法，所以甲、乙两人站在一起的排法数有4种，又3人总排法数有6中，所以概率为.（另可将3人排法利用列举法一一列举)。选A。
【点评】此题考查概率基本运算，属基础题.
2．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】将1枚硬币抛2次，总的结果数为4，其中恰好出现1次正面的情况有2种正反，反正，所以恰好出现1次正面的概率是，故选A。
【点评】解题的关键是看出试验是否符合古典概型的特点，注意应用概率的计算公式，本题是一个基础题。
3．袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】根据题意，由于袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．那么从袋中任取3个球，所有的情况为，而对于所取3个球中至多有1个红球的情况为，故可知所取3个球中至多有1个红球的概率是40：56=，故选D。
【点评】主要是考查了古典概型概率的计算，属于基础题。
4．从一副标准的52张扑克牌（不含大王和小王）中任意抽一张，抽到黑桃Q的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】∵从一副标准152张扑克牌（不含5王和小王)中任意抽一张共有52种等可能1结果，
而抽到黑桃Q共有一种结果
∴从一副标准52张扑克牌（不含5王和小王)中任意抽一张，抽到黑桃Q1概率为
故选A
【分析】52张扑克牌（不含大王和小王)中，黑桃Q只有一张，故从一副标准的52张扑克牌（不含大王和小王)中任意抽一张，抽到黑桃Q的概率为.
5．（2016·北京文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．
故选：B．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．（2018高二下·辽源月考）袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红、黑球各一个
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【分析】写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案
7．一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；等可能事件的概率
【解析】【分析】因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法较宜，在各个部门算出需要抽取的人数，根据做出的人数，再分别做出每个部门的人，被抽到的概率，结果相等．
【解答】因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法．
∵=，即每个个体被抽到的概率都是 =，因分层抽样方法每个个体被抽到的概率都相等，每个管理人员被抽到的概率为
故选C．
8．（2020高二下·应县期中）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为，故选A。
【分析】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发送3次和2次的独立重复试验，本题考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式得记忆与灵活运用，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键。
9．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从 1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4，5故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
【分析】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
10．（2020高二下·龙江期中）甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：总的可能性为3×3=9种，
两位同学参加同一个小组的情况为3种，
∴所求概率P==，
故选：A．
【分析】由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得．
11．（2016·新课标I卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有 =6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为 = ．
故选：C．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．；本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
12．（2016·天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．
故选：A．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．；本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
13．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥 D．任何两个均互斥
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：从一批产品中取出三件产品，
设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，
事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；
事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；
事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；
由B与C不是互斥事件得D错误．
故选：A．
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．
14．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选：C
【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．
15．（2016高二下·辽宁期中）袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：所有的取法共有 =56种，其中，没有红球的取法有 =10种，只有1个红球的取法有 =30种，
故所取3个球中至多有1个红球的取法有10+30=40种，
故所取3个球中至多有1个红球的概率为 = ，
故选D．
【分析】所有的取法共有 种，其中，没有红球的取法有 种，只有1个红球的取法有 种，由此求得所取3个球中至多有1个红球的概率．
二、填空题
16．（2017高一下·拉萨期末）连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），
基本事件总数n=6×6=36，
事件“两次向上的数字之和等于7”，有：
（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6个，
∴事件“两次向上的数字之和等于7”的概率p===．
故答案为：．
【分析】连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），先求出基本事件总数，再用列举法求出事件“两次向上的数字之和等于7”包含的基本事件的个数，由此能求出事件“两次向上的数字之和等于7”的概率．
17．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少一个5点或6点的概率是
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：同时抛掷两枚骰子，“没有5点或6点”的对立事件是“至少一个5点或6点”的事件，
又没有5点或6点的概率是，
则至少一个5点或6点的概率1﹣=，
故答案为：
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可．
18．（2016·上海文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 ，乙同学的选法种数为 ， 则两同学的选法种数为 种．两同学相同的选法种数为 ．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．故答案为： ．
【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．
19．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况，
要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，
可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C52=10种情况，
则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，
则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种，
其概率P==．
故答案为．
【分析】根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情 况数目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概 率公式，计算可得答案．
20．一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为．取出绿球的概率是 ；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有
个．
【答案】；18
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（取出绿球）=1﹣P（取出黄球）=1﹣=；
设袋中有绿球x个．
根据题意，得：，
解得：x=18，
经检验：x=18是所列方程的解．
答案是：；18．
【分析】根据取出绿球的概率=1﹣取出黄球的概率即可；利用关系式为： =取出绿球的概率，列出等式即可解出绿球个数．
三、解答题
21．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：
（1）取出的1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
【答案】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，
∴概率为P==．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，
∴概率为P=．
即取出的1球是红球或黑球的概率为；
取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，
根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果．
22．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果．连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b．
（1）求直线ax+by=0与直线x+2y+1=0平行的概率；
（2）求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．
【答案】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6；三种结果，∴所求的概率是P==（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b共有1，2；2，1；2，2；2，3；3，2；3，3，3；3，4；4，3；4，4；4，5；5，4；5，5；5，6；6，5；6，6共有15种结果，∴所求的概率是=
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6三种结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b可以列举出来共有15种结果，得到概率．
23．某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测．
车间 A B C
数量 50 150 100
（1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品来自相同车间的概率．
【答案】解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是=，
所以A车间产品被选取的件数为50x=1，
B车间产品被选取的件数为150x=3，
C车间产品被选取的件数为100x=2．
（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．
则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，则事件D包含的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2），共4个．
所以P(D)=，即这2件产品来自相同车间的概率为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比，然后求解A、B、C各车间产品的数量．
（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．写出从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，写出事件D包含的基本事件，然后求解这2件产品来自相同车间的概率．
24． 从男女生共36人的班中选出2名代表，每人当选的机会均等．如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？
【答案】解：设男生有x名，则女生有（36﹣x）人，
选出的2名代表是同性的概率为P= =，
即 =，
解得x=15或21．所以男女生相差6人．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】设出男生的个数，则女生的个数可以表示出来，从男女生共36人的班中，选出2名代表共有C362种结果，类似的列出选两名女生和两名男生的结果数，列出方程求解．
25．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．
（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；
（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．
【答案】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，
将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，
从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：
（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），
（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），
共12种，
其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：
P1==．
（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，
其中不含有编号2的基本事件有=16，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，
∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p===．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．
（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．
1 / 1人教新课标A版 高中数学必修3 第三章概率 3.2.1古典概型 同步测试
一、单选题
1．3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是 ( )
A． B． C． D．
2．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（ ）
A． B． C． D．0
3．袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
4．从一副标准的52张扑克牌（不含大王和小王）中任意抽一张，抽到黑桃Q的概率为（）
A． B． C． D．
5．（2016·北京文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018高二下·辽源月考）袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红、黑球各一个
7．一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·应县期中）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
9．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·龙江期中）甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2016·新课标I卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2016·天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．A与B互为对立事件
C．B与C互斥 D．任何两个均互斥
14．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
15．（2016高二下·辽宁期中）袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2017高一下·拉萨期末）连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为
17．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少一个5点或6点的概率是
18．（2016·上海文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．
19．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是
20．一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为．取出绿球的概率是 ；如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有
个．
三、解答题
21．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求：
（1）取出的1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
22．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果．连续抛掷两次，第一次抛掷的点数记为a，第二次抛掷的点数记为b．
（1）求直线ax+by=0与直线x+2y+1=0平行的概率；
（2）求长度依次为a，b，2的三条线段能构成三角形的概率．
23．某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测．
车间 A B C
数量 50 150 100
（1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品来自相同车间的概率．
24． 从男女生共36人的班中选出2名代表，每人当选的机会均等．如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？
25．有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球．
（Ⅰ）从甲、乙袋子中各取一个球，求两球编号之和小于8的概率；
（Ⅱ）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由于3名学生，甲乙需站在一起，可将两人视为一个整体与第三人进行排列，有2种排法，又甲乙两人位置可以对调，有两种站法，所以甲、乙两人站在一起的排法数有4种，又3人总排法数有6中，所以概率为.（另可将3人排法利用列举法一一列举)。选A。
【点评】此题考查概率基本运算，属基础题.
2．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】将1枚硬币抛2次，总的结果数为4，其中恰好出现1次正面的情况有2种正反，反正，所以恰好出现1次正面的概率是，故选A。
【点评】解题的关键是看出试验是否符合古典概型的特点，注意应用概率的计算公式，本题是一个基础题。
3．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】根据题意，由于袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．那么从袋中任取3个球，所有的情况为，而对于所取3个球中至多有1个红球的情况为，故可知所取3个球中至多有1个红球的概率是40：56=，故选D。
【点评】主要是考查了古典概型概率的计算，属于基础题。
4．【答案】A
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】∵从一副标准152张扑克牌（不含5王和小王)中任意抽一张共有52种等可能1结果，
而抽到黑桃Q共有一种结果
∴从一副标准52张扑克牌（不含5王和小王)中任意抽一张，抽到黑桃Q1概率为
故选A
【分析】52张扑克牌（不含大王和小王)中，黑桃Q只有一张，故从一副标准的52张扑克牌（不含大王和小王)中任意抽一张，抽到黑桃Q的概率为.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．
故选：B．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【分析】写出从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案
7．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；等可能事件的概率
【解析】【分析】因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法较宜，在各个部门算出需要抽取的人数，根据做出的人数，再分别做出每个部门的人，被抽到的概率，结果相等．
【解答】因为了解职工的某种情况，故采用分层抽样方法．
∵=，即每个个体被抽到的概率都是 =，因分层抽样方法每个个体被抽到的概率都相等，每个管理人员被抽到的概率为
故选C．
8．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为，故选A。
【分析】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发送3次和2次的独立重复试验，本题考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式得记忆与灵活运用，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键。
9．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从 1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4，5故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
【分析】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
10．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：总的可能性为3×3=9种，
两位同学参加同一个小组的情况为3种，
∴所求概率P==，
故选：A．
【分析】由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得．
11．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有 =6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为 = ．
故选：C．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．；本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
12．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．
故选：A．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．；本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
13．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：从一批产品中取出三件产品，
设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，
事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；
事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；
事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；
由B与C不是互斥事件得D错误．
故选：A．
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．
14．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，
在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选：C
【分析】分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．
15．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：所有的取法共有 =56种，其中，没有红球的取法有 =10种，只有1个红球的取法有 =30种，
故所取3个球中至多有1个红球的取法有10+30=40种，
故所取3个球中至多有1个红球的概率为 = ，
故选D．
【分析】所有的取法共有 种，其中，没有红球的取法有 种，只有1个红球的取法有 种，由此求得所取3个球中至多有1个红球的概率．
16．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），
基本事件总数n=6×6=36，
事件“两次向上的数字之和等于7”，有：
（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6个，
∴事件“两次向上的数字之和等于7”的概率p===．
故答案为：．
【分析】连续2次抛掷﹣枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），先求出基本事件总数，再用列举法求出事件“两次向上的数字之和等于7”包含的基本事件的个数，由此能求出事件“两次向上的数字之和等于7”的概率．
17．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：同时抛掷两枚骰子，“没有5点或6点”的对立事件是“至少一个5点或6点”的事件，
又没有5点或6点的概率是，
则至少一个5点或6点的概率1﹣=，
故答案为：
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可．
18．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 ，乙同学的选法种数为 ， 则两同学的选法种数为 种．两同学相同的选法种数为 ．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．故答案为： ．
【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．
19．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据题意，共5张贺卡，5位同学每人随机地抽取1张，有A55=120种情况，
要满足5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作，
可以先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，有C52=10种情况，
则剩余的3人，抽到的都不是其本人制作的，有2种情况，
则5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情况有10×2=20种，
其概率P==．
故答案为．
【分析】根据题意，首先由排列数公式分析可得5位同学每人随机地抽取1张卡片的情况；进而分两步分析5人中恰好有2人抽取到的贺卡是其本人制作的情 况数目，①先在5人中抽出2人，使其抽取到的贺卡是其本人制作的，②分析抽到的都不是其本人制作的3人，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概 率公式，计算可得答案．
20．【答案】；18
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（取出绿球）=1﹣P（取出黄球）=1﹣=；
设袋中有绿球x个．
根据题意，得：，
解得：x=18，
经检验：x=18是所列方程的解．
答案是：；18．
【分析】根据取出绿球的概率=1﹣取出黄球的概率即可；利用关系式为： =取出绿球的概率，列出等式即可解出绿球个数．
21．【答案】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，
∴概率为P==．
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；
满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，
∴概率为P=．
即取出的1球是红球或黑球的概率为；
取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，
根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果．
22．【答案】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6；三种结果，∴所求的概率是P==（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b共有1，2；2，1；2，2；2，3；3，2；3，3，3；3，4；4，3；4，4；4，5；5，4；5，5；5，6；6，5；6，6共有15种结果，∴所求的概率是=
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果，满足条件的事件是1，2；2，4；3，6三种结果，得到概率．
（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，根据题意可以知道a+b＞2且|a﹣b|＜2，符合要求的a，b可以列举出来共有15种结果，得到概率．
23．【答案】解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是=，
所以A车间产品被选取的件数为50x=1，
B车间产品被选取的件数为150x=3，
C车间产品被选取的件数为100x=2．
（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．
则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，则事件D包含的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2），共4个．
所以P(D)=，即这2件产品来自相同车间的概率为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比，然后求解A、B、C各车间产品的数量．
（2）设6件来自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．写出从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件．记事件D：“抽取的这2件产品来自相同车间”，写出事件D包含的基本事件，然后求解这2件产品来自相同车间的概率．
24．【答案】解：设男生有x名，则女生有（36﹣x）人，
选出的2名代表是同性的概率为P= =，
即 =，
解得x=15或21．所以男女生相差6人．
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【分析】设出男生的个数，则女生的个数可以表示出来，从男女生共36人的班中，选出2名代表共有C362种结果，类似的列出选两名女生和两名男生的结果数，列出方程求解．
25．【答案】解：（Ⅰ）将甲袋中编号分别为1，2，3，4的4个分别记为A1，A2，A3，A4，
将乙袋中编号分别为2，4，6的三个球分别记为B2，B4，B6，
从甲、乙两袋中各取一个小球的基本事件为：
（A1，B2），（A1，B4），（A1，B6），（A2，B2），（A2，B4），（A2，B6），
（A3，B2），（A3，B4），（A3，B6），（A4，B2），（A4，B4），（A4，B6），
共12种，
其中两球面镜编号之和小于8的共有8种，所以两球编号之和小于8的概率为：
P1==．
（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，所有基本事件个数n==18，
其中不含有编号2的基本事件有=16，∴含有编号2的基本事件个数m=18﹣6=12，
∴所取出的3个球中含有编号为2的球的概率p===．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）利用列举法能求出两球编号之和小于8的概率．
（Ⅱ）从甲袋中任取2球，从乙袋中任取一球，先求出所有基本事件个数，再求出含有编号2的基本事件个数，由此能求出所取出的3个球中含有编号为2的球的概率．
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