人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例 同步测试
一、单选题
1．已知=（1，0），=（x，1），若 =，则x的值为（ ）
A． B．2 C．-1 D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】∵=（1，0），=（x，1），
∴ =（1，0） （x，1）=x=
故选D．
【分析】根据两向量的数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标表示出 即可得答案．
2．已知三个力 =(-2，-1)，=(-3，2)，=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】D
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．
故选D．
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
3．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】如图令，由于故，，如图，AB=1，故，，故，
同理可求得，所以，所以的最大值为2.选A.
【分析】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题。
4．已知O是△ABC内一点，若，则△AOC与△ABC的面积的比值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，因为AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，，对角线，
所以三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，
设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，
因为AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，
则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
所以三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，因为AF：FB=2：1，
所以三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X，
故两三角形面积之比为1：3，故选C.
【分析】本题考查用向量来解决几何问题，本题解题的关键是对于所给的向量之间的关系的等式的理解，根据向量之间的关系得到线段之间的关系进而得到面积之间的关系
5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量，那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15， 10-15=-5那么可知该点的坐标为，故选C.
【分析】主要是考查了向量的表示的平移方向的运用，属于基础题。
6．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】将题目已知条件|+|=|－|=2||各项平方转化，能得 =0，，利用夹角余弦公式计算，注意等量代换．选C。
7．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（ ）
A．10N B．10 N C．20 N D．10N
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设向F1，F2的对应向量分别为
以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则，对应力F1，F2的合力
∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形
在Rt△OAC中，∠COA=30°， =20
∴cos30°=10
故选：A
【分析】设向F1，F2的对应向量分别为，在矩形OACB中根据∠COA=30°，=20，可得cos30°=10，由此即得力F1的大小．
8．一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（ ）
A．2km/h B．4km/h C．2km/h D．3km/h
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】如图所示，
渔船实际航行的速度为
；
大小为
=
=2km/h．
故选：A．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的合成法则，求出渔船实际航行的速度大小．
9．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A．13m/s B．12m/s C．17m/s D．15m/s
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设河水的流速v2=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s，
小船的静水速度为v1，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，
∴静水速度=13（m/s）．
故答案为：A．
【分析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，由此能求出静水速度．
10．一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（ ）
A．10J B．12J C．14J D．16J
【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出“位移﹣力”图，
图中阴影部分的面积=14．
故选C．
【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”图中的面积，进而计算可得答案．
11．已知两个力 F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（ ）
A．5N B．5N C．10N D．5N
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于α=60°，∴F2的大小为|F合| sin60°=10×=5．
故选A．
【分析】此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
12．已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）
A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9）
【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：∵作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），
则合力F=F1+F2+F3=（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）=（8，0），
设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得： =（8，0），
即（x，y）﹣（1，1）=（8，0），∴（x，y）=（9，1）．
故选A．
【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1）的合力F，再设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：=（8，0），即可得到合力F=F1+F2+F3的终点坐标．
13．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a，b），=（1，-2），则向量的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：∵∴的
∴（a，b） （1，﹣2）=a﹣2b=0，即a=2b
把一颗骰子投掷两次的基本事件数一共为36，设a=2b时的事件为A，则事件A的个数为3
故p（A）=
故选B．
【分析】先根据向量的数量积运算求出a，b的关系，进而求出满足a，b的事件数，再与基本事件数相除即可得到答案．
14．一物体在力F(x)=5x+2（x单位为m，F单位为N）的作用下，沿着与力F相同的方向从x=0处运动到x=4处，则力F所作的功是 ( )
A．40 B．42 C．48 D．52
【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意，作出“位移-力”图，图中阴影部分的面积=14．故选C．
【分析】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法．
15．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】；
二、填空题
16．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是
【答案】7
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴
∴cos∠BAC=
∴∠BAC=60°
∴S=×sin60°=7
故答案为：7
【分析】求出向量的坐标，进而可得模长即向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积．
17．作用于原点的两个力F1=（1，1），F2=（2，3），为使它们平衡，需加力F3= ．
【答案】（﹣3，﹣4）
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解： =（1，1）+（2，3）=（3，4）
为使它们平衡则
∴=（﹣3，﹣4）
故答案为：（﹣3，﹣4）
【分析】先求出作用于原点的两个力的合力，然后为使它们平衡则，从而求出需加力．
18．在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 km/h．
【答案】4
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图， 表示水流速度， 表示船在静水中的速度，
则 表示船的实际速度．
则||=4，||=8，∠AOB=90°
∴||=，
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4．
【分析】画出示意图，根据三角形的有关知识进行求解即可求出所求．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
【答案】 4
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则 表示船的实际速度．
则 ，∠AOB=90°
∴
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4
20．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
【答案】15
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意得：AB=5海里，∠ADC=60°，∠BDC=30°，DC⊥AC，
∴∠DBC=60°，∠BDA=∠A=30°，∴BD=AB=5海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=5×=，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为÷=10海里/小时
故答案为：15．
【分析】作出图形，求得线段BD=AB=5海里，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．
三、解答题
21．一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．
【答案】解：如图，设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴∠CAB=60°．
故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理，即可得出结论．
22．一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．
【答案】解：如图，一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，
所用时间为2小时，到达对岸时船的实际航程为8km，即AB=8km，则水流CB==4km，
水流速度为：km/h．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速．
23．一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
【答案】解：分别取正东、正北方向上的单位向量，为基底，设风速可表示为x+y，
第一次船速为8，第二次船速为16，
则由题意可得，
x+y﹣8=﹣p（p＞0）
x+y﹣16=﹣q（+）（q＞0），
∴x=8，y=﹣8，
∴即风的方向为西北方向，大小为8千米/小时．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】分别取正东、正北方向上的单位向量，为基底，设风速可表示为x+y，从而解出x=8，y=﹣8，从而得到风速的大小及方向．
24．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳．
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
【答案】解：（1）如左图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为+=
由勾股定理知||=8
且在Rt△ACO中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时．
（2）如右图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为=﹣，
在Rt△AOD中，||=4，||=4，||=4，cos∠DAO=
∴∠DAO=arccos．
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为4公里/小时．
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）如左图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为+=，可得结论；
（2）如右图，设此人的实际速度为 ，水流速度为，则游速为 =﹣，可得结论．
25．如图所示，已知在矩形ABCD中，=4，设 =a，=b，=c，试求| ++|．
【答案】解：∵|++|=|++|=|+|．
延长BC至E，使CE=BC，连DE．由于 ==，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴=，
∴+=+=，
∴|a+b+c|=||=2||=2||=8．
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【分析】先利用向量的加法把| ++|转化为|++|=|+|，再延长BC至E，使CE=BC构造一个一个新的平行四边形，再把|+|转化为2||即可求解．
1 / 1人教新课标A版高中数学必修4 第二章平面向量 2.5平面向量应用举例 同步测试
一、单选题
1．已知=（1，0），=（x，1），若 =，则x的值为（ ）
A． B．2 C．-1 D．
2．已知三个力 =(-2，-1)，=(-3，2)，=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（1，2）
3．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
4．已知O是△ABC内一点，若，则△AOC与△ABC的面积的比值为 （ ）
A． B． C． D．
5．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
6．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为( )
A． B． C． D．
7．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（ ）
A．10N B．10 N C．20 N D．10N
8．一条渔船以6km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则这条渔船实际航行的速度大小为（ ）
A．2km/h B．4km/h C．2km/h D．3km/h
9．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A．13m/s B．12m/s C．17m/s D．15m/s
10．一物体在力F（x）=4x﹣1（单位：N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F（x）所作的功为（ ）
A．10J B．12J C．14J D．16J
11．已知两个力 F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（ ）
A．5N B．5N C．10N D．5N
12．已知作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为（ ）
A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9）
13．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a，b），=（1，-2），则向量的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．一物体在力F(x)=5x+2（x单位为m，F单位为N）的作用下，沿着与力F相同的方向从x=0处运动到x=4处，则力F所作的功是 ( )
A．40 B．42 C．48 D．52
15．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
二、填空题
16．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是
17．作用于原点的两个力F1=（1，1），F2=（2，3），为使它们平衡，需加力F3= ．
18．在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 km/h．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以2km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
20．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
三、解答题
21．一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．
22．一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向花去，到达对岸时船的实际航程为8km，求河水的流速．
23．一船以8km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
24．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳．
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
25．如图所示，已知在矩形ABCD中，=4，设 =a，=b，=c，试求| ++|．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】∵=（1，0），=（x，1），
∴ =（1，0） （x，1）=x=
故选D．
【分析】根据两向量的数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标表示出 即可得答案．
2．【答案】D
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．
故选D．
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】如图令，由于故，，如图，AB=1，故，，故，
同理可求得，所以，所以的最大值为2.选A.
【分析】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题。
4．【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，因为AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，，对角线，
所以三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，
设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，
因为AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，
则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
所以三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，因为AF：FB=2：1，
所以三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X，
故两三角形面积之比为1：3，故选C.
【分析】本题考查用向量来解决几何问题，本题解题的关键是对于所给的向量之间的关系的等式的理解，根据向量之间的关系得到线段之间的关系进而得到面积之间的关系
5．【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量，那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15， 10-15=-5那么可知该点的坐标为，故选C.
【分析】主要是考查了向量的表示的平移方向的运用，属于基础题。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】将题目已知条件|+|=|－|=2||各项平方转化，能得 =0，，利用夹角余弦公式计算，注意等量代换．选C。
7．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设向F1，F2的对应向量分别为
以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图，则，对应力F1，F2的合力
∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形
在Rt△OAC中，∠COA=30°， =20
∴cos30°=10
故选：A
【分析】设向F1，F2的对应向量分别为，在矩形OACB中根据∠COA=30°，=20，可得cos30°=10，由此即得力F1的大小．
8．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】如图所示，
渔船实际航行的速度为
；
大小为
=
=2km/h．
故选：A．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的合成法则，求出渔船实际航行的速度大小．
9．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设河水的流速v2=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s，
小船的静水速度为v1，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，
∴静水速度=13（m/s）．
故答案为：A．
【分析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，由此能求出静水速度．
10．【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出“位移﹣力”图，
图中阴影部分的面积=14．
故选C．
【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”图中的面积，进而计算可得答案．
11．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于α=60°，∴F2的大小为|F合| sin60°=10×=5．
故选A．
【分析】此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
12．【答案】A
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：∵作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1），且A（1，1），
则合力F=F1+F2+F3=（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）=（8，0），
设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得： =（8，0），
即（x，y）﹣（1，1）=（8，0），∴（x，y）=（9，1）．
故选A．
【分析】先根据向量的加法运算法则求出作用于A点的三个力F1=（3，4），F2=（2，﹣5），F3=（3，1）的合力F，再设合力F=F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：=（8，0），即可得到合力F=F1+F2+F3的终点坐标．
13．【答案】B
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：∵∴的
∴（a，b） （1，﹣2）=a﹣2b=0，即a=2b
把一颗骰子投掷两次的基本事件数一共为36，设a=2b时的事件为A，则事件A的个数为3
故p（A）=
故选B．
【分析】先根据向量的数量积运算求出a，b的关系，进而求出满足a，b的事件数，再与基本事件数相除即可得到答案．
14．【答案】C
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意，作出“位移-力”图，图中阴影部分的面积=14．故选C．
【分析】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法．
15．【答案】C
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】；
16．【答案】7
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
∴
∴cos∠BAC=
∴∠BAC=60°
∴S=×sin60°=7
故答案为：7
【分析】求出向量的坐标，进而可得模长即向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积．
17．【答案】（﹣3，﹣4）
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解： =（1，1）+（2，3）=（3，4）
为使它们平衡则
∴=（﹣3，﹣4）
故答案为：（﹣3，﹣4）
【分析】先求出作用于原点的两个力的合力，然后为使它们平衡则，从而求出需加力．
18．【答案】4
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图， 表示水流速度， 表示船在静水中的速度，
则 表示船的实际速度．
则||=4，||=8，∠AOB=90°
∴||=，
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4．
【分析】画出示意图，根据三角形的有关知识进行求解即可求出所求．
19．【答案】 4
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则 表示船的实际速度．
则 ，∠AOB=90°
∴
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4
20．【答案】15
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意得：AB=5海里，∠ADC=60°，∠BDC=30°，DC⊥AC，
∴∠DBC=60°，∠BDA=∠A=30°，∴BD=AB=5海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=5×=，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为÷=10海里/小时
故答案为：15．
【分析】作出图形，求得线段BD=AB=5海里，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．
21．【答案】解：如图，设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴∠CAB=60°．
故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】作出图形，利用勾股定理，即可得出结论．
22．【答案】解：如图，一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，
所用时间为2小时，到达对岸时船的实际航程为8km，即AB=8km，则水流CB==4km，
水流速度为：km/h．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速．
23．【答案】解：分别取正东、正北方向上的单位向量，为基底，设风速可表示为x+y，
第一次船速为8，第二次船速为16，
则由题意可得，
x+y﹣8=﹣p（p＞0）
x+y﹣16=﹣q（+）（q＞0），
∴x=8，y=﹣8，
∴即风的方向为西北方向，大小为8千米/小时．
【知识点】向量在物理中的应用
【解析】【分析】分别取正东、正北方向上的单位向量，为基底，设风速可表示为x+y，从而解出x=8，y=﹣8，从而得到风速的大小及方向．
24．【答案】解：（1）如左图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为+=
由勾股定理知||=8
且在Rt△ACO中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时．
（2）如右图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为=﹣，
在Rt△AOD中，||=4，||=4，||=4，cos∠DAO=
∴∠DAO=arccos．
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为4公里/小时．
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【分析】（1）如左图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为+=，可得结论；
（2）如右图，设此人的实际速度为 ，水流速度为，则游速为 =﹣，可得结论．
25．【答案】解：∵|++|=|++|=|+|．
延长BC至E，使CE=BC，连DE．由于 ==，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴=，
∴+=+=，
∴|a+b+c|=||=2||=2||=8．
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【分析】先利用向量的加法把| ++|转化为|++|=|+|，再延长BC至E，使CE=BC构造一个一个新的平行四边形，再把|+|转化为2||即可求解．
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