初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题7 三角形的中位线
一、单选题
1．（2019八下·南山期中）如图，要测量被池塘隔开的A，B两点的距离，小明在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE，现测得DE=45米，那么AB等于（ ）
A．90米 B．88米 C．86米 D．84米
2．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
3．（2017八下·东城期中）如图，在 中， ， ， ，点 ， ， 分别是 三边中点，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
5．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
6．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
7．（2019八上·浦东期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
8．（2020八下·滨海期末）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020八下·江苏月考）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
二、填空题
11．（2019八下·北京期末）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝ ．
12．（2019八下·克东期末）如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长
是 ．
13．（2017八下·东城期中）如图是跷跷板的示意图，立柱 与地面垂直，以 为横板 的中点， 绕点 上下转动，横板 的 端最大高度 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 ， ，通过计算得到此时的 ，再将横板 换成横板 ， 为横板 的中点，且 ，此时 点的最大高度为 ，由此得到 与 的大小关系是： （填“ 、“ ”或“ ”）可进一步得出， 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．
14．（2017八下·卢龙期末）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
15．（2017八下·揭西期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC=6，则DE的长为
16．（2017八下·东台开学考）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是
三、解答题
17．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
18．（2016八下·广州期中）如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．
四、综合题
20．补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC.
21．（2017八下·海珠期末）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF．
（2）分别连结DC、AF，若AC=BC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AC、BC的中点
∴AB=2DE=2×45=90（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中位线定理易求AB的长。
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
故答案为：C
【分析】根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，而AR的长度不变，所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， 分别是 三边中点，
∴ ， ， 为 中位线，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由三角形中位线性质，可得结果。
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝ BC＝3．
故答案为：C．
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
9．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
【解答】①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠B=60°，
∴，
∴CD≠BC．
②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题①中求证BD≠BC是解题的关键．
10．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，
∵E，F分别为AP，PR的中点，
∴EF= AR，
当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，
∵AR的长度不变，∴线段EF的长不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，根据中位线定理可得EF= AR，因为AR的长度不变，所以线段EF的长不变.
11．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴PQ∥BC，PQ＝ BC，
∴△APQ∽△ABC，
＝（ ）2＝ ，
∵S△APQ＝1，
∴S△ABC＝4，
∴S四边形PBCQ＝S△ABC﹣S△APQ＝3，
故答案为3．
【分析】根据三角形的中位线定理得到PQ＝ BC，得到相似比为 ，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到结果.
12．【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵BM＝6，BN＝7，点A，C分别是MB，NB的中点，
∴AB=3，BC=3.5，
∴四边形ABCD的周长=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13.
故答案为13
【分析】根据中位线性质可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四边形ABCD为平行四边形，由中点可得四边形ABCD的周长
13．【答案】=；不变
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】过 作 ， ，
∵ 是 与 的中位线，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
随横板的长度的变化而不变．故答案为： (1). = (2). 不变.
【分析】过 B 作 B D ⊥ A D ， B ′ D ′ ⊥ A ′ D ′ ，由题意知O C 是 △ A B D 与 △ A ′ B ′ D ′ 的中位线，所以根据三角形的中位线定理可得BD=B′D′=2OC，则可得h1=h2，即h 随横板的长度的变化而不变。
14．【答案】3n
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为每次增加一个三角形，就增加3个平行四边形，那么n次后，就有3n个平行四边形了
【分析】观察各图形，根据题目要求，第一个图形由2个三角形拼接成（由一个三角形连接各边中点，则又增加一个三角形），有3个平行四边形；同理，第二个图形由3个三角形拼接成，有6个平行四边形；第三个图形有4个三角形拼接成，有9个平行四边形；会发现，每增加一个三角形，四边形增加3个，按照这个规律，第n个图形中则有3n个四边形.
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC中点.
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
.
【分析】根据三角形的中位线的定理得到DE=AC=AB，得到DE的长.
16．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠BFD，
∴DF=BD，
∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD= BC= ×6=3，
∴DF=3.
故答案为：3.
【分析】利用中位线定理，得DE∥AB，转化∠CBF=∠BFD，DF=BD，进而求出BF.
17．【答案】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MN∥BD，MN=．
同理：GF∥BD，GF=．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH==3，HM=，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM==5．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°；
（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
18．【答案】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM= AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM= CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．
19．【答案】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
20．【答案】（1）平行于第三边，且等于第三边的一半
（2）【解答】
证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=BC．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理填写即可；
（2）延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
21．【答案】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．
（2）解：四边形ADCF是矩形．
理由：∵DE=FE，AE=AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE；（2）首先证得四边形ADCF是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DF，从而得到四边形ADCF是矩形．
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题7 三角形的中位线
一、单选题
1．（2019八下·南山期中）如图，要测量被池塘隔开的A，B两点的距离，小明在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE，现测得DE=45米，那么AB等于（ ）
A．90米 B．88米 C．86米 D．84米
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AC、BC的中点
∴AB=2DE=2×45=90（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中位线定理易求AB的长。
2．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
故答案为：C
【分析】根据中位线定理可知，EF平行于AR，且等于AR的一半，而AR的长度不变，所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
3．（2017八下·东城期中）如图，在 中， ， ， ，点 ， ， 分别是 三边中点，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， 分别是 三边中点，
∴ ， ， 为 中位线，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由三角形中位线性质，可得结果。
4．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
5．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
6．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
7．（2019八上·浦东期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
8．（2020八下·滨海期末）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝ BC＝3．
故答案为：C．
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
9．如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．
【解答】①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
∵∠B=60°，
∴，
∴CD≠BC．
②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：
故计划可拼出①②③．
故选C
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题①中求证BD≠BC是解题的关键．
10．（2020八下·江苏月考）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，
∵E，F分别为AP，PR的中点，
∴EF= AR，
当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，
∵AR的长度不变，∴线段EF的长不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，根据中位线定理可得EF= AR，因为AR的长度不变，所以线段EF的长不变.
二、填空题
11．（2019八下·北京期末）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝ ．
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴PQ∥BC，PQ＝ BC，
∴△APQ∽△ABC，
＝（ ）2＝ ，
∵S△APQ＝1，
∴S△ABC＝4，
∴S四边形PBCQ＝S△ABC﹣S△APQ＝3，
故答案为3．
【分析】根据三角形的中位线定理得到PQ＝ BC，得到相似比为 ，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到结果.
12．（2019八下·克东期末）如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长
是 ．
【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
∵BM＝6，BN＝7，点A，C分别是MB，NB的中点，
∴AB=3，BC=3.5，
∴四边形ABCD的周长=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13.
故答案为13
【分析】根据中位线性质可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四边形ABCD为平行四边形，由中点可得四边形ABCD的周长
13．（2017八下·东城期中）如图是跷跷板的示意图，立柱 与地面垂直，以 为横板 的中点， 绕点 上下转动，横板 的 端最大高度 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 ， ，通过计算得到此时的 ，再将横板 换成横板 ， 为横板 的中点，且 ，此时 点的最大高度为 ，由此得到 与 的大小关系是： （填“ 、“ ”或“ ”）可进一步得出， 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．
【答案】=；不变
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】过 作 ， ，
∵ 是 与 的中位线，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
随横板的长度的变化而不变．故答案为： (1). = (2). 不变.
【分析】过 B 作 B D ⊥ A D ， B ′ D ′ ⊥ A ′ D ′ ，由题意知O C 是 △ A B D 与 △ A ′ B ′ D ′ 的中位线，所以根据三角形的中位线定理可得BD=B′D′=2OC，则可得h1=h2，即h 随横板的长度的变化而不变。
14．（2017八下·卢龙期末）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
【答案】3n
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为每次增加一个三角形，就增加3个平行四边形，那么n次后，就有3n个平行四边形了
【分析】观察各图形，根据题目要求，第一个图形由2个三角形拼接成（由一个三角形连接各边中点，则又增加一个三角形），有3个平行四边形；同理，第二个图形由3个三角形拼接成，有6个平行四边形；第三个图形有4个三角形拼接成，有9个平行四边形；会发现，每增加一个三角形，四边形增加3个，按照这个规律，第n个图形中则有3n个四边形.
15．（2017八下·揭西期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC=6，则DE的长为
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC中点.
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
.
【分析】根据三角形的中位线的定理得到DE=AC=AB，得到DE的长.
16．（2017八下·东台开学考）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠BFD，
∴DF=BD，
∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD= BC= ×6=3，
∴DF=3.
故答案为：3.
【分析】利用中位线定理，得DE∥AB，转化∠CBF=∠BFD，DF=BD，进而求出BF.
三、解答题
17．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
【答案】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MN∥BD，MN=．
同理：GF∥BD，GF=．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH==3，HM=，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM==5．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°；
（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
18．（2016八下·广州期中）如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
【答案】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM= AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM= CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．
【答案】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
四、综合题
20．补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ；
（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC.
【答案】（1）平行于第三边，且等于第三边的一半
（2）【解答】
证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=BC．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理填写即可；
（2）延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
21．（2017八下·海珠期末）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF．
（2）分别连结DC、AF，若AC=BC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．
（2）解：四边形ADCF是矩形．
理由：∵DE=FE，AE=AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE；（2）首先证得四边形ADCF是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DF，从而得到四边形ADCF是矩形．
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