2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.8圆内接正多边形 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·汕头期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
2．（2018九上·天台月考）以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018九上·江阴期中）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A．2r B． C． D．
4．（2018·资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
5．（2018·德阳）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·温州模拟）如图，将正五边形绕其中心O顺时针旋转ɑ角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形是中心对称图形，则ɑ的最小角度为（ ）
A．30° B．36° C．72° D．90
7．（2018·嘉兴模拟）如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，想在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张．体验店平面图是长9米、宽7米的矩形，通道宽2米，桌子的边长为1米；摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，则体验区可以摆放桌子（ ）
A．4张 B．5张 C．6张 D．7张
8．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 同步训练）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1 ： 2 B．：2 C．：1 D．：2
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
10．（3.8 圆内接正多边形 同步练习）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
二、填空题
11．（2018九上·柯桥月考）如图，点G是正六边形ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+∠HGC= 度，若AB=a，则FH= （用含a的代数式表示）．
12．（2018九上·宁波期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
13．（2018九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝ °.
14．（2018·绥化）如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是 结果用含 的式子表示 ．
15．（2018·宜宾）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设⊙ 的半径为1，若用⊙ 的外切正六边形的面积 来近似估计⊙ 的面积，则 .（结果保留根号）
16．（2018·温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为 cm2，则该圆的半径为 cm．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.7 正多边形 同步练习）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
18．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
19．（人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步练习）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是 ，图10－3中∠BPN的度数是 。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
21．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.8 圆内接正多边形）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
22．（2017·邕宁模拟）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B，C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
23．（2018·上城模拟）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
【分析】根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1：
Rt△OCD中，
∵OC=1，
∴OD=OC×sin30°=，
如图2：
Rt△OBE中，
∵OB=1，
∴OE=OB×sin45°=，
如图3：
Rt△OAD中，
∵OA=1，
∴OD=OA×sin60°=，
∴该三角形三边长分别为：，，，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积为：××=.
故答案为：D.
【分析】根据圆的内接正三角形、正方形、正六边形的性质分别求出其边心距，再根据勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形，由三角形面积公式即可求得答案.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，OB=OA=r；
，
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°× =30°，
BD=r cos30°= ；
根据垂径定理，BC=2× = r．
故答案为：B．
【分析】如图所示，OB=OA=r；根据正多边形与圆的关系正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，故BO是∠ABC的平分线，从而得出∠OBD的度数，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由BD=r cos30°即可算出BD的长，最后根据垂径定理得出答案。
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形与其外接圆的关系，⊙O的半径为a，根据圆的面积公式即可算出圆的面积，空白正六边形为六个边长为a的正三角形，根据三角形的面积等于两邻边积与其夹角正弦值的积的一半，得出一个证三角形的面积，从而用圆的面积减去正六边形的面积再除以6，即可得出阴影部分的面积。
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如下图所示：
过点O作OD⊥BC于点D，延长DO则一定过点A，
∵△ABC是正三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADC=90°，
∴sin60°=AD∶AC，
∴AD=，
∴S△ABC=BC·AD=，
∴BC=2，
∴BD=BC=1，
∵cos∠OBD=cos30°=BD∶OB，
∴OB=，
如图所示
OC是该圆内接正六边形的边心距，
∵∠B=60°，OB=，∠BCO=90°，
∴sin∠B=sin60°=OC∶OB，
∴，
∴OC=1
故答案为：B．
【分析】因为圆内接正三角形的面积为 ，根据正三角形的性质及特殊锐角三角函数值算出正三角形的边长，根据垂径定理及特殊锐角三角函数值算出该圆的半径，再根据圆内接正六边形的性质及特殊锐角三角函数值及正弦函数的定义，列出方程，求解即可。
6．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：正五边形是旋转对称图形，它的最小旋转角为： 它的整数倍中没有 ，中心对称图形必须旋转 后能与自身完全重合，将正五边形绕其中心O顺时针旋转 时，与原正五边形构成新的图形，它的最小旋转角为： 它的整数倍中有 ，是中心对称图形，
故ɑ的最小角度为36°
【分析】由于正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，它的最小旋转角72°，而中心对称图形必须旋转 180 ° 后能与自身完全重合，就可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图
根据题意可知：∠AEC=30°，CE=CD=1
AC=GF=BD
在Rt△AEC中，AE=CEcos30°=
AC=
∴AG=2AE=，AB=2AC+CD=1+1=2
∵摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，
一张桌子所占的总面积为3（1+）≈12
体验区的总面积为7×7=49
49÷12≈4
体验区可以摆放桌子4张
故答案为：A
【分析】画出桌子的外接四边形是矩形，分别求出矩形的长和宽，再根据摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，求出每张桌子占的最大面积，用总面积除以每张桌子占的最大面积，就可求出结果。
8．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：设六边形的边长是a
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC=AB=a，
∴OC=
∴正六边形的边心距与边长之比为：：a=：：2
故答案为：D
【分析】根据题意画出图形，然后设设六边形的边长是a，根据勾股定理求出OC的长，再求出正六边形的边心距与边长之比即可。
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，即可得出答案。
11．【答案】120；
【知识点】圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AG、ED，两延长线交于点M
∵正六边形ABCDEF
∴∠CDM=360°÷6=60°
∠BCD==120°
∵CF所在的直线是正六边形的对称轴
∴∠FCD=∠BCF=120°÷2=60°
∴∠FCD=∠CDM
∴CF∥EM
∴∠CHG=∠M=∠AHF
在△DMG中，∠M+∠DGM=180°-∠CDM=180°-60°=120°
∵∠DGM=∠HGC
∴∠AHF+∠HGC=120°；
∵正六边形ABCDEF
∴CF是正六边形的外接圆的直径，AB=CD=a
∴CF=2AB=2a
易证AF∥CD
∴
∵点G是CD的中点
∴CG=a
∴FH：CH=a：a=2
∴FH=2CH
∵CH+FH=CF=2a即CH+2CH=2a
解之：CH=a
∴FH=2×a=
故答案为：120°；
【分析】延长AG、ED，两延长线交于点M，根据正六边形的性质可求出∠CDM、∠BCD，∠FCD，再证明CF排序EM，就可得出∠CHG=∠M=∠AHF，再利用三角形内角和定理及对顶角的性质，就可求出∠AHF+∠HGC的值；由正六边形的性质，可求出CF的长，再根据平行线分线段成比例，可得出FH=2CH，然后根据CH+FH=CF=2a，就可求出FH的值。
12．【答案】24°
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角为
正六边形每个内角为 ，
∴∠BAC=360°-108°-120°=132°，
∵正五边形和正六边形的边长相等，
∴AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB)= (180°-132°)=24°.
故答案为：24°.
【分析】分别求出正六边形和正五边形的每个内角的度数，依此求出∠BAC的度数.由等边对等角，可得∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB).
13．【答案】126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO，
由题意得，∠AOB=36°，
∴∠D=18°，
同理，∠DAC=36°，
在△AED中，∠AED=180°-36°-18°=126°，
故答案为：126.
【分析】作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO，根据正多形的中心角的计算方法得出∠AOB=36°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=18°，同理，∠DAC=36°，根据三角形的内角和即可算出答案。
14．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，
∵△ABC是等边三角形，
∴OA=2= ，
∴a=2 ，
∴S阴=S圆-S△ABC，
=4π- ×a× ，
=4π-3 .
故答案为：4π-3 .
【分析】根据圆的内接多边形的性质可求得等边三角形的边长a，再S阴=S圆-S△ABC，代入数值计算即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF，过点O作OG⊥AB，垂足为G，连接OA，OB，
由正六边形和切线的性质可得△OAB是正三角形，
则AB=OA=OB= ，
则 ，
故答案为：
【分析】首先作出图形更直观；求正六边形的面积的公式：正六边形可看成由六个完全相同的正三角形组成的，而正三角形的面积公式是 ，正六边形的面积公式是 ，即要求正六边形的边长；由⊙O的外切正六边形ABCDEF，可知△OAB是正三角形，由⊙O的半径求出AB即可.
16．【答案】8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：
很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=，而且面积等于小正六边形的面积的，故三角形PMN的面积为cm2，∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，∴PG=PM=∴OG=，在Rt△OPG中，根据勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2，即=OP2，∴OP=7cm，设OB为x，∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，∴BH=X，OH=，∴PH=5-x，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2，即；解得 ：x1=8，x2=-3（舍）
故该圆的半径为8cm。
故答案为 ：8.
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，而且面积等于小正六边形的面积的 ，故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，在Rt△OPG中，根据勾股定理得 OP的长，设OB为x，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P= ∠BOC=45°
（2）解：∵OB=OC=8，∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
∴BC=
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据正方形的中心角的计算方法得出∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠P的度数；
（2）直接利用勾股定理即可算出答案。
18．【答案】解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=，
则BC=AD=，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2，
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2=DG AD，
∴DG==，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．
则L=4x+4r﹣．
当x=﹣=r时，L取得最大值．最大值是：6r．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，顺次连接矩形的四个顶点即可作出；
（3）连接AC，利用相似三角形的性质求得DG的长，则BC和EF即可利用x和r表示出来，从而得到L关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解．
19．【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
20．【答案】（1）图1：∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
21．【答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形
（2）2；0或4
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
【分析】（1）根据正六边形的性质得出AB=DE，∠A=∠D，再根据点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，得出AP=DQ，就可证明△ABP≌△DEQ，可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明结论。
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，得出∠BPE=90°，可证明此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：∠APB=120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；
（2）90°；72°
（3）解：由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中， ．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）∠APB=120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；
（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
故答案为：（1）120°；（2）90°；72°．（3）∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
【分析】（1）依据题意可知弧BM=弧CN，依据同弧所对的圆周角相等可得到∠BAM=∠CBN，然后可求得∠BPM=60°，最后，再依据平角的定义解答即可；
（2）先证明∠BAM=∠NBC，从而可得到∠BAP+∠ABP=90°，然后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数，同理可求得图③中∠APB的度数；
（3）依据前面的计算找出其中的规律，最后，再依据规律进行解答即可.
23．【答案】（1）解：所作图形如下图所示：
（2）解：如下图，
连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°= ，OE=3，
∴AB= ，
∴CD= ，
∴S△OCD= ，
∴S阴影=6S△OCD= .
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由正六边形的性质可知，圆的半径等于正六边形的边长，而正六边形将圆分成相等的六部分，所以只需作出以线段a为半径的圆，再以线段a的长为半径顺次在圆周上截取6部分即可求解；
（2） 连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E 。由正六边形和等边三角形的性质即可求解。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.8圆内接正多边形 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·汕头期末）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故答案为：C
【分析】根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。
2．（2018九上·天台月考）以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图1：
Rt△OCD中，
∵OC=1，
∴OD=OC×sin30°=，
如图2：
Rt△OBE中，
∵OB=1，
∴OE=OB×sin45°=，
如图3：
Rt△OAD中，
∵OA=1，
∴OD=OA×sin60°=，
∴该三角形三边长分别为：，，，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积为：××=.
故答案为：D.
【分析】根据圆的内接正三角形、正方形、正六边形的性质分别求出其边心距，再根据勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形，由三角形面积公式即可求得答案.
3．（2018九上·江阴期中）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A．2r B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，OB=OA=r；
，
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°× =30°，
BD=r cos30°= ；
根据垂径定理，BC=2× = r．
故答案为：B．
【分析】如图所示，OB=OA=r；根据正多边形与圆的关系正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，故BO是∠ABC的平分线，从而得出∠OBD的度数，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由BD=r cos30°即可算出BD的长，最后根据垂径定理得出答案。
4．（2018·资阳）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．（ ）a2
C．2 D．（ ）a2
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为 ×a×a×sin60°= a2，
∴正六边形面积为 a2，
∴阴影面积为（πa2﹣ a2）× =（ ﹣ ）a2，
故答案为：B．
【分析】根据正六边形与其外接圆的关系，⊙O的半径为a，根据圆的面积公式即可算出圆的面积，空白正六边形为六个边长为a的正三角形，根据三角形的面积等于两邻边积与其夹角正弦值的积的一半，得出一个证三角形的面积，从而用圆的面积减去正六边形的面积再除以6，即可得出阴影部分的面积。
5．（2018·德阳）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如下图所示：
过点O作OD⊥BC于点D，延长DO则一定过点A，
∵△ABC是正三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADC=90°，
∴sin60°=AD∶AC，
∴AD=，
∴S△ABC=BC·AD=，
∴BC=2，
∴BD=BC=1，
∵cos∠OBD=cos30°=BD∶OB，
∴OB=，
如图所示
OC是该圆内接正六边形的边心距，
∵∠B=60°，OB=，∠BCO=90°，
∴sin∠B=sin60°=OC∶OB，
∴，
∴OC=1
故答案为：B．
【分析】因为圆内接正三角形的面积为 ，根据正三角形的性质及特殊锐角三角函数值算出正三角形的边长，根据垂径定理及特殊锐角三角函数值算出该圆的半径，再根据圆内接正六边形的性质及特殊锐角三角函数值及正弦函数的定义，列出方程，求解即可。
6．（2018·温州模拟）如图，将正五边形绕其中心O顺时针旋转ɑ角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形是中心对称图形，则ɑ的最小角度为（ ）
A．30° B．36° C．72° D．90
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：正五边形是旋转对称图形，它的最小旋转角为： 它的整数倍中没有 ，中心对称图形必须旋转 后能与自身完全重合，将正五边形绕其中心O顺时针旋转 时，与原正五边形构成新的图形，它的最小旋转角为： 它的整数倍中有 ，是中心对称图形，
故ɑ的最小角度为36°
【分析】由于正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，它的最小旋转角72°，而中心对称图形必须旋转 180 ° 后能与自身完全重合，就可得出答案。
7．（2018·嘉兴模拟）如图，雯雯开了一家品牌手机体验店，想在体验区(图1阴影部分)摆放图2所示的正六边形桌子若干张．体验店平面图是长9米、宽7米的矩形，通道宽2米，桌子的边长为1米；摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，则体验区可以摆放桌子（ ）
A．4张 B．5张 C．6张 D．7张
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图
根据题意可知：∠AEC=30°，CE=CD=1
AC=GF=BD
在Rt△AEC中，AE=CEcos30°=
AC=
∴AG=2AE=，AB=2AC+CD=1+1=2
∵摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，
一张桌子所占的总面积为3（1+）≈12
体验区的总面积为7×7=49
49÷12≈4
体验区可以摆放桌子4张
故答案为：A
【分析】画出桌子的外接四边形是矩形，分别求出矩形的长和宽，再根据摆放时要求桌子至少离墙1米，且有边与墙平行，桌子之间的最小距离至少1米，求出每张桌子占的最大面积，用总面积除以每张桌子占的最大面积，就可求出结果。
8．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 同步训练）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1 ： 2 B．：2 C．：1 D．：2
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图：设六边形的边长是a
则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC=AB=a，
∴OC=
∴正六边形的边心距与边长之比为：：a=：：2
故答案为：D
【分析】根据题意画出图形，然后设设六边形的边长是a，根据勾股定理求出OC的长，再求出正六边形的边心距与边长之比即可。
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
10．（3.8 圆内接正多边形 同步练习）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：C．
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，即可得出答案。
二、填空题
11．（2018九上·柯桥月考）如图，点G是正六边形ABCDEF的CD边的中点，AG与CF交于H点．则∠AHF+∠HGC= 度，若AB=a，则FH= （用含a的代数式表示）．
【答案】120；
【知识点】圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AG、ED，两延长线交于点M
∵正六边形ABCDEF
∴∠CDM=360°÷6=60°
∠BCD==120°
∵CF所在的直线是正六边形的对称轴
∴∠FCD=∠BCF=120°÷2=60°
∴∠FCD=∠CDM
∴CF∥EM
∴∠CHG=∠M=∠AHF
在△DMG中，∠M+∠DGM=180°-∠CDM=180°-60°=120°
∵∠DGM=∠HGC
∴∠AHF+∠HGC=120°；
∵正六边形ABCDEF
∴CF是正六边形的外接圆的直径，AB=CD=a
∴CF=2AB=2a
易证AF∥CD
∴
∵点G是CD的中点
∴CG=a
∴FH：CH=a：a=2
∴FH=2CH
∵CH+FH=CF=2a即CH+2CH=2a
解之：CH=a
∴FH=2×a=
故答案为：120°；
【分析】延长AG、ED，两延长线交于点M，根据正六边形的性质可求出∠CDM、∠BCD，∠FCD，再证明CF排序EM，就可得出∠CHG=∠M=∠AHF，再利用三角形内角和定理及对顶角的性质，就可求出∠AHF+∠HGC的值；由正六边形的性质，可求出CF的长，再根据平行线分线段成比例，可得出FH=2CH，然后根据CH+FH=CF=2a，就可求出FH的值。
12．（2018九上·宁波期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
【答案】24°
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角为
正六边形每个内角为 ，
∴∠BAC=360°-108°-120°=132°，
∵正五边形和正六边形的边长相等，
∴AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB)= (180°-132°)=24°.
故答案为：24°.
【分析】分别求出正六边形和正五边形的每个内角的度数，依此求出∠BAC的度数.由等边对等角，可得∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB).
13．（2018九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝ °.
【答案】126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO，
由题意得，∠AOB=36°，
∴∠D=18°，
同理，∠DAC=36°，
在△AED中，∠AED=180°-36°-18°=126°，
故答案为：126.
【分析】作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO，根据正多形的中心角的计算方法得出∠AOB=36°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=18°，同理，∠DAC=36°，根据三角形的内角和即可算出答案。
14．（2018·绥化）如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是 结果用含 的式子表示 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，
∵△ABC是等边三角形，
∴OA=2= ，
∴a=2 ，
∴S阴=S圆-S△ABC，
=4π- ×a× ，
=4π-3 .
故答案为：4π-3 .
【分析】根据圆的内接多边形的性质可求得等边三角形的边长a，再S阴=S圆-S△ABC，代入数值计算即可得出答案.
15．（2018·宜宾）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设⊙ 的半径为1，若用⊙ 的外切正六边形的面积 来近似估计⊙ 的面积，则 .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF，过点O作OG⊥AB，垂足为G，连接OA，OB，
由正六边形和切线的性质可得△OAB是正三角形，
则AB=OA=OB= ，
则 ，
故答案为：
【分析】首先作出图形更直观；求正六边形的面积的公式：正六边形可看成由六个完全相同的正三角形组成的，而正三角形的面积公式是 ，正六边形的面积公式是 ，即要求正六边形的边长；由⊙O的外切正六边形ABCDEF，可知△OAB是正三角形，由⊙O的半径求出AB即可.
16．（2018·温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为 cm2，则该圆的半径为 cm．
【答案】8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：
很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=，而且面积等于小正六边形的面积的，故三角形PMN的面积为cm2，∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，∴PG=PM=∴OG=，在Rt△OPG中，根据勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2，即=OP2，∴OP=7cm，设OB为x，∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，∴BH=X，OH=，∴PH=5-x，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2，即；解得 ：x1=8，x2=-3（舍）
故该圆的半径为8cm。
故答案为 ：8.
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，而且面积等于小正六边形的面积的 ，故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，在Rt△OPG中，根据勾股定理得 OP的长，设OB为x，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案。
三、解答题
17．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.7 正多边形 同步练习）如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P= ∠BOC=45°
（2）解：∵OB=OC=8，∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
∴BC=
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据正方形的中心角的计算方法得出∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠P的度数；
（2）直接利用勾股定理即可算出答案。
18．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
【答案】解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=，
则BC=AD=，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2，
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2=DG AD，
∴DG==，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．
则L=4x+4r﹣．
当x=﹣=r时，L取得最大值．最大值是：6r．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，顺次连接矩形的四个顶点即可作出；
（3）连接AC，利用相似三角形的性质求得DG的长，则BC和EF即可利用x和r表示出来，从而得到L关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解．
19．（人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步练习）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练）如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是 ，图10－3中∠BPN的度数是 。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
【答案】（1）图1：∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
21．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.8 圆内接正多边形）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
【答案】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形
（2）2；0或4
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
【分析】（1）根据正六边形的性质得出AB=DE，∠A=∠D，再根据点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，得出AP=DQ，就可证明△ABP≌△DEQ，可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明结论。
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，得出∠BPE=90°，可证明此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形，即可得出答案。
22．（2017·邕宁模拟）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B，C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∠APB=120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；
（2）90°；72°
（3）解：由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中， ．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）∠APB=120°
图1：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°．
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；
（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
故答案为：（1）120°；（2）90°；72°．（3）∠APB=所在多边形的外角度数为 ．
【分析】（1）依据题意可知弧BM=弧CN，依据同弧所对的圆周角相等可得到∠BAM=∠CBN，然后可求得∠BPM=60°，最后，再依据平角的定义解答即可；
（2）先证明∠BAM=∠NBC，从而可得到∠BAP+∠ABP=90°，然后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数，同理可求得图③中∠APB的度数；
（3）依据前面的计算找出其中的规律，最后，再依据规律进行解答即可.
23．（2018·上城模拟）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
【答案】（1）解：所作图形如下图所示：
（2）解：如下图，
连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°= ，OE=3，
∴AB= ，
∴CD= ，
∴S△OCD= ，
∴S阴影=6S△OCD= .
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由正六边形的性质可知，圆的半径等于正六边形的边长，而正六边形将圆分成相等的六部分，所以只需作出以线段a为半径的圆，再以线段a的长为半径顺次在圆周上截取6部分即可求解；
（2） 连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E 。由正六边形和等边三角形的性质即可求解。
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