人教A版（2019）数学必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．（2019高一上·沈阳月考）函数 的图像（ ）
A．关于 轴对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
2．（2019高三上·建平期中）若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2019高三上·吉林月考）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·河东期末） 在 上的值域为
A． B． C． D．
5．（2018高一下·广东期中） 的一个单调递增区间是 （ ）
A．[ ， ] B．[－ ， ]
C．[－ ， ] D．[ ， ]
6．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高二下·临川月考）已知函数 的图像关于直线 对称，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·永春模拟）定义在区间 的函数 的值域是 ，则 的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018高一下·桂林期中）将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，所得函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
10．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象）函数 ，则（ ）
A．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
B．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
C．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
D．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
二、填空题
11．（2018高一上·鹤岗月考）函数 的定义域为 ．
12．（2017·长宁模拟）函数 的单调递增区间为 ．
13．（2018高一上·鹤岗月考）设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
14．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象）关于函数 ，有以下命题：
①函数 的定义域是 ；
②函数 是奇函数；
③函数 的图象关于点 对称；
④函数 的一个单调递增区间为 ．
其中，正确的命题序号是 ．
三、解答题
15．（正弦函数的图象+++5 40）作出函数y=3sin（ x+ ）在长度为一个周期的闭区间上的简图．
16．（2018高一下·蚌埠期末）已知 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
17．（2016高一上·金华期末）设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3
（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，求cos2θ的值．
18．（2016高一下·武城期中）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f ，求cosA的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A，C不符合题意；
当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称；
故答案为：D.
【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
2．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】 函数 是偶函数，
，即 ，
或 ， ，
当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性；
当 时， ， ，
当 时， .
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案．
3．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：B
【分析】由三角函数的最小正周期 ，即可求解。
4．【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解： ，
，
即 ，
故答案为：C．
【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域.
5．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
所以由 得
因此一个单调递增区间是[ ， ]，
故答案为：A.
【分析】先将x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行求单调增减区间．
6．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时， 当 时， .所以值域为 . 故答案为：C
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以 （1），由 ，可知 （2），
⑴-⑵得， ，
又因为 所以 的最小值是2，
故答案为：B。
【分析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 （1），由 ，可知 （2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出 的最小值 。
8．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，因为 ，
所以 ，由函数 在区间 上的值域为 ，
不妨令 ，则 ，
所以 的最大值为 ；
最小值为 ，所以
故答案为：D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。
9．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为： ，再向右平移 个单位得到函数为：
= ，所得函数的图象的一条对称轴为： ．
故答案为：D．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．
10．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，因为 ，所以它的最小正周期为 ，当 时， ，函数 单调递增，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。
11．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意有 ，有 ，解得 ，故定义域为 .
【分析】本题主要考查复合函数的定义域，由题中条件可得，结合正弦函数的图象即可求出x的范围。
12．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数 =2sin（x+ ），
令 ，k∈Z，
得： ，
∴函数f（x）的单调递增区为： ．
故答案为： ．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间．
13．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 对任意的实数x都成立，
所以，当 时函数 取最大值，所以
因为 ，所以当 时，ω取最小值为 .
故答案为 .
【分析】本题主要考查余弦函数的定义域和最值，由题中条件可得当 时函数 取最大值，从而可得，再结合，即可求出ω的最小值。
14．【答案】①③
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 应满足 ， ，即 ， ，故①正确；由于 ，故②错；将 代入 得到 ，故③正确；由 ， 知函数的单调增区间为 ， ，故④错.
【分析】结合正切函数的图象以及性质逐一判断即可得出结论。
15．【答案】解：对于函数y=3sin（ x+ ），列表：
x+ 0 π 2π
x ﹣
y 0 3 0 ﹣3 0
作图：
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
16．【答案】（1）解：由条件得，
，
所以 的最小正周期为 .
（2）解：因为 ，所以 .
当 时， 的最大值为2；
当 时， 的最小值为-1.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）用辅助角公式对函数进行化简，再用T=求解。
（2）根据正弦函数求最值方法进行求解。
17．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3
=4sinxcosx﹣4sin2x+3
=2sin2x﹣4× +3
=2sin2x+2cos2x+1
=2 sin（2x+ ）+1，
令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
又x∈（0，π），
所以f（x）的单调递减区间是[ ， ]；
（Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，
令x=0，得f（0）=2 sin +1=3；
令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，
解得x= ，∴θ＞ ；
令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ，
∴2x+ ＜ ，
解得x＜ ，即θ＜ ；
∴θ∈（ ， ），
∴2θ+ ∈（ ， ）；
由2 sin（2θ+ ）+1=0，
得sin（2θ+ ）=﹣ ，
所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ，
所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ]
=cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin
=﹣ × +（﹣ ）×
=﹣ ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+ ）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2θ的值．
18．【答案】（1）解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象，可得 ，∴ω=2，
再根据五点法作图可得2 +φ= ，∴φ= ，f（x）=sin（2x+ ）．
（2）解：∵已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f =sinA= ，∴A= ，
∴cosA= ．
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得 cosA 的值．
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一、单选题
1．（2019高一上·沈阳月考）函数 的图像（ ）
A．关于 轴对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A，C不符合题意；
当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称；
故答案为：D.
【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
2．（2019高三上·建平期中）若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】 函数 是偶函数，
，即 ，
或 ， ，
当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性；
当 时， ， ，
当 时， .
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案．
3．（2019高三上·吉林月考）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：B
【分析】由三角函数的最小正周期 ，即可求解。
4．（2019高一上·河东期末） 在 上的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解： ，
，
即 ，
故答案为：C．
【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域.
5．（2018高一下·广东期中） 的一个单调递增区间是 （ ）
A．[ ， ] B．[－ ， ]
C．[－ ， ] D．[ ， ]
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
所以由 得
因此一个单调递增区间是[ ， ]，
故答案为：A.
【分析】先将x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行求单调增减区间．
6．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时， 当 时， .所以值域为 . 故答案为：C
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。
7．（2019高二下·临川月考）已知函数 的图像关于直线 对称，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以 （1），由 ，可知 （2），
⑴-⑵得， ，
又因为 所以 的最小值是2，
故答案为：B。
【分析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 （1），由 ，可知 （2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出 的最小值 。
8．（2018·永春模拟）定义在区间 的函数 的值域是 ，则 的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，因为 ，
所以 ，由函数 在区间 上的值域为 ，
不妨令 ，则 ，
所以 的最大值为 ；
最小值为 ，所以
故答案为：D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。
9．（2018高一下·桂林期中）将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，所得函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为： ，再向右平移 个单位得到函数为：
= ，所得函数的图象的一条对称轴为： ．
故答案为：D．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．
10．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象）函数 ，则（ ）
A．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
B．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
C．函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
D．函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于函数 ，因为 ，所以它的最小正周期为 ，当 时， ，函数 单调递增，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。
二、填空题
11．（2018高一上·鹤岗月考）函数 的定义域为 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意有 ，有 ，解得 ，故定义域为 .
【分析】本题主要考查复合函数的定义域，由题中条件可得，结合正弦函数的图象即可求出x的范围。
12．（2017·长宁模拟）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数 =2sin（x+ ），
令 ，k∈Z，
得： ，
∴函数f（x）的单调递增区为： ．
故答案为： ．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间．
13．（2018高一上·鹤岗月考）设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 对任意的实数x都成立，
所以，当 时函数 取最大值，所以
因为 ，所以当 时，ω取最小值为 .
故答案为 .
【分析】本题主要考查余弦函数的定义域和最值，由题中条件可得当 时函数 取最大值，从而可得，再结合，即可求出ω的最小值。
14．（高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象）关于函数 ，有以下命题：
①函数 的定义域是 ；
②函数 是奇函数；
③函数 的图象关于点 对称；
④函数 的一个单调递增区间为 ．
其中，正确的命题序号是 ．
【答案】①③
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 应满足 ， ，即 ， ，故①正确；由于 ，故②错；将 代入 得到 ，故③正确；由 ， 知函数的单调增区间为 ， ，故④错.
【分析】结合正切函数的图象以及性质逐一判断即可得出结论。
三、解答题
15．（正弦函数的图象+++5 40）作出函数y=3sin（ x+ ）在长度为一个周期的闭区间上的简图．
【答案】解：对于函数y=3sin（ x+ ），列表：
x+ 0 π 2π
x ﹣
y 0 3 0 ﹣3 0
作图：
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
16．（2018高一下·蚌埠期末）已知 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：由条件得，
，
所以 的最小正周期为 .
（2）解：因为 ，所以 .
当 时， 的最大值为2；
当 时， 的最小值为-1.
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）用辅助角公式对函数进行化简，再用T=求解。
（2）根据正弦函数求最值方法进行求解。
17．（2016高一上·金华期末）设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3
（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，求cos2θ的值．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3
=4sinxcosx﹣4sin2x+3
=2sin2x﹣4× +3
=2sin2x+2cos2x+1
=2 sin（2x+ ）+1，
令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
又x∈（0，π），
所以f（x）的单调递减区间是[ ， ]；
（Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，
令x=0，得f（0）=2 sin +1=3；
令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，
解得x= ，∴θ＞ ；
令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ，
∴2x+ ＜ ，
解得x＜ ，即θ＜ ；
∴θ∈（ ， ），
∴2θ+ ∈（ ， ）；
由2 sin（2θ+ ）+1=0，
得sin（2θ+ ）=﹣ ，
所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ，
所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ]
=cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin
=﹣ × +（﹣ ）×
=﹣ ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+ ）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2θ的值．
18．（2016高一下·武城期中）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
（2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f ，求cosA的值．
【答案】（1）解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象，可得 ，∴ω=2，
再根据五点法作图可得2 +φ= ，∴φ= ，f（x）=sin（2x+ ）．
（2）解：∵已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f =sinA= ，∴A= ，
∴cosA= ．
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得 cosA 的值．
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