人教新课标A版 必修一 2.2.2对数函数及其性质

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教新课标A版 必修一 2.2.2对数函数及其性质
一、单选题
1．（2019高一上·大庆月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】要使函数有意义，则 ，解得 且 ，
所以函数定义域为 .
故答案为：A
【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.
2．（2019高一上·吉林期中）函数 的图象过定点 （　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-1，1）
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 必过点 ，所以当 时，有 ，所以函数 必过点 .
故答案为：D
【分析】根据对数函数 必过点 ，即可确定相应函数图象所过定点坐标.
3．（2019高三上·洛阳期中）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 函数 为减函数，则 .
函数 为增函数，则 .
下面来比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小.
， ，因此， .
故答案为：C.
【分析】比较 、 与 的大小，可得出 ， ，再比较 与 的大小关系，可得出 、 、 三个数的大小关系.
4．（2019高一上·镇原期中）若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，则满足： 解得
故答案为：
【分析】根据题目条件得到不等式 计算得到答案.
5．（2020·漳州模拟）若 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的单调性可得 ， ， ，进而可得结果.
6．（2019高一上·郁南月考）函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不过（　　）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以对数函数 经过点（1，0），经过第一、四象限，
函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 的图象向左平移2个单位，所以函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不经过第四象限.
故答案为：D
【分析】函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 的图象向左平移2个单位，即得解.
7．（2020·九江模拟）已知 ，则下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】对于A：因为 ，所以 ，
所以得到 ，再换底公式可得 ，所以错误；
对于B： ， ， ，从而得到 所以错误；
对于C：∵ ，∴ 在 上单调递减，
由 得， ；
∵ ，∴ 在 上单调递增，
由 得， ；
∴ ，正确；
对于D：设函数 ，求导得 ，所以 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增；
因为 ，所以存在 时， ，
即 ，此时 ，所以错误
故答案为：C．
【分析】利用对数的换底公式，指数函数和幂函数的单调性，以及函数 的单调性，分别对四个选项进行研究，从而得到答案.
8．（2020·吉林模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由对数函数比较底数大小口诀：
在第一象限，图像越靠近 轴，则底数越小
所以可知 ，
而
又 在定义域单调递增，所以
且
所以
由 在 上单调递增，所以
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据 ，将 ，利用对数函数的单调性，可得 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.
9．（2020·丽江模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意 ， ， ，
又 ， ，易知 ， ， ，即 ，∴ ，又 ，∴ ，故选D．
【分析】利用t的取值范围结合对数函数的单调性和特殊值1对应的对数，再利用2x,3y,5z与1的大小关系，从而推出2x,3y,5z的大小关系。
10．（2019高一上·温州期末）函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 是奇函数，排除A，C；
当 时， ，对应点在x轴下方，排除B；
故答案为：D．
【分析】根据奇偶性的定义，判断函数为奇函数，结合图象的对称性及函数的取值逐一排除即可.
11．（2020高一上·大庆期末）若 ，那么实数 的取值范围是（　　）
A．(0，1) B．(0， ) C．( ，1) D．(1，＋∞)
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，显然不适合题意；
当 时，由 可得： ，
即 ，
故答案为：B
【分析】讨论 ， ，结合对数函数的图象与性质得到结果.
12．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（　　）
A．(1,2) B．(2,3) C．(1,3) D．(2,4)
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
由 可得： ，两边平方：
则 （1）或 （2）
解（1）得： 无解 ，解（2）得：
，所以实数 的取值范围是： ；
故答案为：A
【分析】首先求出函数的定义域，把 代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。
二、填空题
13．（2019高一上·林芝期中）如果函数 的图象过点 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；求对数函数解析式
【解析】【解答】由于函数 的图象过点 ，则 ，得 ，
且 ，因此， .
故答案为： .
【分析】将点的坐标代入对数函数解析式，利用对数式化指数式可求出实数 的值.
14．（2020·吴中模拟）函数 的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
解可得， ，
故答案为 ．
【分析】由题意可得， ，解不等式可求．
15．（2019高一上·延安期中）设函数 （ 且 ）恒过点 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 经过定点 ，故
故答案为：
【分析】根据函数过定点得到 ，计算得到答案.
16．（2019高三上·深圳月考）函数 的值域为　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】
且
值域为：
故答案为：
【分析】把已知对数函数变形整理，得到，利用 且 ，即可求出函数的值域.
17．（2019·长宁模拟）已知函数 和 的图像如图所示，则不等式 的解集是　 　
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，（1）当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＞0， ＜0，不符合；（2）当1≤x＜2时，f（x）≥0，g（x）＞0， ≥0，符合；（3）当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0， ＜0，不符合；
所以解集是 ，
故答案为 .
【分析】首先根据题意得出函数 的定义域为 ，分析当0＜x＜1时，得出 ＜0，不符合题意；当1≤x＜2时符合题意；当x＞2时，不符合，由此得出不等式解集。
三、解答题
18．（2019高一上·兴庆期中）已知函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）若 ，求 的值；
（3）求证：当 时， .
【答案】（1）解：由 ， 得函数的定义域为 .
（2）解： ，即 ，∴ ，∴ 且 ，∴ .
（3）解：∵ ， ∴ 时， ，
又∵ ，
∴ .
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用真数大于零列出不等式组，其解为 ，它是函数的定义域.（2）把方程 化为 后得到 ，故 .（3）分别计算 就能得到 .
19．（2018高一上·南昌期中）已知
（1）画出这个函数的图象
（2）当0f(2)，利用函数图象求出a的取值范围
【答案】（1）解：如图：

（2）解：令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a= 或a=2.从图像可知，当0＜a＜ 时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是{a|0＜a＜ }
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数解析式，函数 在上单调递增，且过定点（1，0），将 的图像在（0，1）的部分翻折，由此画出函数图象。
（2）首先令 f(a)=f(2)，代入函数中求出a的值，结合图像得出a的取值范围。
20．（2018高一上·杭州期中）设函数 的定义域为 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求 的最大值与最小值，并求出最值时对应的 的值．
【答案】（1）解： 的取值范围为区间
（2）解：记 ． ∵ 在区间 是减函数，在区间 是增函数 ∴当 即 时， 有最小值 ； 当 即 时， 有最大值 ．
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由已知函数的 定义域为 ，即可求出 的取值范围 .
（2）先构造函数，再利用二次函数的单调性，即可求出对数函数的最值及对应的 的值 .
21．（2019·金山模拟）设函数 的反函数为 ， .
（1）若 ，求 的取值范围 ；
（2）在（1）的条件下，设 ，当 时，函数 的图像与直线 有公共点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：
不等式为 ，
∴
解得 ，∴
（2）解： .
∴ .
当 时， 单调递增，∴ 单调递增，
∴ ，因此当 时满足条件
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据题意结合已知条件得出 ，再利用对数函数的定义域和单调性得出不等式组，求解得出x的取值。
（2）根据已知条件得出 ，进而分析得出 当 时 ， 单调递增 ，根据函数的值域得出当 时满足，即 。
22．（2019高二下·无锡期中）已知函数 且 ．
（1）当 时求 的值域；
（2）设 ，若方程 有实根，求 的取值范围.
【答案】（1）解：
，
函数 是单调增函数
，
所以函数 的值域为 。
（2）解：函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
因为方程 有实根，
所以 在 有实根，
即 在 有实根，
化简整理得，方程 在 上有解 ,
设
对称轴 .
① 即 ，
因为 且 在 为增函数，
所以方程 在 无解。
② ，即 ，
则 ，解得 ，
综上 .
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）根据复合函数的单调性，结合函数的定义域，即可求出函数的值域；
（2）对a的取值分类讨论，根据方程有实根，即可求出a的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教新课标A版 必修一 2.2.2对数函数及其性质
一、单选题
1．（2019高一上·大庆月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019高一上·吉林期中）函数 的图象过定点 （　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-1，1）
3．（2019高三上·洛阳期中）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·镇原期中）若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·漳州模拟）若 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·郁南月考）函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不过（　　）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2020·九江模拟）已知 ，则下列结论正确的是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2020·吉林模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2020·丽江模拟）已知 ， ，则
A． B． C． D．
10．（2019高一上·温州期末）函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高一上·大庆期末）若 ，那么实数 的取值范围是（　　）
A．(0，1) B．(0， ) C．( ，1) D．(1，＋∞)
12．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（　　）
A．(1,2) B．(2,3) C．(1,3) D．(2,4)
二、填空题
13．（2019高一上·林芝期中）如果函数 的图象过点 ，则 　 　.
14．（2020·吴中模拟）函数 的定义域为　 　.
15．（2019高一上·延安期中）设函数 （ 且 ）恒过点 ，则 　 　.
16．（2019高三上·深圳月考）函数 的值域为　 　.
17．（2019·长宁模拟）已知函数 和 的图像如图所示，则不等式 的解集是　 　
三、解答题
18．（2019高一上·兴庆期中）已知函数 .
（1）求函数的定义域；
（2）若 ，求 的值；
（3）求证：当 时， .
19．（2018高一上·南昌期中）已知
（1）画出这个函数的图象
（2）当0f(2)，利用函数图象求出a的取值范围
20．（2018高一上·杭州期中）设函数 的定义域为 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求 的最大值与最小值，并求出最值时对应的 的值．
21．（2019·金山模拟）设函数 的反函数为 ， .
（1）若 ，求 的取值范围 ；
（2）在（1）的条件下，设 ，当 时，函数 的图像与直线 有公共点，求实数 的取值范围.
22．（2019高二下·无锡期中）已知函数 且 ．
（1）当 时求 的值域；
（2）设 ，若方程 有实根，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】要使函数有意义，则 ，解得 且 ，
所以函数定义域为 .
故答案为：A
【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数 必过点 ，所以当 时，有 ，所以函数 必过点 .
故答案为：D
【分析】根据对数函数 必过点 ，即可确定相应函数图象所过定点坐标.
3．【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 函数 为减函数，则 .
函数 为增函数，则 .
下面来比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小.
， ，因此， .
故答案为：C.
【分析】比较 、 与 的大小，可得出 ， ，再比较 与 的大小关系，可得出 、 、 三个数的大小关系.
4．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，则满足： 解得
故答案为：
【分析】根据题目条件得到不等式 计算得到答案.
5．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的单调性可得 ， ， ，进而可得结果.
6．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以对数函数 经过点（1，0），经过第一、四象限，
函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 的图象向左平移2个单位，所以函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不经过第四象限.
故答案为：D
【分析】函数f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 的图象向左平移2个单位，即得解.
7．【答案】C
【知识点】利用对数函数的单调性比较对数值的大小
【解析】【解答】对于A：因为 ，所以 ，
所以得到 ，再换底公式可得 ，所以错误；
对于B： ， ， ，从而得到 所以错误；
对于C：∵ ，∴ 在 上单调递减，
由 得， ；
∵ ，∴ 在 上单调递增，
由 得， ；
∴ ，正确；
对于D：设函数 ，求导得 ，所以 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增；
因为 ，所以存在 时， ，
即 ，此时 ，所以错误
故答案为：C．
【分析】利用对数的换底公式，指数函数和幂函数的单调性，以及函数 的单调性，分别对四个选项进行研究，从而得到答案.
8．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由对数函数比较底数大小口诀：
在第一象限，图像越靠近 轴，则底数越小
所以可知 ，
而
又 在定义域单调递增，所以
且
所以
由 在 上单调递增，所以
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据 ，将 ，利用对数函数的单调性，可得 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.
9．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意 ， ， ，
又 ， ，易知 ， ， ，即 ，∴ ，又 ，∴ ，故选D．
【分析】利用t的取值范围结合对数函数的单调性和特殊值1对应的对数，再利用2x,3y,5z与1的大小关系，从而推出2x,3y,5z的大小关系。
10．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 是奇函数，排除A，C；
当 时， ，对应点在x轴下方，排除B；
故答案为：D．
【分析】根据奇偶性的定义，判断函数为奇函数，结合图象的对称性及函数的取值逐一排除即可.
11．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时， ，显然不适合题意；
当 时，由 可得： ，
即 ，
故答案为：B
【分析】讨论 ， ，结合对数函数的图象与性质得到结果.
12．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
由 可得： ，两边平方：
则 （1）或 （2）
解（1）得： 无解 ，解（2）得：
，所以实数 的取值范围是： ；
故答案为：A
【分析】首先求出函数的定义域，把 代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。
13．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；求对数函数解析式
【解析】【解答】由于函数 的图象过点 ，则 ，得 ，
且 ，因此， .
故答案为： .
【分析】将点的坐标代入对数函数解析式，利用对数式化指数式可求出实数 的值.
14．【答案】
【知识点】对数函数的定义域
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
解可得， ，
故答案为 ．
【分析】由题意可得， ，解不等式可求．
15．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 经过定点 ，故
故答案为：
【分析】根据函数过定点得到 ，计算得到答案.
16．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】
且
值域为：
故答案为：
【分析】把已知对数函数变形整理，得到，利用 且 ，即可求出函数的值域.
17．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，（1）当0＜x＜1时，f（x）＜0，g（x）＞0， ＜0，不符合；（2）当1≤x＜2时，f（x）≥0，g（x）＞0， ≥0，符合；（3）当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0， ＜0，不符合；
所以解集是 ，
故答案为 .
【分析】首先根据题意得出函数 的定义域为 ，分析当0＜x＜1时，得出 ＜0，不符合题意；当1≤x＜2时符合题意；当x＞2时，不符合，由此得出不等式解集。
18．【答案】（1）解：由 ， 得函数的定义域为 .
（2）解： ，即 ，∴ ，∴ 且 ，∴ .
（3）解：∵ ， ∴ 时， ，
又∵ ，
∴ .
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用真数大于零列出不等式组，其解为 ，它是函数的定义域.（2）把方程 化为 后得到 ，故 .（3）分别计算 就能得到 .
19．【答案】（1）解：如图：

（2）解：令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a= 或a=2.从图像可知，当0＜a＜ 时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是{a|0＜a＜ }
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数解析式，函数 在上单调递增，且过定点（1，0），将 的图像在（0，1）的部分翻折，由此画出函数图象。
（2）首先令 f(a)=f(2)，代入函数中求出a的值，结合图像得出a的取值范围。
20．【答案】（1）解： 的取值范围为区间
（2）解：记 ． ∵ 在区间 是减函数，在区间 是增函数 ∴当 即 时， 有最小值 ； 当 即 时， 有最大值 ．
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由已知函数的 定义域为 ，即可求出 的取值范围 .
（2）先构造函数，再利用二次函数的单调性，即可求出对数函数的最值及对应的 的值 .
21．【答案】（1）解：
不等式为 ，
∴
解得 ，∴
（2）解： .
∴ .
当 时， 单调递增，∴ 单调递增，
∴ ，因此当 时满足条件
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据题意结合已知条件得出 ，再利用对数函数的定义域和单调性得出不等式组，求解得出x的取值。
（2）根据已知条件得出 ，进而分析得出 当 时 ， 单调递增 ，根据函数的值域得出当 时满足，即 。
22．【答案】（1）解：
，
函数 是单调增函数
，
所以函数 的值域为 。
（2）解：函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
因为方程 有实根，
所以 在 有实根，
即 在 有实根，
化简整理得，方程 在 上有解 ,
设
对称轴 .
① 即 ，
因为 且 在 为增函数，
所以方程 在 无解。
② ，即 ，
则 ，解得 ，
综上 .
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）根据复合函数的单调性，结合函数的定义域，即可求出函数的值域；
（2）对a的取值分类讨论，根据方程有实根，即可求出a的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1