初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.2 全等三角形的判定条件
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
2．（2019七下·盐田期末）如图，AB⊥BC，OB=OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB.由此判定△AOB≌△DOC的依据是（ ）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS
3．（2019八上·潮阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2019八上·吴兴期末）小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
5．（2019八上·秀洲期末）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF
二、填空题
6．（2019八上·义乌月考）如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件 就能使△ABD≌△BAC。
7．（2019·呼和浩特）下面三个命题： 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等； 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； 斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
8．（2019·衢州模拟）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
三、解答题
9．（2019八上·新疆期末）如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为（只添加一个条件即可）；
四、综合题
10．（2019八下·南浔期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．
（1）已知在半等边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
①如图1，若∠B=∠D，求证：BC=CD；
②如图2，连结AC，探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10 ，点D是射线AM上的一个动点，记∠DCA=a，点B在直线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB=CD．问：当点D在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B也随之运动，请直接写出点B所经过的路径长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴∠A=∠D
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（AAS）
故答案为：B。
【分析】根据题意，采用多种方法分别证明三角形全等即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中 ，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中 ，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故答案为：C．
【分析】根据题目所给条件，结合三角形全等的判定定理，证明图中的全等三角形即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：B．
【分析】要配一块与原来一样大小的三角形，就是判断带哪一块玻璃能作出两个全等三角形， 根据图形可得，第2块保留原三角形的两边及夹角，由两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等可知应带第2块.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A. AB=DE，∠B=∠E， ∠C=∠F，利用AAS可判定两三角形全等，故不符合题意； B. AC=DF， BC=EF， ∠A=∠D，SSA不能判定全等，故符合题意；C. AB=DE，∠A=∠D， ∠B=∠E，利用ASA 可判定两个三角形全等，故不符合题意；D. AB=DE， BC=EF， AC=DF，利用SSS可判定两个三角形全等，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】此题解答的时候最好画出草图，两个三角形，然后将各个选项所给的三个条件分别标注在两个三角形中，根据三角形全等的判定方法AAS,SAS,SSS,ASA,即可一一判断得出答案。
6．【答案】∠DAB=∠CBA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加∠DAB=∠CBA；
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加AC=BD；
故答案为：∠DAB=∠CBA或AC=BD
【分析】观察图形，隐含条件为：AB=BA，因此利用SAS，可以添加∠DAB=∠CBA，利用SSS可以添加AC=BD.
7．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
解： ① 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
② 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③ 斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；错误；
故答案为： ①② ．
【分析】判断三角形全等的条件:三边对应相等的三角形是全等三角形
两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形
两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形
两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形
在直角三角形中，斜边和一直角边相等的是全等三角形
8．【答案】AC＝BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AC＝BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠DAC，
在△ADC和△BEC中 ，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC＝BC．
【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC。
9．【答案】解：所添条件为：BC=EF.
∵BC=EF，∠ABC=∠DEF，AB=DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，可添加邻边相等或一组对应角相等即可.
10．【答案】（1）解：①证明：连结AC，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，
∴∠B+∠D=180°，
且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴BC=DC；
②解：延长CB，使得CD=BE，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠D=180°，
且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∠BAE=∠DAC，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=CB+BE=CB+CD
（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM⊥AD，D‘H⊥AC，
由旋转图形的特点可知，
CB=CD，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，
∴△∠BCB'≌△DCD‘，
BB'=DD’，
设D'H=x，
由勾股定理得：AH=x， HC=x，
则AC=x+x=10+10 ，
解得x=10， 即D'H=10，
得AH=10，AD’=20，
在Rt△AMC中，
∵AC=10+10，∠DAC=30°，
∴CM=5+5，AM=（5+5），
D'M=AM-AD'=(5+5)-20=5-5，
DM=CM=5+5 ，
∴DD‘=DM-D'M=5+5-5+5=10 .
DD’为D点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）要求BC=DC很容易联想到证△ABC和△ADC全等，为此连接AC，构造两个三角形。∠A和∠C之和为180°， ∠B=∠D ，由四边形内角和得∠B=∠D=90°，根据两个直角三角形斜边和直角边相等证明两个三角形全等。
（2） 由图观察猜想AC=BC+CD，为此延长CB，使得CD=BE。证明△ACD和△ABE全等，得到∠BAE=∠CAD，所以∠CAE等于∠BAD=60°，△CAE是等边三角形，于是AC=CE，即可证得AC=BC+CD。
（3）D点的运动带动B点运动，根据图形旋转的特点得到，证得△∠BCB'和△DCD‘全等，CB'和CD‘是对应边，故B的运动路程和D的运动路程是一样的，所以只要求出D点运动路程即可。为此过D'作DIH垂直AC，设DH'为x， 根据勾股定理把AH和HC用含x的代数式表示，由已知AC的长列方程即可求出x， 即AC的长度，再求出AD‘的长度，过C作CM垂直AD，根据勾股定理，求出CM和AM的长度，从而D'M和DM的长度可求，DD’就等于D'M和DM的长度相减。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.2 全等三角形的判定条件
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
2．（2019七下·盐田期末）如图，AB⊥BC，OB=OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB.由此判定△AOB≌△DOC的依据是（ ）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴∠A=∠D
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（AAS）
故答案为：B。
【分析】根据题意，采用多种方法分别证明三角形全等即可。
3．（2019八上·潮阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中 ，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中 ，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故答案为：C．
【分析】根据题目所给条件，结合三角形全等的判定定理，证明图中的全等三角形即可。
4．（2019八上·吴兴期末）小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：B．
【分析】要配一块与原来一样大小的三角形，就是判断带哪一块玻璃能作出两个全等三角形， 根据图形可得，第2块保留原三角形的两边及夹角，由两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等可知应带第2块.
5．（2019八上·秀洲期末）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A. AB=DE，∠B=∠E， ∠C=∠F，利用AAS可判定两三角形全等，故不符合题意； B. AC=DF， BC=EF， ∠A=∠D，SSA不能判定全等，故符合题意；C. AB=DE，∠A=∠D， ∠B=∠E，利用ASA 可判定两个三角形全等，故不符合题意；D. AB=DE， BC=EF， AC=DF，利用SSS可判定两个三角形全等，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】此题解答的时候最好画出草图，两个三角形，然后将各个选项所给的三个条件分别标注在两个三角形中，根据三角形全等的判定方法AAS,SAS,SSS,ASA,即可一一判断得出答案。
二、填空题
6．（2019八上·义乌月考）如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件 就能使△ABD≌△BAC。
【答案】∠DAB=∠CBA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加∠DAB=∠CBA；
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加AC=BD；
故答案为：∠DAB=∠CBA或AC=BD
【分析】观察图形，隐含条件为：AB=BA，因此利用SAS，可以添加∠DAB=∠CBA，利用SSS可以添加AC=BD.
7．（2019·呼和浩特）下面三个命题： 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等； 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； 斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
解： ① 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；
② 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；
③ 斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；错误；
故答案为： ①② ．
【分析】判断三角形全等的条件:三边对应相等的三角形是全等三角形
两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形
两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形
两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形
在直角三角形中，斜边和一直角边相等的是全等三角形
8．（2019·衢州模拟）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
【答案】AC＝BC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加AC＝BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠DAC，
在△ADC和△BEC中 ，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC＝BC．
【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC。
三、解答题
9．（2019八上·新疆期末）如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为（只添加一个条件即可）；
【答案】解：所添条件为：BC=EF.
∵BC=EF，∠ABC=∠DEF，AB=DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，可添加邻边相等或一组对应角相等即可.
四、综合题
10．（2019八下·南浔期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．
（1）已知在半等边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
①如图1，若∠B=∠D，求证：BC=CD；
②如图2，连结AC，探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10 ，点D是射线AM上的一个动点，记∠DCA=a，点B在直线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB=CD．问：当点D在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B也随之运动，请直接写出点B所经过的路径长．
【答案】（1）解：①证明：连结AC，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，
∴∠B+∠D=180°，
且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴BC=DC；
②解：延长CB，使得CD=BE，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠D=180°，
且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∠BAE=∠DAC，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=CB+BE=CB+CD
（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM⊥AD，D‘H⊥AC，
由旋转图形的特点可知，
CB=CD，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，
∴△∠BCB'≌△DCD‘，
BB'=DD’，
设D'H=x，
由勾股定理得：AH=x， HC=x，
则AC=x+x=10+10 ，
解得x=10， 即D'H=10，
得AH=10，AD’=20，
在Rt△AMC中，
∵AC=10+10，∠DAC=30°，
∴CM=5+5，AM=（5+5），
D'M=AM-AD'=(5+5)-20=5-5，
DM=CM=5+5 ，
∴DD‘=DM-D'M=5+5-5+5=10 .
DD’为D点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）要求BC=DC很容易联想到证△ABC和△ADC全等，为此连接AC，构造两个三角形。∠A和∠C之和为180°， ∠B=∠D ，由四边形内角和得∠B=∠D=90°，根据两个直角三角形斜边和直角边相等证明两个三角形全等。
（2） 由图观察猜想AC=BC+CD，为此延长CB，使得CD=BE。证明△ACD和△ABE全等，得到∠BAE=∠CAD，所以∠CAE等于∠BAD=60°，△CAE是等边三角形，于是AC=CE，即可证得AC=BC+CD。
（3）D点的运动带动B点运动，根据图形旋转的特点得到，证得△∠BCB'和△DCD‘全等，CB'和CD‘是对应边，故B的运动路程和D的运动路程是一样的，所以只要求出D点运动路程即可。为此过D'作DIH垂直AC，设DH'为x， 根据勾股定理把AH和HC用含x的代数式表示，由已知AC的长列方程即可求出x， 即AC的长度，再求出AD‘的长度，过C作CM垂直AD，根据勾股定理，求出CM和AM的长度，从而D'M和DM的长度可求，DD’就等于D'M和DM的长度相减。
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