初中数学华师大版八年级上学期 第12章 12.3.2 两数和（差）的平方
一、单选题
1．（2019·梧州）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故不符合题意；
B、2x+3x＝5x，故不符合题意；
C、（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】A、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3x﹣x＝2x≠3，故不符合题意；
B、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2x+3x＝5x≠5x2，故不符合题意；
C、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央，所以（x+y）2＝x2+2xy+y2≠ x2+y2 ，故不符合题意。
2．（2019·安顺）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．(a2b)3＝a5b3 B．(3a2)3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．(a+b)2＝a2+b2
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2b)3＝a6b3，此题错误，不符合题意；
B、(3a2)3＝27a6 ，此题正确，符合题意；
C、 a6÷a2＝a4，此题错误，不符合题意；
D、(a+b)2＝a2+2ab+b2， 此题错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】A、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 (a2b)3＝a6b3≠a5b3,此题错误，不符合题意；
B、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 (3a2)3＝27a6 ，此题正确，符合题意；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故 a6÷a2＝a4≠a3,,此题错误，不符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，故 (a+b)2＝a2+2ab+b2≠ a2+b2 ， 此题错误，不符合题意。
3．（2019·枣庄）下列运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．x6÷x3=x2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】 、 ，无法计算，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
故答案为： ．
【分析】直接利用合并同类项法则结合完全平方公式和积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则分别计算得出结论
4．（2019·绍兴模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据完全平方公式可得 ， ，再把两式相加即可求得结果.
由题意得 ，
把两式相加可得 ，则
故答案为：C.
【分析】由题意将两个等式用完全平方公式展开，并把展开后的两个等式相加整理即可求解。
5．（2019·柳州）定义：形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=-1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i，因此，(1+3i)2的实部是-8，虚部是6.已知复数(3-mi)2的虚部是12，则实部是（ ）
A．-6 B．6 C．5 D．-5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵(3-mi)2=32-2×3×mi+(mi)2=9-6mi+m2i2=9+m2i2-6mi=9-m2-6mi，
∴复数(3-mi)2的实部是9-m2虚部是-6m，
∴-6m=12，
∴m=-2，
∴9-m2=9-(-2)2=9-4=5。
故答案为：C。
【分析】先根据完全平方公式将 (3-mi)2 展开，再根据新定义运算得出 (3-mi)2 的实部与虚部没在根据 (3-mi)2 的虚部是12列出方程，求解得出m的值，进而即可得出答案。
二、填空题
6．（2019·连云港）计算 ＝ .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2﹣x）2＝22﹣2×2x+x2＝4﹣4x+x2。
故答案为：4﹣4x+x2。
【分析】完全平方式的展开式是一个三项式：首平方、尾平方、积的2倍放中央。
7．（2019·桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝ .
【答案】﹣4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （x﹣2）2 =x2-4x+4,
又∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4。
故答案为：﹣4。
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开再与左边比较即可得出答案。
8．（2019·徐州）若 ，则代数式 的值为 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
。
故答案为： 。
【分析】利用完全平方公式将代数式 分解因式为（a-b）2，然后整体代入按有理数的乘方运算即可算出答案。
9．（2019·枣庄）若 ，则 ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
10．（2019七下·越城期末）当x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±10
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+25是一个完全平方式，
∴x2+kx+25=（x±5）2=x2±10x+25，
∴k=±10
故答案为：±10
【分析】利用已知可转化为x2+kx+25=（x±5）2，利用完全平方公式可得k的值。
三、计算题
11．（2019七下·盐田期末）计算：
（1）102×100÷10-1；
（2）（x+2）2-（x+1）（x-1）.
【答案】（1） 原式=100×1÷=1000.
（2） 原式=x2+4x+4-（x2-1）=x2+4x+4-x2+1=4x+5.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别化简有理数的乘方，进行计算即可。
（2）根据完全平方公式和平方差公式化简求值即可。
四、综合题
12．（2019七下·嵊州期末）
（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn= 。
（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式 的值为 。
【答案】（1）-2
（2）-4038
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3 ，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,
则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,
∴(m+n)2=4,
则
故答案为：-4038.
【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2和m+n的值代入即可求出mn的值.
（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。
13．（2019·衢州模拟）还记得完全平方公式（a+b）2＝a2＝2ab+b2吗？当a，b＞0时，完全平方公式可以用图（1）来说明．
（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；
（2）通过求解本题，你有哪些收获？
【答案】（1）解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．图中正方形的边长为：a+b+c，
那么面积可表示为：（a+b+c）2，
各部分的面积之和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可．
（2）可得到多个数和的平方的简便求法．
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第12章 12.3.2 两数和（差）的平方
一、单选题
1．（2019·梧州）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
2．（2019·安顺）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．(a2b)3＝a5b3 B．(3a2)3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．(a+b)2＝a2+b2
3．（2019·枣庄）下列运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．x6÷x3=x2
4．（2019·绍兴模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
5．（2019·柳州）定义：形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=-1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i，因此，(1+3i)2的实部是-8，虚部是6.已知复数(3-mi)2的虚部是12，则实部是（ ）
A．-6 B．6 C．5 D．-5
二、填空题
6．（2019·连云港）计算 ＝ .
7．（2019·桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝ .
8．（2019·徐州）若 ，则代数式 的值为 .
9．（2019·枣庄）若 ，则 ．
10．（2019七下·越城期末）当x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是 ．
三、计算题
11．（2019七下·盐田期末）计算：
（1）102×100÷10-1；
（2）（x+2）2-（x+1）（x-1）.
四、综合题
12．（2019七下·嵊州期末）
（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn= 。
（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式 的值为 。
13．（2019·衢州模拟）还记得完全平方公式（a+b）2＝a2＝2ab+b2吗？当a，b＞0时，完全平方公式可以用图（1）来说明．
（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；
（2）通过求解本题，你有哪些收获？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故不符合题意；
B、2x+3x＝5x，故不符合题意；
C、（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】A、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3x﹣x＝2x≠3，故不符合题意；
B、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2x+3x＝5x≠5x2，故不符合题意；
C、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央，所以（x+y）2＝x2+2xy+y2≠ x2+y2 ，故不符合题意。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2b)3＝a6b3，此题错误，不符合题意；
B、(3a2)3＝27a6 ，此题正确，符合题意；
C、 a6÷a2＝a4，此题错误，不符合题意；
D、(a+b)2＝a2+2ab+b2， 此题错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】A、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 (a2b)3＝a6b3≠a5b3,此题错误，不符合题意；
B、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 (3a2)3＝27a6 ，此题正确，符合题意；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故 a6÷a2＝a4≠a3,,此题错误，不符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，故 (a+b)2＝a2+2ab+b2≠ a2+b2 ， 此题错误，不符合题意。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】 、 ，无法计算，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
故答案为： ．
【分析】直接利用合并同类项法则结合完全平方公式和积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则分别计算得出结论
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据完全平方公式可得 ， ，再把两式相加即可求得结果.
由题意得 ，
把两式相加可得 ，则
故答案为：C.
【分析】由题意将两个等式用完全平方公式展开，并把展开后的两个等式相加整理即可求解。
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵(3-mi)2=32-2×3×mi+(mi)2=9-6mi+m2i2=9+m2i2-6mi=9-m2-6mi，
∴复数(3-mi)2的实部是9-m2虚部是-6m，
∴-6m=12，
∴m=-2，
∴9-m2=9-(-2)2=9-4=5。
故答案为：C。
【分析】先根据完全平方公式将 (3-mi)2 展开，再根据新定义运算得出 (3-mi)2 的实部与虚部没在根据 (3-mi)2 的虚部是12列出方程，求解得出m的值，进而即可得出答案。
6．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2﹣x）2＝22﹣2×2x+x2＝4﹣4x+x2。
故答案为：4﹣4x+x2。
【分析】完全平方式的展开式是一个三项式：首平方、尾平方、积的2倍放中央。
7．【答案】﹣4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （x﹣2）2 =x2-4x+4,
又∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4。
故答案为：﹣4。
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开再与左边比较即可得出答案。
8．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
。
故答案为： 。
【分析】利用完全平方公式将代数式 分解因式为（a-b）2，然后整体代入按有理数的乘方运算即可算出答案。
9．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
10．【答案】±10
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ x2+kx+25是一个完全平方式，
∴x2+kx+25=（x±5）2=x2±10x+25，
∴k=±10
故答案为：±10
【分析】利用已知可转化为x2+kx+25=（x±5）2，利用完全平方公式可得k的值。
11．【答案】（1） 原式=100×1÷=1000.
（2） 原式=x2+4x+4-（x2-1）=x2+4x+4-x2+1=4x+5.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别化简有理数的乘方，进行计算即可。
（2）根据完全平方公式和平方差公式化简求值即可。
12．【答案】（1）-2
（2）-4038
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3 ，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,
则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,
∴(m+n)2=4,
则
故答案为：-4038.
【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2和m+n的值代入即可求出mn的值.
（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。
13．【答案】（1）解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．图中正方形的边长为：a+b+c，
那么面积可表示为：（a+b+c）2，
各部分的面积之和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可．
（2）可得到多个数和的平方的简便求法．
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