初中数学人教版八年级上学期 第十四章 14.2.2 完全平方公式
一、基础巩固
1．（2019七下·岑溪期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （m+n）2＝11 ，
m2+2mn+n2=11,
m2-2mn+n2+4mn=11,
（m-n）2=11-4mn=11-4×2=3；
故答案为：C.
【分析】先把（m+n）2根据完全公式展开，将代数式变形把左边变成（m-n）2, 最后代入mn得知即可得出结果。
2．（2019七上·顺德期末）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
【分析】根据完全平方公式将其展开即可.
3．（2019七下·盐田期末）计算：
（1）102×100÷10-1；
（2）（x+2）2-（x+1）（x-1）.
【答案】（1） 原式=100×1÷=1000.
（2） 原式=x2+4x+4-（x2-1）=x2+4x+4-x2+1=4x+5.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别化简有理数的乘方，进行计算即可。
（2）根据完全平方公式和平方差公式化简求值即可。
4．（2019八下·马山期末）已知： ， ，求 的值．
【答案】解：当 ， 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】因为求值式符合完全平方式，用完全平方式将其因式分解，然后把x、y的值代入求值即可。
二、强化提升
5．（2019七上·顺德期末）整式的乘法计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意
故答案为：D.
【分析】A、利用平方差公式计算,然后判断即可.
B、利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
C、利用单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
D、利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后判断即可.
6．（2019七下·盐田期末）从1，3，-5，7中任取一数，记为m，使x2+（m+1）x+16为完全平方式的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据题意可知，±（m+1）=2×1×4
∴±（m+1）=8
∴m=7或m=-9
∴概率=
故答案为：A。
【分析】根据式子为完全平方式，得到关于m的式子求出符合条件的m的值，计算概率即可。
7．（2018七下·余姚期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。
8．（2019七下·利辛期末）先化简，再求值：[(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)]÷(2y)，其中x=2，y=-1．
【答案】解：原式可变为（4x2+4xy+y2-4x2+y2）÷(2y)
=（2y2+4xy）÷2y
=y+2x
∵x=2，y=-1
∴y+2x=-1+2×2=3.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将式子进行化简即可，将x和y的值代入求出答案。
9．（2019·衢州模拟）还记得完全平方公式（a+b）2＝a2＝2ab+b2吗？当a，b＞0时，完全平方公式可以用图（1）来说明．
（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；
（2）通过求解本题，你有哪些收获？
【答案】（1）解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．图中正方形的边长为：a+b+c，
那么面积可表示为：（a+b+c）2，
各部分的面积之和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可．
（2）可得到多个数和的平方的简便求法．
三、真题演练
10．（2019·梧州）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故不符合题意；
B、2x+3x＝5x，故不符合题意；
C、（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】A、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3x﹣x＝2x≠3，故不符合题意；
B、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2x+3x＝5x≠5x2，故不符合题意；
C、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央，所以（x+y）2＝x2+2xy+y2≠ x2+y2 ，故不符合题意。
11．（2019·徐州）若 ，则代数式 的值为 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
。
故答案为： 。
【分析】利用完全平方公式将代数式 分解因式为（a-b）2，然后整体代入按有理数的乘方运算即可算出答案。
12．（2019·枣庄）若 ，则 ．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
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一、基础巩固
1．（2019七下·岑溪期末）已知（m+n）2＝11，mn＝2，则（m﹣n）2的值为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
2．（2019七上·顺德期末）计算： ．
3．（2019七下·盐田期末）计算：
（1）102×100÷10-1；
（2）（x+2）2-（x+1）（x-1）.
4．（2019八下·马山期末）已知： ， ，求 的值．
二、强化提升
5．（2019七上·顺德期末）整式的乘法计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019七下·盐田期末）从1，3，-5，7中任取一数，记为m，使x2+（m+1）x+16为完全平方式的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．（2018七下·余姚期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
8．（2019七下·利辛期末）先化简，再求值：[(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)]÷(2y)，其中x=2，y=-1．
9．（2019·衢州模拟）还记得完全平方公式（a+b）2＝a2＝2ab+b2吗？当a，b＞0时，完全平方公式可以用图（1）来说明．
（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；
（2）通过求解本题，你有哪些收获？
三、真题演练
10．（2019·梧州）下列计算正确的是（ ）
A．3x﹣x＝3 B．2x+3x＝5x2
C．（2x）2＝4x2 D．（x+y）2＝x2+y2
11．（2019·徐州）若 ，则代数式 的值为 .
12．（2019·枣庄）若 ，则 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： （m+n）2＝11 ，
m2+2mn+n2=11,
m2-2mn+n2+4mn=11,
（m-n）2=11-4mn=11-4×2=3；
故答案为：C.
【分析】先把（m+n）2根据完全公式展开，将代数式变形把左边变成（m-n）2, 最后代入mn得知即可得出结果。
2．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
【分析】根据完全平方公式将其展开即可.
3．【答案】（1） 原式=100×1÷=1000.
（2） 原式=x2+4x+4-（x2-1）=x2+4x+4-x2+1=4x+5.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别化简有理数的乘方，进行计算即可。
（2）根据完全平方公式和平方差公式化简求值即可。
4．【答案】解：当 ， 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】因为求值式符合完全平方式，用完全平方式将其因式分解，然后把x、y的值代入求值即可。
5．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意
故答案为：D.
【分析】A、利用平方差公式计算,然后判断即可.
B、利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
C、利用单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
D、利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后判断即可.
6．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据题意可知，±（m+1）=2×1×4
∴±（m+1）=8
∴m=7或m=-9
∴概率=
故答案为：A。
【分析】根据式子为完全平方式，得到关于m的式子求出符合条件的m的值，计算概率即可。
7．【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z=
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。
8．【答案】解：原式可变为（4x2+4xy+y2-4x2+y2）÷(2y)
=（2y2+4xy）÷2y
=y+2x
∵x=2，y=-1
∴y+2x=-1+2×2=3.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将式子进行化简即可，将x和y的值代入求出答案。
9．【答案】（1）解：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．图中正方形的边长为：a+b+c，
那么面积可表示为：（a+b+c）2，
各部分的面积之和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可．
（2）可得到多个数和的平方的简便求法．
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、3x﹣x＝2x，故不符合题意；
B、2x+3x＝5x，故不符合题意；
C、（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】A、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以3x﹣x＝2x≠3，故不符合题意；
B、合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，所以2x+3x＝5x≠5x2，故不符合题意；
C、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以（2x）2＝4x2，故符合题意；
D、完全平方式的展开式是一个三项式，首平方、尾平方、积的2倍放中央，所以（x+y）2＝x2+2xy+y2≠ x2+y2 ，故不符合题意。
11．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
。
故答案为： 。
【分析】利用完全平方公式将代数式 分解因式为（a-b）2，然后整体代入按有理数的乘方运算即可算出答案。
12．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 ，
，
故答案为11．
【分析】根据完全平方公式将原式子变形，然后整体代入求值即可
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