6.5垂直关系 复习课 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
§ 6.5　垂直关系
（复习课）
北师大（2019）必修2
环节一
课前自测
1.下列命题中不正确的是
A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
1.根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内.
2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
若α⊥β，因为α∩β＝m，b β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
3.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是
A.①② B.②③
C.②④ D.①④
①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC AM⊥BC，同理DM⊥BC BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的投影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD BO⊥CD，由AC⊥BD CO⊥BD O为△BCD的垂心
DO⊥BC AD⊥BC.
4.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点.则下列结论中不正确的是
A.MC⊥AN
B.GB∥平面AMN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面DCM∥平面ABN
显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；
由题意易得GB∥MH，又GB 平面AMN，MH?平面AMN，
所以GB∥平面AMN，所以B正确；
因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确.
5.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的投影为点O.若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，
PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
环节二
知识梳理
1.直线与平面垂直
图形 条件 结论
判 定 a⊥b，b α(b为α内的 一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n α，________ a⊥α
任意
m∩n＝O
判 定 a∥b，_______ b⊥α
性 质 a⊥α，______ a⊥b
a⊥α，b⊥α _____
a⊥α
b α
a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
直二面角
2.平面与平面垂直
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直 α⊥β
垂线
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面 _____
交线
l⊥α
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.
锦囊妙计
体验1
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)
(4)若α⊥β，a⊥β a∥α.(　　)
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(　　)
×
×
√
×
√
环节三
合作探究
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
例1如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝ ，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝ .
证明：D′H⊥平面ABCD.
提炼
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
题型一　直线与平面垂直的判定与性质
体验2
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证： BC1⊥AB1.
因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC，
所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，
BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1 平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C 平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1 平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
题型二　平面与平面垂直的判定与性质
例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.
求证：平面EFG⊥平面EMN.
因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a? α α⊥β).
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.
在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
提炼
题型二　平面与平面垂直的判定与性质
在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
体验3
因为AB⊥PA，AB⊥AC，
且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN 平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
题型三　垂直关系中的探索性问题
例3
如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由.
线段BE上存在点G，且BG＝ BE，使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下：
取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，
连接GD，GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
题型三　垂直关系中的探索性问题
体验4
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝，在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由. .
环节四
学以致用
1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；
对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；
对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确.
2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B.若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
A中，m与n可垂直、可异面、可平行；
B中，m与n可平行、可异面；
C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m α，n β，故C错误；故选D.
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；
B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；
C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；
D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.
如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；
AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；
易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；
由①知④错.故选B.