初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.5 应用二元一次方程组-里程碑上的数
一、单选题
1．（2019七下·中山期末）已知两数x，y之和是10，x比y的2倍小1，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·嘉兴）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何 ”设马每匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·东营）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 场得 分，负 场得 分，某队在 场比赛中得到 分．若设该队胜的场数为 ，负的场数为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·萧山模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2019七下·苍南期末）甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的AB两地同时出发若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在他们出发后6小时追上乙，则甲的速度为 千米/小时。
7．（2019·三门模拟）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= .
三、解答题
8．（2019九上·获嘉月考）一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.
四、综合题
9．（2019七下·鄞州期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 运途费
单价 2元/千米 0.4元/分钟 1元/千米
注： 1．车费=里程费+时长费+运途费 2．里程费按行车实际里程计费：时长费按行车实际时间计算，运途费收取标准为：行车7千米以内(含7千米)不收费：若超过7千米，则超出部分每千米加收1元．
（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是 元．
（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车时间比小林多10分钟。如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元·求小王的乘车里程数和乘车时间．
10．（2019八上·萧山月考）为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计算水费，水价分为三个阶梯，某市自来水销售价格表如下表所示：（注：居民生活用水水价＝供水价格+污水处理费）
类别 月用水量（立方米） 供水价格 （元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 备注
居民生活用水 阶梯一 0～18（含18） 1.90 1.00 每户产生的污水量等于该户用水量
阶梯二 18～25（含25） a
阶梯三 25以上 b
（1）当居民月用水量是10立方米时，应付水费是 元；
（2）小明家2月份用水量为20立方米，付水费59.90元；4月份用水量为33立方米，付水费132.75元．求a，b的值；
（3）小明家5月份交水费112.65元，试求小明家该月的用水量．
11．（2019·深圳）有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少
（2）A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量最大为多少度
12．（2019·盐城）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克.
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意列方程组，得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“ 两数x,y之和是10，x比y的2倍小1 ”列出方程组即可.
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：依题可得：
.
故答案为：B.
【分析】由题中给出的方程可知x表示上坡路程，y表示平路路程；当从乙地到达甲地时，x表示下坡路程，y依然表示平路路程，根据时间=路程÷速度列出方程即可.
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意得：
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：4×马的单价+6×牛的单价=48；3×马的单价+5×牛的单价=38，列方程组即可。
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设这个队胜 场，负 场，
根据题意，得 ．
故答案为： A ．
【分析】二元一次方程组应用，根据数量关系列出等式即可。
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组： ，
故答案为：C.
【分析】 设有x人，物品价值y元 ，根据每人出8元的钱数比物价多出3元及每人出7元的钱数比物价少出4元，列出方程组。
6．【答案】20
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度为x,乙的速度为y,
∴
解得：.
故答案为：20.
【分析】根据相遇时路程之和等于相距的距离，追击时路程之差等于相距的距离，分别列方程，解方程组即可得出结果。
7．【答案】2x-7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
8．【答案】 解：设原数百位数字是x，个位数字是y.则
，
解得 ， （不符合题意，舍去）.
答：这个三位数是306.
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设原数百位数字是x，个位数字是y ，根据百位与个位上的数字和为9及 这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9, 列出方程组，求解并检验即可。
9．【答案】（1）32
（2） 解：设小王乘车x公里，则小林乘车里程是(15-x)公里，小王乘车时间y分钟，则小张乘车时间是(y-10)分钟，
则
化简得
解得
故小王乘车的里程数为千米，乘车时间为20分钟.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1） 车费 =9×2+30×0.4+（9-7）×1=32（元）；
【分析】 （1）根据“车费=里程费+时长费+运途费”，结合里程费、时长费和运途费的收费方法即可求得小林的车费；
（2）设小王乘车x公里，小王乘车时间y分钟，根据“车费=里程费+时长费+运途费”，结合里程费、时长费和运途费的收费方法，分别计算小王和小林的车费，列方程组求解x、y即可.
10．【答案】（1）29
（2）解： ①∵ a+b+c＝11，
则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45；
② 2x×4y÷8z＝32，
2x+2y-3z=25,
∴x+2y-3z=5，
则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25,
4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20,
∴ 2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.
（3） 解：设小明家该月的用水量为x,
∵18×1.9+（25-18）×2.85+25×1=79.15<112.65，
则（x-25）×5.7+（x-25）×1=112.65-79.15，
解得x=30,
故小明家设小明家该月的用水量为30吨.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当居民用水量是 10立方米时 ， 应付水费=10×1.9+10×1=29（元）；
【分析】（1）根据题意，按阶梯水价计算办法计算水费即可；
（2）根据阶梯水价计算办法，列二元一次方程组，求出a、b值即可；
（3）分段求水费，确定用水量所在级别，再按阶梯水价计算方法，列方程求出x即可.
11．【答案】（1）解：设焚烧1吨垃圾，A发电x度，B发电y度．
由题意得 ，解得
答：焚烧1吨垃圾A和B各发电300度与260度．
（2）解：设A发电厂焚烧a吨垃圾，则B发电厂焚烧（90-a)吨垃圾，总发电量为w度。
由题意得：a≤2（90-a)
∴a≤60
w=300a+260(90-a)
=40a+23400
∵40>0
∴w随a的增大而增大
∴当a=60时，Wmax=25800
答：A厂和B厂总发电量最大为25800度。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）
设焚烧1吨垃圾，A发电x度，B发电y度．根据“A发电厂比B发电厂多发40度电”可列方程x-y=40;根据“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”可列方程30y-20x=1800;据此列出方程组，求出解即可.
（2）设A发电厂焚烧a吨垃圾，则B发电厂焚烧（90-a)吨垃圾，总发电量为w度.根据“
A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍” 列出不等式，求出a的范围.根据总发电量=A厂发电量+B厂发电量，即可得出W
=40a+23400 ，利用一次函数的性质，即可求出w的最大值.
12．【答案】（1）解： 设每只A型球、B型球的质量分别是x和y,
则: 解得：x=3, y=4.
答：A型球是3千克，B型球是4千克。
（2）解： ∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a=17，
解得a=（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b=17，
解得b=（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c=17，
解得c=2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d=17，
解得d=（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e=17，
解得a={不合题意舍去}，
综上所述：A型球、B型球各有3只，2只。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组即可。
（2）利用分类讨论得出方程的解即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第五章 5.5 应用二元一次方程组-里程碑上的数
一、单选题
1．（2019七下·中山期末）已知两数x，y之和是10，x比y的2倍小1，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意列方程组，得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“ 两数x,y之和是10，x比y的2倍小1 ”列出方程组即可.
2．（2019·台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：依题可得：
.
故答案为：B.
【分析】由题中给出的方程可知x表示上坡路程，y表示平路路程；当从乙地到达甲地时，x表示下坡路程，y依然表示平路路程，根据时间=路程÷速度列出方程即可.
3．（2019·嘉兴）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何 ”设马每匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意得：
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：4×马的单价+6×牛的单价=48；3×马的单价+5×牛的单价=38，列方程组即可。
4．（2019·东营）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 场得 分，负 场得 分，某队在 场比赛中得到 分．若设该队胜的场数为 ，负的场数为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设这个队胜 场，负 场，
根据题意，得 ．
故答案为： A ．
【分析】二元一次方程组应用，根据数量关系列出等式即可。
5．（2019·萧山模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组： ，
故答案为：C.
【分析】 设有x人，物品价值y元 ，根据每人出8元的钱数比物价多出3元及每人出7元的钱数比物价少出4元，列出方程组。
二、填空题
6．（2019七下·苍南期末）甲、乙两人匀速骑车从相距60千米的AB两地同时出发若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，则甲在他们出发后6小时追上乙，则甲的速度为 千米/小时。
【答案】20
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲的速度为x,乙的速度为y,
∴
解得：.
故答案为：20.
【分析】根据相遇时路程之和等于相距的距离，追击时路程之差等于相距的距离，分别列方程，解方程组即可得出结果。
7．（2019·三门模拟）如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y= .
【答案】2x-7
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7﹣x﹣4＝y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7﹣（y+3）﹣7＝x﹣3，
第三行第二列的数为：x+y+7﹣（x﹣3）﹣x＝10﹣x+y，
第三行的三个数之和为：y+（10﹣x+y）+4＝x+y+7，
整理得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7．
【分析】根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案。
三、解答题
8．（2019九上·获嘉月考）一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.
【答案】 解：设原数百位数字是x，个位数字是y.则
，
解得 ， （不符合题意，舍去）.
答：这个三位数是306.
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设原数百位数字是x，个位数字是y ，根据百位与个位上的数字和为9及 这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9, 列出方程组，求解并检验即可。
四、综合题
9．（2019七下·鄞州期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 运途费
单价 2元/千米 0.4元/分钟 1元/千米
注： 1．车费=里程费+时长费+运途费 2．里程费按行车实际里程计费：时长费按行车实际时间计算，运途费收取标准为：行车7千米以内(含7千米)不收费：若超过7千米，则超出部分每千米加收1元．
（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是 元．
（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车时间比小林多10分钟。如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元·求小王的乘车里程数和乘车时间．
【答案】（1）32
（2） 解：设小王乘车x公里，则小林乘车里程是(15-x)公里，小王乘车时间y分钟，则小张乘车时间是(y-10)分钟，
则
化简得
解得
故小王乘车的里程数为千米，乘车时间为20分钟.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1） 车费 =9×2+30×0.4+（9-7）×1=32（元）；
【分析】 （1）根据“车费=里程费+时长费+运途费”，结合里程费、时长费和运途费的收费方法即可求得小林的车费；
（2）设小王乘车x公里，小王乘车时间y分钟，根据“车费=里程费+时长费+运途费”，结合里程费、时长费和运途费的收费方法，分别计算小王和小林的车费，列方程组求解x、y即可.
10．（2019八上·萧山月考）为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计算水费，水价分为三个阶梯，某市自来水销售价格表如下表所示：（注：居民生活用水水价＝供水价格+污水处理费）
类别 月用水量（立方米） 供水价格 （元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 备注
居民生活用水 阶梯一 0～18（含18） 1.90 1.00 每户产生的污水量等于该户用水量
阶梯二 18～25（含25） a
阶梯三 25以上 b
（1）当居民月用水量是10立方米时，应付水费是 元；
（2）小明家2月份用水量为20立方米，付水费59.90元；4月份用水量为33立方米，付水费132.75元．求a，b的值；
（3）小明家5月份交水费112.65元，试求小明家该月的用水量．
【答案】（1）29
（2）解： ①∵ a+b+c＝11，
则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45；
② 2x×4y÷8z＝32，
2x+2y-3z=25,
∴x+2y-3z=5，
则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25,
4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20,
∴ 2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.
（3） 解：设小明家该月的用水量为x,
∵18×1.9+（25-18）×2.85+25×1=79.15<112.65，
则（x-25）×5.7+（x-25）×1=112.65-79.15，
解得x=30,
故小明家设小明家该月的用水量为30吨.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当居民用水量是 10立方米时 ， 应付水费=10×1.9+10×1=29（元）；
【分析】（1）根据题意，按阶梯水价计算办法计算水费即可；
（2）根据阶梯水价计算办法，列二元一次方程组，求出a、b值即可；
（3）分段求水费，确定用水量所在级别，再按阶梯水价计算方法，列方程求出x即可.
11．（2019·深圳）有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少
（2）A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量最大为多少度
【答案】（1）解：设焚烧1吨垃圾，A发电x度，B发电y度．
由题意得 ，解得
答：焚烧1吨垃圾A和B各发电300度与260度．
（2）解：设A发电厂焚烧a吨垃圾，则B发电厂焚烧（90-a)吨垃圾，总发电量为w度。
由题意得：a≤2（90-a)
∴a≤60
w=300a+260(90-a)
=40a+23400
∵40>0
∴w随a的增大而增大
∴当a=60时，Wmax=25800
答：A厂和B厂总发电量最大为25800度。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）
设焚烧1吨垃圾，A发电x度，B发电y度．根据“A发电厂比B发电厂多发40度电”可列方程x-y=40;根据“A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电”可列方程30y-20x=1800;据此列出方程组，求出解即可.
（2）设A发电厂焚烧a吨垃圾，则B发电厂焚烧（90-a)吨垃圾，总发电量为w度.根据“
A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍” 列出不等式，求出a的范围.根据总发电量=A厂发电量+B厂发电量，即可得出W
=40a+23400 ，利用一次函数的性质，即可求出w的最大值.
12．（2019·盐城）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克.
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只
【答案】（1）解： 设每只A型球、B型球的质量分别是x和y,
则: 解得：x=3, y=4.
答：A型球是3千克，B型球是4千克。
（2）解： ∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a=17，
解得a=（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b=17，
解得b=（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c=17，
解得c=2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d=17，
解得d=（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e=17，
解得a={不合题意舍去}，
综上所述：A型球、B型球各有3只，2只。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组即可。
（2）利用分类讨论得出方程的解即可。
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