第4章 数列 复习题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第4章 数列 复习题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 886.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 08:57:25 | ||
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文档简介
第四章 数列复习
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
3．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
8．数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列是公比为2的等比数列 B．
C．既无最大值也无最小值 D．
二、多项选择题(共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为递减数列
C．是和的等比中项 D．的最小值为
10．在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列
11．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
12．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：)
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；
若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
14．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.
15．已知数列满足，则_________．
16．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则______.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．
18．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知数列，，，其中.
（1）设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
20．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．
（1）求数列、数列的通项公式；
（2）若（），求数列的前项和．
21．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若___________________，求数列的前项和．
22.已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，且存在正整数，使得对于恒成立，求的最小值．
第四章 数列复习解析
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2021·河北·高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据规律可知数列的前三项为，
所以该数列的一个通项公式为．
故选：A
2．（2021·全国·高二课时练习）数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
【答案】C
【详解】解：A，B中没有告诉某一项的值，无法递推；
D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合题意．只有选项C符合题意.
故选：C
3．（2021·福建省龙岩第一中学高二期中）已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为为等差数列且，，故，故，
故数列的前100项和为，
故选：A.
4．（2021·福建宁德·高二期中）已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】由，，有，又因为各项均为正数，所以，故选：C
5．（2021·全国·高二月考（文））已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，得，解得，
所以，
故选：C.
6．（2021·广西·桂林市中山中学高二期中（理））已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，，，……，，以上各式相加得所以
．又适合上式，所以．
故选：B．
7．（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
【答案】C
【详解】由，知，即
设等差数列的首项，公差，∴，解得，
对于A，由，知为递减数列，故A错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C
8．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中（理））数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列是公比为2的等比数列 B．
C．既无最大值也无最小值 D．
【答案】D
【详解】由题意，时，，又，解得：，
时，，则，又，
所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；
易得，，则，B错误；
时，，时，，而是递减数列，所以时，.
综上：有最大值1.C错误；
时，，满足题意；时，，于是，.D正确.
故选：D.
二、多项选择题(共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（山东省青岛市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为递减数列
C．是和的等比中项 D．的最小值为
【答案】AD
【详解】
由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：，A选项正确；由于，所以为递增数列，B选项错误；通过计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C选项错误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，，D选项正确
故选：AD
10．（2021·山东临沂·高三期中）在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列
【答案】BC
【详解】
由题设，，即，
由可得：，
∴，，
∴且公差为；且.
综上，A、D错误，B、C正确.
故选：BC
11．（2021·江苏高邮·高二期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】BCD
【详解】，，，，故A错误.，故B正确.
当时，等差数列单调递减，
，故C正确.
，，
即，当时，，故成立；当时，成立，故成立，D正确.
故选：BCD.
12．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：)
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】不妨设数列的前项和为，
对于选项A：由等差数列的前项和公式可知，，
则方程无正整数解，故A错误；
对于选项B：不妨令，，数列和的前项和分别为和，
故，，
由参考公式和等差数列的前项和公式可知，
，，
所以，解得，故B正确；
对于选项C：①当时，
，
故此时；
②当时，
令，解得，
即时，，故C正确；
对于选项D：由等比数列的前项和公式可知，
，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：当时，函数是单调递增函数，，解得
当时，函数是单调递增函数，
又当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值
，解之得
综上所述，得实数的取值范围是，
若数列满足，且是递增数列，所以，即，解得，即，故答案为：；．
14．（2021·全国·高二专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.
【答案】126
【详解】设等比数列公比为,因为,,成等差数列,故,又,故,即,因为,故.故.
故答案为：
15．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知数列满足，则_________．
【答案】50
【详解】
两式相减得
则
，
故答案为：50
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则______.
【答案】
【详解】解：由已知，
，
∵
∴，
且，∴，
∴，
又q为小于1的正有理数，
∴是一个完全平方数，
可得或或或，则（舍）或或（舍）或（舍）
∴.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2021·江苏·高二期末）已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．
【答案】（1）an=2n-12；（2）Sn=4(1-3n)
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a3=-6，a6=0，所以
解得a1=-10，d=2．所以an=-10+(n-1)×2=2n-12．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2=a1+a2+a3=-24，b1=-8，
所以-8q=-24，q=3．
所以数列{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n)．
18．（2021·山东临沂·高三期中）在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）.（2）存在，，理由见解析.
【详解】（1）是递增的等差数列，若公差为，
选①：，则，可得.
∴.
选②：，可得 ，∴.
选③：当时，，
又，显然符合通项公式.∴.
（2）由（1）知：，可得，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，.
综上，存在，使得取得最大值.
19．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列，，，其中.
（1）设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以是首项为公差为的等差数列，所以.
（2）因为，
所以
，
所以
，
所以.
20．（2020·山东济宁·高三月考）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，
且，，．
（1）求数列、数列的通项公式；
（2）若（），求数列的前项和．
【答案】（1）（），（）；（2）.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
则由已知可得
解得或（舍），所以，（），（）.
（2）由（1）知，
所以
.
21．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若___________________，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）因为，所以，(1分)
所以，(3分)
当时，满足上式，(4分)
所以．(5分)
(2)选①．因为，(8分)
（利用裂项相消法求和）
所以－分)
选②．因为，(6分)
所以，
则（8分
两式相减可得
，(10分)
（利用错位相减法求和）所以．(12分)
【法二】：因为，(6分)
（8分)
所以
（12分
选③(6分)
当为偶数时，
（8分）
当为奇数时，
（10分）
(数列求和遇到含有时要进行分类讨论)
综上，．（12分）
22．(12分)已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，且存在正整数，使得对于恒成立，求的最小值．
【答案】（1）（2）5
【解析】
(1)(2分)
由，得，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，(3分)
所以，(4分)
由，得．(6分)
(2)由（1），知，
所以(9分)
依题意，存在正整数，使得对于恒成立，只需，解得，
所以的最小值为5．(12分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
3．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
8．数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列是公比为2的等比数列 B．
C．既无最大值也无最小值 D．
二、多项选择题(共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为递减数列
C．是和的等比中项 D．的最小值为
10．在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列
11．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
12．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：)
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；
若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
14．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.
15．已知数列满足，则_________．
16．已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则______.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．
18．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知数列，，，其中.
（1）设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
20．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．
（1）求数列、数列的通项公式；
（2）若（），求数列的前项和．
21．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若___________________，求数列的前项和．
22.已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，且存在正整数，使得对于恒成立，求的最小值．
第四章 数列复习解析
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2021·河北·高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据规律可知数列的前三项为，
所以该数列的一个通项公式为．
故选：A
2．（2021·全国·高二课时练习）数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
【答案】C
【详解】解：A，B中没有告诉某一项的值，无法递推；
D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合题意．只有选项C符合题意.
故选：C
3．（2021·福建省龙岩第一中学高二期中）已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为为等差数列且，，故，故，
故数列的前100项和为，
故选：A.
4．（2021·福建宁德·高二期中）已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】由，，有，又因为各项均为正数，所以，故选：C
5．（2021·全国·高二月考（文））已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，得，解得，
所以，
故选：C.
6．（2021·广西·桂林市中山中学高二期中（理））已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，，，……，，以上各式相加得所以
．又适合上式，所以．
故选：B．
7．（2021·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列 B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为无限集
【答案】C
【详解】由，知，即
设等差数列的首项，公差，∴，解得，
对于A，由，知为递减数列，故A错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C
8．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中（理））数列的前项和为，若，，则（ ）
A．数列是公比为2的等比数列 B．
C．既无最大值也无最小值 D．
【答案】D
【详解】由题意，时，，又，解得：，
时，，则，又，
所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；
易得，，则，B错误；
时，，时，，而是递减数列，所以时，.
综上：有最大值1.C错误；
时，，满足题意；时，，于是，.D正确.
故选：D.
二、多项选择题(共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（山东省青岛市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为递减数列
C．是和的等比中项 D．的最小值为
【答案】AD
【详解】
由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：，A选项正确；由于，所以为递增数列，B选项错误；通过计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C选项错误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，，D选项正确
故选：AD
10．（2021·山东临沂·高三期中）在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是公差为2的等差数列
【答案】BC
【详解】
由题设，，即，
由可得：，
∴，，
∴且公差为；且.
综上，A、D错误，B、C正确.
故选：BC
11．（2021·江苏高邮·高二期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】BCD
【详解】，，，，故A错误.，故B正确.
当时，等差数列单调递减，
，故C正确.
，，
即，当时，，故成立；当时，成立，故成立，D正确.
故选：BCD.
12．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前项和可能为1028的数列是( )
(参考公式：)
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】不妨设数列的前项和为，
对于选项A：由等差数列的前项和公式可知，，
则方程无正整数解，故A错误；
对于选项B：不妨令，，数列和的前项和分别为和，
故，，
由参考公式和等差数列的前项和公式可知，
，，
所以，解得，故B正确；
对于选项C：①当时，
，
故此时；
②当时，
令，解得，
即时，，故C正确；
对于选项D：由等比数列的前项和公式可知，
，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数，若是上的增函数，则实数的取值范围是___________；若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：当时，函数是单调递增函数，，解得
当时，函数是单调递增函数，
又当时，一次函数的取值要小于或等于指数式的值
，解之得
综上所述，得实数的取值范围是，
若数列满足，且是递增数列，所以，即，解得，即，故答案为：；．
14．（2021·全国·高二专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.
【答案】126
【详解】设等比数列公比为,因为,,成等差数列,故,又,故,即,因为,故.故.
故答案为：
15．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知数列满足，则_________．
【答案】50
【详解】
两式相减得
则
，
故答案为：50
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则______.
【答案】
【详解】解：由已知，
，
∵
∴，
且，∴，
∴，
又q为小于1的正有理数，
∴是一个完全平方数，
可得或或或，则（舍）或或（舍）或（舍）
∴.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2021·江苏·高二期末）已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．
【答案】（1）an=2n-12；（2）Sn=4(1-3n)
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a3=-6，a6=0，所以
解得a1=-10，d=2．所以an=-10+(n-1)×2=2n-12．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2=a1+a2+a3=-24，b1=-8，
所以-8q=-24，q=3．
所以数列{bn}的前n项和公式为Sn==4(1-3n)．
18．（2021·山东临沂·高三期中）在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）.（2）存在，，理由见解析.
【详解】（1）是递增的等差数列，若公差为，
选①：，则，可得.
∴.
选②：，可得 ，∴.
选③：当时，，
又，显然符合通项公式.∴.
（2）由（1）知：，可得，
∴当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，.
综上，存在，使得取得最大值.
19．（2021·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列，，，其中.
（1）设，证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以是首项为公差为的等差数列，所以.
（2）因为，
所以
，
所以
，
所以.
20．（2020·山东济宁·高三月考）已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，
且，，．
（1）求数列、数列的通项公式；
（2）若（），求数列的前项和．
【答案】（1）（），（）；（2）.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
则由已知可得
解得或（舍），所以，（），（）.
（2）由（1）知，
所以
.
21．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．
若___________________，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）因为，所以，(1分)
所以，(3分)
当时，满足上式，(4分)
所以．(5分)
(2)选①．因为，(8分)
（利用裂项相消法求和）
所以－分)
选②．因为，(6分)
所以，
则（8分
两式相减可得
，(10分)
（利用错位相减法求和）所以．(12分)
【法二】：因为，(6分)
（8分)
所以
（12分
选③(6分)
当为偶数时，
（8分）
当为奇数时，
（10分）
(数列求和遇到含有时要进行分类讨论)
综上，．（12分）
22．(12分)已知数列满足，其中．
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，且存在正整数，使得对于恒成立，求的最小值．
【答案】（1）（2）5
【解析】
(1)(2分)
由，得，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，(3分)
所以，(4分)
由，得．(6分)
(2)由（1），知，
所以(9分)
依题意，存在正整数，使得对于恒成立，只需，解得，
所以的最小值为5．(12分)