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初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.3 二次函数y=(x-h)2+k的图象和性质
一、基础巩固
1．（2019·武昌模拟）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 函数 ，
A、 该函数图象开口向下，A不符合题意，
B、顶点坐标为 ，B不符合题意，
C、当 时， ，即该函数与y轴的交点坐标为 ，C不符合题意，
D、对称轴是直线 ，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】（1）因为a=-1＜0，所以抛物线的开口向下；
（2）由题意和顶点式可得顶点为（-2,-1）；
（3）因为抛物线与y轴相交，所以令x=0可得关于y的方程，解方程可得y=-5，所以与y轴的交点为（0，-5）；
（4）由题意和顶点式可得 对称轴方程为直线x=-2.
2．（2019九下·保山期中）二次函数y＝﹣(x﹣3)2+1的最大值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵二次函数y= (x 3)2+1是顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，函数的最大值为1.故答案为：B.
【分析】根据二次函数顶点式y=a(x h)2+k的性质，当x=h时，函数有最大值y=k即可直接得出答案。
3．（2019·广西模拟）在同一坐标系中，一次函数y=一mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y=-mx+n2， 抛物线y=x2+m
n2＞0，
∴此函数与y轴交于正半轴，且抛物线开口向上，故A、B不符合题意；
当m＞0时，则直线y=-mx+n2经过第一、二、四象限，
抛物线y=x2+m 的顶点在y轴的正半轴，故C不符合题意；
当m＜0时，则直线y=-mx+n2经过第一、二、三象限，
抛物线y=x2+m 的顶点在y轴的负半轴，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数解析式及抛物线的开口方向，就可排除A、B，再分情况讨论：当m＞0时；当m＜0时，根据两函数的图象及性质，可得到正确选项。
4．（2019·玉州模拟）如果点 ， 在抛物线 上，那么 的值为 ；
【答案】3
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解:二次函数的对称轴为：
由二次函数的对称性可知：
解得： m=3。
故答案为：3。
【分析】根据抛物线的顶点式可知:该抛物线的对称轴直线是x=1,由点A,B两点的纵坐标可知:这两点关于对称轴对称,从而即可列出方程,求解即可。
5．（2019·南沙模拟）抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】（-1，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵题目中为抛物线的顶点式
∴顶点坐标为（-1，3）
故答案为：（-1，3）。
【分析】根据抛物线的顶点式的规律，直接写出抛物线的顶点即可。
6．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
【答案】解：如图，
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】由图像可知：向右平移2个单位长度可得抛物线；向左平移2个单位长度可得抛物线。
二、强化提升
7．（2019·兰州）已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2>y1>y2 B．2>y2 >y1 C．y1>y2>2 D．y2 >y1>2
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ y=-(x+1)2+2的顶点坐标为（-1,2），对称轴是直线x=-1，二次项系数a＜0，
∴当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，
∵ A(1，y1),B(2,y2)
∴2＞1＞-1，
∴ 2>y1>y2 。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的解析式的性质与系数的关系得出：当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，从而根据A,B两点的横坐标即可判断得出答案。
8．（2019·玉州模拟）已知二次函数 （h为常数），在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最大值为0，则 的值为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，
可得：-（1-h）2+4=0，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，
可得：-（4-h）2+4=0，
解得：h=2（舍）或h=6.
综上，h的值为－1或6。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的性质：由于此函数的二次项系数小于0，故x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，然后分类讨论：①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，将x与y的对应值分别代入抛物线 求解并检验即可得出答案。
9．（2019·石家庄模拟）如图，已知A（0，2），B(2，2），C(-1，0)，抛物线y=a（x-h）2+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜2 B．0＜k＜2或k＞
C．k> D．0
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点M在第一象限且在线段AB的垂直平分线上，点A（0，2），点B（2，2）
∴h=1，k0
当点M在线段AB的下方时，根据点M的坐标为（1，k），∴0k2；
当点M在线段AB的上方时，a（-1-1）2+k=0，a（0-1）2+k2，解得k
故答案为：B。
【分析】根据题意即可求得h的数值以及k的范围，根据题目内容分情况进行讨论，得出结论即可。
10．（2019·徐汇模拟）已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】＜
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，
∵1＞0，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵-2>-3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【分析】由抛物线 y＝（x﹣1）2+c的图像性质，可以得到图像关于X=1对称。a=1,图像开口向上。故当x<1时，y随x的增大而减小。-2>-3,故 y1< y2。
11．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
【答案】（1）(－3，0)；(1，0)
（2）解：将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2，
可得0＝4a＋2，解得a＝－
（3）解：∵y＝a(x＋1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－3)＝4，
∴S△PAB＝ ×4×2＝4
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：(1)由图象可知A点坐标为( 3，0)，
∵y=a(x+1)2+2，
∴抛物线对称轴方程为x= 1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为(1，0)，
故答案为：( 3，0)；(1，0)
【分析】（1）由二次函数的解析式可知顶点坐标为（-1，2），对称轴是直线x=-1，由图知，图像交y轴于点A（-3，0），抛物线是关于直线x=-1对称的轴对称图形，所以可得点B的坐标为（1，0）；
（2）将（1）中求得的点B的坐标代入解析式即可求得a的值；
（3）由（1）（2）的结论即可求解。
12．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，
把（0，﹣4）代入得9a﹣1=﹣4，
解得a=﹣ ．
所以二次函数解析式为y=﹣ （x﹣3）2﹣1；
（2）解：∵a=﹣ ＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点为（3，﹣1），∴点（0，﹣4）对称点为（6，﹣4），
∴函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）由已知顶点的情况下可设抛物线解析式为顶点式，再将（0，﹣4）坐标代入解析式，即可求出解析式；（2）可数形结合，画出抛物线的大致图像，再画出直线y=-4，找出交点，即（0，﹣4），（6，﹣4），介于这两个交点间的抛物线部分对应的x范围0＜x＜6，就是所求的自变量x的取值范围.
三、真题演练
13．（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．(1，3) B．（1，-3) C．（-1，3） D．（-1，-3）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，
∴二次函数图象顶点坐标为：（1，3）.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
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初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.3 二次函数y=(x-h)2+k的图象和性质
一、基础巩固
1．（2019·武昌模拟）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
2．（2019九下·保山期中）二次函数y＝﹣(x﹣3)2+1的最大值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
3．（2019·广西模拟）在同一坐标系中，一次函数y=一mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·玉州模拟）如果点 ， 在抛物线 上，那么 的值为 ；
5．（2019·南沙模拟）抛物线 的顶点坐标是 ．
6．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
二、强化提升
7．（2019·兰州）已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2>y1>y2 B．2>y2 >y1 C．y1>y2>2 D．y2 >y1>2
8．（2019·玉州模拟）已知二次函数 （h为常数），在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最大值为0，则 的值为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
9．（2019·石家庄模拟）如图，已知A（0，2），B(2，2），C(-1，0)，抛物线y=a（x-h）2+k过点C，顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，若抛物线与线段AB无公共点，则k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜2 B．0＜k＜2或k＞
C．k> D．0
10．（2019·徐汇模拟）已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
11．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
12．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围．
三、真题演练
13．（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．(1，3) B．（1，-3) C．（-1，3） D．（-1，-3）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 函数 ，
A、 该函数图象开口向下，A不符合题意，
B、顶点坐标为 ，B不符合题意，
C、当 时， ，即该函数与y轴的交点坐标为 ，C不符合题意，
D、对称轴是直线 ，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】（1）因为a=-1＜0，所以抛物线的开口向下；
（2）由题意和顶点式可得顶点为（-2,-1）；
（3）因为抛物线与y轴相交，所以令x=0可得关于y的方程，解方程可得y=-5，所以与y轴的交点为（0，-5）；
（4）由题意和顶点式可得 对称轴方程为直线x=-2.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵二次函数y= (x 3)2+1是顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，函数的最大值为1.故答案为：B.
【分析】根据二次函数顶点式y=a(x h)2+k的性质，当x=h时，函数有最大值y=k即可直接得出答案。
3．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y=-mx+n2， 抛物线y=x2+m
n2＞0，
∴此函数与y轴交于正半轴，且抛物线开口向上，故A、B不符合题意；
当m＞0时，则直线y=-mx+n2经过第一、二、四象限，
抛物线y=x2+m 的顶点在y轴的正半轴，故C不符合题意；
当m＜0时，则直线y=-mx+n2经过第一、二、三象限，
抛物线y=x2+m 的顶点在y轴的负半轴，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数解析式及抛物线的开口方向，就可排除A、B，再分情况讨论：当m＞0时；当m＜0时，根据两函数的图象及性质，可得到正确选项。
4．【答案】3
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解:二次函数的对称轴为：
由二次函数的对称性可知：
解得： m=3。
故答案为：3。
【分析】根据抛物线的顶点式可知:该抛物线的对称轴直线是x=1,由点A,B两点的纵坐标可知:这两点关于对称轴对称,从而即可列出方程,求解即可。
5．【答案】（-1，3）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵题目中为抛物线的顶点式
∴顶点坐标为（-1，3）
故答案为：（-1，3）。
【分析】根据抛物线的顶点式的规律，直接写出抛物线的顶点即可。
6．【答案】解：如图，
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】由图像可知：向右平移2个单位长度可得抛物线；向左平移2个单位长度可得抛物线。
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ y=-(x+1)2+2的顶点坐标为（-1,2），对称轴是直线x=-1，二次项系数a＜0，
∴当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，
∵ A(1，y1),B(2,y2)
∴2＞1＞-1，
∴ 2>y1>y2 。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的解析式的性质与系数的关系得出：当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，从而根据A,B两点的横坐标即可判断得出答案。
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，
可得：-（1-h）2+4=0，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，
可得：-（4-h）2+4=0，
解得：h=2（舍）或h=6.
综上，h的值为－1或6。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的性质：由于此函数的二次项系数小于0，故x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，然后分类讨论：①若h＜1≤x≤4，x=1时，y取得最大值0，②若1≤x≤4＜h，当x=4时，y取得最大值0，将x与y的对应值分别代入抛物线 求解并检验即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点M在第一象限且在线段AB的垂直平分线上，点A（0，2），点B（2，2）
∴h=1，k0
当点M在线段AB的下方时，根据点M的坐标为（1，k），∴0k2；
当点M在线段AB的上方时，a（-1-1）2+k=0，a（0-1）2+k2，解得k
故答案为：B。
【分析】根据题意即可求得h的数值以及k的范围，根据题目内容分情况进行讨论，得出结论即可。
10．【答案】＜
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由题意得：抛物线的对称轴是：直线x=1，
∵1＞0，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵-2>-3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【分析】由抛物线 y＝（x﹣1）2+c的图像性质，可以得到图像关于X=1对称。a=1,图像开口向上。故当x<1时，y随x的增大而减小。-2>-3,故 y1< y2。
11．【答案】（1）(－3，0)；(1，0)
（2）解：将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2，
可得0＝4a＋2，解得a＝－
（3）解：∵y＝a(x＋1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－3)＝4，
∴S△PAB＝ ×4×2＝4
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：(1)由图象可知A点坐标为( 3，0)，
∵y=a(x+1)2+2，
∴抛物线对称轴方程为x= 1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为(1，0)，
故答案为：( 3，0)；(1，0)
【分析】（1）由二次函数的解析式可知顶点坐标为（-1，2），对称轴是直线x=-1，由图知，图像交y轴于点A（-3，0），抛物线是关于直线x=-1对称的轴对称图形，所以可得点B的坐标为（1，0）；
（2）将（1）中求得的点B的坐标代入解析式即可求得a的值；
（3）由（1）（2）的结论即可求解。
12．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，
把（0，﹣4）代入得9a﹣1=﹣4，
解得a=﹣ ．
所以二次函数解析式为y=﹣ （x﹣3）2﹣1；
（2）解：∵a=﹣ ＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点为（3，﹣1），∴点（0，﹣4）对称点为（6，﹣4），
∴函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）由已知顶点的情况下可设抛物线解析式为顶点式，再将（0，﹣4）坐标代入解析式，即可求出解析式；（2）可数形结合，画出抛物线的大致图像，再画出直线y=-4，找出交点，即（0，﹣4），（6，﹣4），介于这两个交点间的抛物线部分对应的x范围0＜x＜6，就是所求的自变量x的取值范围.
13．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，
∴二次函数图象顶点坐标为：（1，3）.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
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