苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程

苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程
一、单选题
1．（2018高一上·成都月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】，
，
，
，
因为f（1）f（2）<0，
根据零点的存在性定理f（x）的零点所在区间是（1，2）.
故选C.
【分析】根据零点的存在性定理，区间端点函数值异号即可.
2．（2019高一上·哈尔滨期末）函数 的零点所在区间为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令 0，
可得 ，
再令g（x）＝2x， ，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（ ，1），
从而函数f（x）的零点在（ ，1），
故答案为：C．
【分析】画出函数图象，数形结合，找到函数图象交点的横坐标，即可确定零点所在区间.
3．（2019高二下·永清月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】∵连续函数 在（0，+∞）上单调递增，
∵f（ ） 0，f（ ） 0，
∴函数 的零点所在的区间为（ ， ），
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调性，结合零点的判定定理，即可确定零点所在区间.
4．（2019高一上·永嘉月考）函数 的零点所在的一个区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 为增函数，
.
所以函数 的零点所在的一个区间是 .
故答案为：C.
【分析】由已知利用函数零点判定定理，得到，即可判断零点所在的区间.
5．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ，
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 ， +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 ， +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 ， a+1 ) ，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 ， +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
6．（2017·聊城模拟）若函数f（x）=alog2（|x|+4）+x2+a2﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣4或2
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：显然f（x）是偶函数，
∵f（x）有唯一一个零点，∴f（0）=0，即a2+2a﹣8=0，
解得a=2或a=﹣4．
当a=2时，f（x）=2alog2（|x|+4）+x2﹣4，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，符合题意；
当a=﹣4时，f（x）=﹣4log2（|x|+4）+x2+8，
作出y=4log2（|x|+4）和y=x2+8的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）有三个零点，不符合题意；
综上，a=2．
故选B．
【分析】根据f（x）是偶函数可知唯一零点比为0，从而得出a，再利用函数图象验证即可．
7．（2019高一上·衢州期末）已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，
∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，
由图象可得m的取值范围为（-1，1）．
故答案为：A
【分析】利用函数y=f(x)-m有两个不同的零点，判断出函数f(x)与函数y=m的图象有两个交点，再利用图象得到m的取值范围。
8．（2014·山东理）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：KOA= ，
数形结合可得 ＜k＜1，
故选：B．
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9．（2017高一上·丰台期末）用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）
【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：因为f（0）=20+0﹣7=﹣6＜0；
f（4）=24+12﹣7＞0；
又已知f（2）=22+6﹣7＞0；
所以f（0）×f（2）＜0；
所以零点在区间（0，2）．
故答案为：B
【分析】代入端点值，可得到f（0）×f（2）＜0，所以零点在区间（0，2）．
10．（2018高一上·哈尔滨月考）方程 的解所在区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令函数 ，则函数 是 上的单调增函数，且是连续函数.
∵ ，
∴
∴故函数 的零点所在的区间为
∴方程 的解所在区间是
故答案为：C.
【分析】本题利用零点存在性定理求出解所在的区间。
11．（2014·新课标I卷理）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
12．（2019高一下·仙桃期末）实数a，b定义运算“ ”； ，设 ，若函数 至少有两个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据定义可得：
所以 至少有两个零点，转化成函数 与 的图像有两个交点的问题。其中 的图像如下：
所以
故答案为：A
【分析】根据的定义，得到分段函数f（x）的表达式，作出函数图象，根据函数零点与方程实数根及函数图象交点横坐标的关系，即可求出k的取值范围.
二、填空题
13．（2017高一上·温州期中）函数 的零点个数是　 　；其所有零点之和为　 　．
【答案】3；0
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数 的图象如下图所示：
由图可得：函数的零点共3个，
分别为0，±1，故零点和为0，
故答案为：3，0
【分析】函数的零点即为函数和x轴的交点，求出结果加起来即可。
14．（人教新课标A版必修1数学3.1.1方程的根与函数的零点同步检测）函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为　 　．
【答案】－3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设方程f(x)＝0的另一根为x，
由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.
【分析】根据韦达定理确定方程方程的解即可
15．（2019·江苏）设 是定义在R上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则k的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 当 时， ，又 是奇函数，
时，则
函数 在 上的图象为两个分别以 为圆心，半径为1的圆的上半部分和以 为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数 的周期为4，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象，由两段一次函数构成，
再利用函数 的周期为2，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则
又 在区间 上，x轴下方的线段 与函数 有2个交点，
在x轴上方 的周期图象与 有6个交点，
易得该 的周期图象经过(-2，0)，其一临界值分别为经过(1，1)，其二临界值为与半圆相切；
当经过(1，1)时，，
当与半圆相切，即到(1，0)的距离为1，
∴，解得（负值舍去）；
k的取值范围是 。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数 的解析式，结合周期性画出两函数图象，将方程根转换成函数交点问题，结合图象分析满足条件的临界情况即可求出k的取值范围。
16．（2019高一上·辽源月考）已知函数 ，若函数 有两不同的零点，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，所以 有两个不同的零点，
等价于函数 与 的图象有两个不同的零点，
如图，在同一坐标系中作出函数 与 的图象，由图象易知当 时，两函数图象有两个交点．
故答案为： ．
【分析】函数 有两个不同零点可以转化为函数 的图象与函数 的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果
17．（2018·天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是　 　.
【答案】（4，8）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵
∴
=0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.
则
4a8
【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.
18．（函数的零点+++++++++++ ）已知函数f（x）=kx，g（x）= ，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[ ，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是　 　．
【答案】[ ）
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由f（x）=g（x），
∴kx= ，
∴k= ，
令h（x）= ，
∵方程f（x）=g（x）在区间[ ，e]内有两个实数解，
∴h（x）= 在[ ，e]内的图象与直线y=k有两个交点．
∴h′（x）= ，
令h′（x）= =0，则x= ，
当x∈[ ， ]内h′（x）＞0，当x∈[ ，e]内h′（x）＜0，
当x= ，h（x）= ，当x=e时，h（e）= ，当x= ，h（x）=﹣e2，
故当k∈[ ）时，该方程有两个解．
故答案为：[ ）
【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．
三、解答题
19．（人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练）已知函数 的零点是 和 ，求函数 的零点．
【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得 ，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】由函数的两个零点存在，分别求出m，n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
20．（高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习）已知函数 有两个零点．
（1）若函数的两个零点是 和 ，求 的值；
（2）若函数的两个零点是 和 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 和 是函数 的两个零点，
∴ 和 是方程 的两个实数根．
则
解得
（2）解：∵函数的两个零点为 和 ，
∴ 和 是方程 的两根，
∴
则
∴ 的取值范围为 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据零点的定义代入数值求出k的值即可。(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于的不等式组，整理为关于k的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。
21．（高中数学人教新课标A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解）已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
22．（2017高一上·和平期中）已知函数 ．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）﹣2，求函数g（x）的零点．
【答案】（1）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数．∴f（﹣1）=f（1），即 ，故 ．
函数f（x）= ，
f（﹣x）= = =f（x）．所以a=1满足题意
（2）解：依题意 = ．则由22x+1=2x+2，得（2x）2﹣4（2x）+1=0，
令2x=t（t＞0），则t2﹣4t+1=0，
解得 ．即 ．
∴函数g（x）有两个零点，分别为 和
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可求出 a = 1，进而得到f（x）的解析式。（2）由已知整理得到（2x）2﹣4（2x）+1=0，整体思想令2x=t（t＞0），解得t的值，进而得到x的取值，故函数g（x）有两个零点。
23．（人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练）已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）零点均大于 ；
（2）一个零点大于 ，一个零点小于 ；
（3）一个零点在 内，另一个零点在 内．
【答案】（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得2≤a< .
即a的取值范围为 .
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a> .
即a的取值范围为
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 ，
解得 .
即a的取值范围为
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（），函数对称轴大于1及代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（），及函数值，代入数据计算，即可得出答案。
（3）结合零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
24．（2016高一上·浦城期中）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，
∴loga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2，
∴t= ﹣2
（2）解：当0＜a＜1且t=﹣1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故 ，
解得， ＜x≤
（3）解：F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴ =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，
∵2 ≤（x+2）+ ≤ ，
∴﹣ ≤﹣[（x+2）+ ]+4≤4﹣2 ，
∴﹣ ≤ ≤4﹣2 ，
∴t≤﹣2或t≥
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由题意得loga2﹣2loga（2+t）=0，从而解得．（2）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由对数函数的单调性可得 ，从而解得．（3）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得 =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，从而解得．
1 / 1苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程
一、单选题
1．（2018高一上·成都月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·哈尔滨期末）函数 的零点所在区间为 （　　）
A． B． C． D．
3．（2019高二下·永清月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·永嘉月考）函数 的零点所在的一个区间是（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
6．（2017·聊城模拟）若函数f（x）=alog2（|x|+4）+x2+a2﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣4或2
7．（2019高一上·衢州期末）已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
8．（2014·山东理）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
9．（2017高一上·丰台期末）用二分法找函数f（x）=2x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）
10．（2018高一上·哈尔滨月考）方程 的解所在区间是（　　）
A． B． C． D．
11．（2014·新课标I卷理）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（2019高一下·仙桃期末）实数a，b定义运算“ ”； ，设 ，若函数 至少有两个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2017高一上·温州期中）函数 的零点个数是　 　；其所有零点之和为　 　．
14．（人教新课标A版必修1数学3.1.1方程的根与函数的零点同步检测）函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为　 　．
15．（2019·江苏）设 是定义在R上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则k的取值范围是　 　.
16．（2019高一上·辽源月考）已知函数 ，若函数 有两不同的零点，则实数 的取值范围是　 　．
17．（2018·天津）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是　 　.
18．（函数的零点+++++++++++ ）已知函数f（x）=kx，g（x）= ，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[ ，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是　 　．
三、解答题
19．（人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练）已知函数 的零点是 和 ，求函数 的零点．
20．（高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习）已知函数 有两个零点．
（1）若函数的两个零点是 和 ，求 的值；
（2）若函数的两个零点是 和 ，求 的取值范围．
21．（高中数学人教新课标A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解）已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
22．（2017高一上·和平期中）已知函数 ．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）﹣2，求函数g（x）的零点．
23．（人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练）已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）零点均大于 ；
（2）一个零点大于 ，一个零点小于 ；
（3）一个零点在 内，另一个零点在 内．
24．（2016高一上·浦城期中）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】，
，
，
，
因为f（1）f（2）<0，
根据零点的存在性定理f（x）的零点所在区间是（1，2）.
故选C.
【分析】根据零点的存在性定理，区间端点函数值异号即可.
2．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令 0，
可得 ，
再令g（x）＝2x， ，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（ ，1），
从而函数f（x）的零点在（ ，1），
故答案为：C．
【分析】画出函数图象，数形结合，找到函数图象交点的横坐标，即可确定零点所在区间.
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】∵连续函数 在（0，+∞）上单调递增，
∵f（ ） 0，f（ ） 0，
∴函数 的零点所在的区间为（ ， ），
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调性，结合零点的判定定理，即可确定零点所在区间.
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 为增函数，
.
所以函数 的零点所在的一个区间是 .
故答案为：C.
【分析】由已知利用函数零点判定定理，得到，即可判断零点所在的区间.
5．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ，
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 ， +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 ， +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 ， a+1 ) ，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 ， +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
6．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：显然f（x）是偶函数，
∵f（x）有唯一一个零点，∴f（0）=0，即a2+2a﹣8=0，
解得a=2或a=﹣4．
当a=2时，f（x）=2alog2（|x|+4）+x2﹣4，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，符合题意；
当a=﹣4时，f（x）=﹣4log2（|x|+4）+x2+8，
作出y=4log2（|x|+4）和y=x2+8的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）有三个零点，不符合题意；
综上，a=2．
故选B．
【分析】根据f（x）是偶函数可知唯一零点比为0，从而得出a，再利用函数图象验证即可．
7．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理；函数的零点
【解析】【解答】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，
∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，
由图象可得m的取值范围为（-1，1）．
故答案为：A
【分析】利用函数y=f(x)-m有两个不同的零点，判断出函数f(x)与函数y=m的图象有两个交点，再利用图象得到m的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，
如图所示：KOA= ，
数形结合可得 ＜k＜1，
故选：B．
【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9．【答案】B
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：因为f（0）=20+0﹣7=﹣6＜0；
f（4）=24+12﹣7＞0；
又已知f（2）=22+6﹣7＞0；
所以f（0）×f（2）＜0；
所以零点在区间（0，2）．
故答案为：B
【分析】代入端点值，可得到f（0）×f（2）＜0，所以零点在区间（0，2）．
10．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令函数 ，则函数 是 上的单调增函数，且是连续函数.
∵ ，
∴
∴故函数 的零点所在的区间为
∴方程 的解所在区间是
故答案为：C.
【分析】本题利用零点存在性定理求出解所在的区间。
11．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
12．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据定义可得：
所以 至少有两个零点，转化成函数 与 的图像有两个交点的问题。其中 的图像如下：
所以
故答案为：A
【分析】根据的定义，得到分段函数f（x）的表达式，作出函数图象，根据函数零点与方程实数根及函数图象交点横坐标的关系，即可求出k的取值范围.
13．【答案】3；0
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数 的图象如下图所示：
由图可得：函数的零点共3个，
分别为0，±1，故零点和为0，
故答案为：3，0
【分析】函数的零点即为函数和x轴的交点，求出结果加起来即可。
14．【答案】－3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设方程f(x)＝0的另一根为x，
由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.
【分析】根据韦达定理确定方程方程的解即可
15．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 当 时， ，又 是奇函数，
时，则
函数 在 上的图象为两个分别以 为圆心，半径为1的圆的上半部分和以 为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数 的周期为4，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象，由两段一次函数构成，
再利用函数 的周期为2，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则
又 在区间 上，x轴下方的线段 与函数 有2个交点，
在x轴上方 的周期图象与 有6个交点，
易得该 的周期图象经过(-2，0)，其一临界值分别为经过(1，1)，其二临界值为与半圆相切；
当经过(1，1)时，，
当与半圆相切，即到(1，0)的距离为1，
∴，解得（负值舍去）；
k的取值范围是 。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数 的解析式，结合周期性画出两函数图象，将方程根转换成函数交点问题，结合图象分析满足条件的临界情况即可求出k的取值范围。
16．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，所以 有两个不同的零点，
等价于函数 与 的图象有两个不同的零点，
如图，在同一坐标系中作出函数 与 的图象，由图象易知当 时，两函数图象有两个交点．
故答案为： ．
【分析】函数 有两个不同零点可以转化为函数 的图象与函数 的图象的有两个交点，作出两函数图象，由图象易得结果
17．【答案】（4，8）
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵
∴
=0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.
则
4a8
【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.
18．【答案】[ ）
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：由f（x）=g（x），
∴kx= ，
∴k= ，
令h（x）= ，
∵方程f（x）=g（x）在区间[ ，e]内有两个实数解，
∴h（x）= 在[ ，e]内的图象与直线y=k有两个交点．
∴h′（x）= ，
令h′（x）= =0，则x= ，
当x∈[ ， ]内h′（x）＞0，当x∈[ ，e]内h′（x）＜0，
当x= ，h（x）= ，当x=e时，h（e）= ，当x= ，h（x）=﹣e2，
故当k∈[ ）时，该方程有两个解．
故答案为：[ ）
【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．
19．【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得 ，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】由函数的两个零点存在，分别求出m，n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵ 和 是函数 的两个零点，
∴ 和 是方程 的两个实数根．
则
解得
（2）解：∵函数的两个零点为 和 ，
∴ 和 是方程 的两根，
∴
则
∴ 的取值范围为 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据零点的定义代入数值求出k的值即可。(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于的不等式组，整理为关于k的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。
21．【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程近似解；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
22．【答案】（1）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数．∴f（﹣1）=f（1），即 ，故 ．
函数f（x）= ，
f（﹣x）= = =f（x）．所以a=1满足题意
（2）解：依题意 = ．则由22x+1=2x+2，得（2x）2﹣4（2x）+1=0，
令2x=t（t＞0），则t2﹣4t+1=0，
解得 ．即 ．
∴函数g（x）有两个零点，分别为 和
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可求出 a = 1，进而得到f（x）的解析式。（2）由已知整理得到（2x）2﹣4（2x）+1=0，整体思想令2x=t（t＞0），解得t的值，进而得到x的取值，故函数g（x）有两个零点。
23．【答案】（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得2≤a< .
即a的取值范围为 .
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a> .
即a的取值范围为
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 ，
解得 .
即a的取值范围为
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（），函数对称轴大于1及代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（），及函数值，代入数据计算，即可得出答案。
（3）结合零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，
∴loga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2，
∴t= ﹣2
（2）解：当0＜a＜1且t=﹣1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故 ，
解得， ＜x≤
（3）解：F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴ =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，
∵2 ≤（x+2）+ ≤ ，
∴﹣ ≤﹣[（x+2）+ ]+4≤4﹣2 ，
∴﹣ ≤ ≤4﹣2 ，
∴t≤﹣2或t≥
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）由题意得loga2﹣2loga（2+t）=0，从而解得．（2）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由对数函数的单调性可得 ，从而解得．（3）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得 =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，从而解得．
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