初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2.1 直接开平方法和因式分解法
一、单选题
1．（2019八下·杭州期末）方程 的根是
A． B．
C． ， D． ，
2．（2019八下·嘉兴期末）方程(x-1)(x+2)=x-1的解是（ ）
A．x=-2 B．x1=1，x2=-2 C．x1=-1，x2=1 D．x1=-1，x2=3
3．（2019·瓯海模拟）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
二、填空题
4．（2019八下·余杭期末）一元二次方程（x+3)2-2=0的根是 ．
5．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
6．（2019·十堰）对于实数 ，定义运算“◎”如下： ◎ .若 ◎ ，则 .
7．（2019八下·杭州期末）若方程 的两根为 ， ，则 .
三、计算题
8．（2019·齐齐哈尔）解方程：x2+6x=-7
9．（2019·安徽）解方程：
10．（2019八下·鄞州期末）解方程：
（1）
（2）
11．（2019八下·余姚期末）解下列各题:
（1）计算:
（2）解方程：（x+1）(x-1)=4x-1
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为： .
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，求出x的值，从而即可求出原方程的解。
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 将原方程变形为：(x-1)(x+2)-（x-1）=0
（x-1）（x+2-1）=0
∴x-1=0或x+1=0
解之： x1=-1，x2=1
故答案为：C
【分析】观察方程的特点：方程两边含有公因式（x-1），将原方程转化为(x-1)(x+2)-（x-1）=0，然后利用因式分解法解此方程。
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a△b＝a
2+b
2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1.
故答案为：C.
【分析】由题意根据新运算把（x+2）看做a，x看做b，代入 a△b＝a2+b2+ab ，可得关于x的方程，解方程即可求得方程的根。
4．【答案】x1= -3，x1= -3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+3)2=2
∴x+3=± 即x=-3±
∴ x1= -3，x1= -3
故答案为： x1= -3，x1= -3
【分析】将方程中的x+3看着整体，此方程缺x+3的一次项，因此利用直接开平方法解此方程。
5．【答案】x1＝3，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
6．【答案】-3或4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
，
或 ，
所以 。
故答案为： 或 。
【分析】根据新定义运算的法则列出方程，求解即可。
7．【答案】1
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵∴∴ 或 .∵ ，∴ .
∴ .
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，然后根据确定出x1,x2的值，再代入代数式按有理数的减法即可算出答案。
8．【答案】解：x2+6x+9=-7+9
(x+3)2=2
x+3=±
x1=-3+ ，x2=-3-
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】配方法解一元二次方程，得到x的值。
9．【答案】解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法直接将方程转化为两个一次方程，解出x值即可.
10．【答案】（1）解：方程移项得： ，
开方得： ，
解得： ， ；
（2）解：方程移项得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察已知方程，有如下特点：将（x+1）看着整体，此方程缺（x+1）的一次项，因此利用直接开平方法解方程。
（2）观察已知方程，有如下特点：方程两边含有公因式（x+2），先整体移项，再将方程的右边分解因式，然后求出方程的解。
11．【答案】（1）解：原式=2 -4
=-2
（2）解：化简得:x2-4x=0
解得:x1=0，x2=4
【知识点】同类二次根式；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先化简成最简根式，再合并同类项即可；
（2）先把方程左式的乘积项展开，移项，合并同类项，再分解因式即可求解.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2.1 直接开平方法和因式分解法
一、单选题
1．（2019八下·杭州期末）方程 的根是
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为： .
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，求出x的值，从而即可求出原方程的解。
2．（2019八下·嘉兴期末）方程(x-1)(x+2)=x-1的解是（ ）
A．x=-2 B．x1=1，x2=-2 C．x1=-1，x2=1 D．x1=-1，x2=3
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 将原方程变形为：(x-1)(x+2)-（x-1）=0
（x-1）（x+2-1）=0
∴x-1=0或x+1=0
解之： x1=-1，x2=1
故答案为：C
【分析】观察方程的特点：方程两边含有公因式（x-1），将原方程转化为(x-1)(x+2)-（x-1）=0，然后利用因式分解法解此方程。
3．（2019·瓯海模拟）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a△b＝a
2+b
2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1.
故答案为：C.
【分析】由题意根据新运算把（x+2）看做a，x看做b，代入 a△b＝a2+b2+ab ，可得关于x的方程，解方程即可求得方程的根。
二、填空题
4．（2019八下·余杭期末）一元二次方程（x+3)2-2=0的根是 ．
【答案】x1= -3，x1= -3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+3)2=2
∴x+3=± 即x=-3±
∴ x1= -3，x1= -3
故答案为： x1= -3，x1= -3
【分析】将方程中的x+3看着整体，此方程缺x+3的一次项，因此利用直接开平方法解此方程。
5．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
【答案】x1＝3，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
6．（2019·十堰）对于实数 ，定义运算“◎”如下： ◎ .若 ◎ ，则 .
【答案】-3或4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
，
或 ，
所以 。
故答案为： 或 。
【分析】根据新定义运算的法则列出方程，求解即可。
7．（2019八下·杭州期末）若方程 的两根为 ， ，则 .
【答案】1
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵∴∴ 或 .∵ ，∴ .
∴ .
故答案为：1.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，然后根据确定出x1,x2的值，再代入代数式按有理数的减法即可算出答案。
三、计算题
8．（2019·齐齐哈尔）解方程：x2+6x=-7
【答案】解：x2+6x+9=-7+9
(x+3)2=2
x+3=±
x1=-3+ ，x2=-3-
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】配方法解一元二次方程，得到x的值。
9．（2019·安徽）解方程：
【答案】解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法直接将方程转化为两个一次方程，解出x值即可.
10．（2019八下·鄞州期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程移项得： ，
开方得： ，
解得： ， ；
（2）解：方程移项得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察已知方程，有如下特点：将（x+1）看着整体，此方程缺（x+1）的一次项，因此利用直接开平方法解方程。
（2）观察已知方程，有如下特点：方程两边含有公因式（x+2），先整体移项，再将方程的右边分解因式，然后求出方程的解。
11．（2019八下·余姚期末）解下列各题:
（1）计算:
（2）解方程：（x+1）(x-1)=4x-1
【答案】（1）解：原式=2 -4
=-2
（2）解：化简得:x2-4x=0
解得:x1=0，x2=4
【知识点】同类二次根式；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先化简成最简根式，再合并同类项即可；
（2）先把方程左式的乘积项展开，移项，合并同类项，再分解因式即可求解.
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