初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.8 圆内接正多边形
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
2．（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5 2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180° 108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
3．（2019·道真模拟）我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形.在我们目前所学知识的范围内，下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：取圆上一点为圆心，相同的长度为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；
在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；
由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形；
综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正七边形，
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图及圆的性质可以将圆分别进行三等分、四等分、六等分，但是无法进行七等分，据此进行判断即可.
4．（2019·无棣模拟）已知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴∠AOB=×360°=60°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°
作OG⊥AB于G,则OG=OA×sin∠BAO=2×=3
∴S△OAB=·AB·OG=×2×3=3
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×3=18.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角∠AOB，进而判定△OAB是等边三角形，得AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°，继而得高OG，从而得S△OAB，而S正六边形ABCDEF=6S△OAB。
二、填空题
5．（2020九上·温州期末）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，若O的半径为10，则 的长为 。
【答案】4π
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正五边形ABCDE，
∴
∴的长为.
故答案为：.
【分析】连接OA，OB，利用正多边形的性质可求出∠AOB的度数，再利用弧长公式进行计算即可。
6．（2019九上·宁波期中）在半径为r的圆中，圆内接正六边形的边长为 ．
【答案】r
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，
则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝r．
故答案为：r．
【分析】如图，连接OA，OB，根据圆内接正六边形的性质判定△AOB的形状即可得出结果.
7．（2019九上·沭阳期中）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是 .
【答案】6 ﹣π
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图
连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，
∵正六边形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=2，AC=BC=1
∴
∴6个月牙形的面积之和=3π-（22π-6× ×2× ）=6 -π，
故答案为：6 -π.
【分析】连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，利用正六边形的性质，易证△AOB是等边三角形，就可求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据6个月牙形的面积=半径为1的三个圆的面积-（半径为2的圆的面积-正六边形的面积），列式计算可求解。
8．（2019·黄浦模拟）正九边形的中心角等于 °．
【答案】40
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正九边形的中心角==40°。
故答案为：40。
【分析】正n边形的中心角=°。
三、解答题
9．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
四、作图题
10．（2017·莱西模拟）如图，在一块圆形铁板上剪出了一个最大的等边三角形ABC，请你画出原来的圆形铁板．
【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由△ABC为圆形铁板上剪出了一个最大的等边三角形ABC，故此点A、B、C均在圆上，则点A、B、C到圆心的距离相等，故此圆心在三角形三边垂直平分线上.
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.8 圆内接正多边形
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
2．（2019·湖州）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．70° C．72° D．144°
3．（2019·道真模拟）我们可以只用直尺和圆规作出圆的部分内接正多边形.在我们目前所学知识的范围内，下列圆的内接正多边形不可以用尺规作图作出的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正七边形
4．（2019·无棣模拟）已知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2020九上·温州期末）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，若O的半径为10，则 的长为 。
6．（2019九上·宁波期中）在半径为r的圆中，圆内接正六边形的边长为 ．
7．（2019九上·沭阳期中）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是 .
8．（2019·黄浦模拟）正九边形的中心角等于 °．
三、解答题
9．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
四、作图题
10．（2017·莱西模拟）如图，在一块圆形铁板上剪出了一个最大的等边三角形ABC，请你画出原来的圆形铁板．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C= (5 2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD== (180° 108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
3．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：取圆上一点为圆心，相同的长度为半径画弧，重复此种作法可得到圆的六等分点，据此可得圆的内接正六边形；
在以上所得六等分点中，间隔取点，首尾连接可得圆的内接正三角形；
由于圆的直径可以将圆二等分、两条互相垂直的直径可以将圆四等分，据此可作出圆的内接正四边形；
综上可知，不可以用尺规作图作出的是圆的内接正七边形，
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图及圆的性质可以将圆分别进行三等分、四等分、六等分，但是无法进行七等分，据此进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴∠AOB=×360°=60°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°
作OG⊥AB于G,则OG=OA×sin∠BAO=2×=3
∴S△OAB=·AB·OG=×2×3=3
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×3=18.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角∠AOB，进而判定△OAB是等边三角形，得AB=OA=OB=2 ∠BAO=60°，继而得高OG，从而得S△OAB，而S正六边形ABCDEF=6S△OAB。
5．【答案】4π
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正五边形ABCDE，
∴
∴的长为.
故答案为：.
【分析】连接OA，OB，利用正多边形的性质可求出∠AOB的度数，再利用弧长公式进行计算即可。
6．【答案】r
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，
则△AOB是等边三角形，所以AB＝OA＝r．
故答案为：r．
【分析】如图，连接OA，OB，根据圆内接正六边形的性质判定△AOB的形状即可得出结果.
7．【答案】6 ﹣π
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图
连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，
∵正六边形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=2，AC=BC=1
∴
∴6个月牙形的面积之和=3π-（22π-6× ×2× ）=6 -π，
故答案为：6 -π.
【分析】连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，利用正六边形的性质，易证△AOB是等边三角形，就可求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据6个月牙形的面积=半径为1的三个圆的面积-（半径为2的圆的面积-正六边形的面积），列式计算可求解。
8．【答案】40
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正九边形的中心角==40°。
故答案为：40。
【分析】正n边形的中心角=°。
9．【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
10．【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由△ABC为圆形铁板上剪出了一个最大的等边三角形ABC，故此点A、B、C均在圆上，则点A、B、C到圆心的距离相等，故此圆心在三角形三边垂直平分线上.
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