初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.7 切线长定理
一、单选题
1．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
2．（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
4．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，圆和四边形ABCD的四条边都相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，且∠APB=40°，下列结论不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
二、填空题
6．（2019九上·泰州月考）如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则△PDE的周长为 cm.
7．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．
8．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB=5，BC=7，CD=8，DE=9，EA=4，则 的值是 ．
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 .
10．（2018九上·卫辉期末）如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是 cm．
三、综合题
11．（切线长定理）如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
2．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵PA=3，
∴PB=3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，结合题意可得答案.
3．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
4．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：设，圆与四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∵AB切圆于点E ，BC切圆于点F，∴BE=BF，同理CF=CG，DG=DH，AG=AE，∴AE＋BE＋CG＋DG=AH＋DH＋BF＋CF，即AB＋DC=AD＋BC=26，∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋DA=52.
故答案为：52.
【分析】根据切线长定理得出BE=BF，同理CF=CG，DG=DH，AG=AE，根据等式的性质得出AE＋BE＋CG＋DG=AH＋DH＋BF＋CF，即AB＋DC=AD＋BC=26，根据四边形的周长计算方法得出答案。
5．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，∴∠AOP=180°－∠APO－∠OAP=70°.故A，B，D都是正确的只有C符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，进而根据角平分线的定义及垂直的定义得出∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，根据三角形的内角和即可得出答案。
6．【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，
∴PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE；
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋CD＋CE＝2PA＝16（cm）.
故答案为：16.
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换和线段的和差即可求出答案.
7．【答案】4
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2=PA PB，
即PA=9，
则AB=9﹣1=8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
【分析】利用切割线定理得出PC2=PA PB，利用等积式即可算出AB的长，进而得出答案。
8．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设AM=x，BM=y，
∵圆O内切于五边形ABCDE，
∴AM=AR，BM=BN，CN=CP，DP=DQ，EQ=ER，AR=AM，
∴BN=y，
∵AB=5，
∴x+y=5，
∵BC=7，
∴CN=CP=7﹣y，
∵CD=8，∴DQ=DP=y+1，
∵DE=9，
∴EQ=ER=8﹣y，
∵EA=4，
∴AR=AM=y﹣4，
∴y﹣4=x，
∴ ，
解得： ，
∴AM= ，MB= ，
∴ = = ；
故答案为：
【分析】设AM=x，BM=y，根据切线长定理得出AM=AR，BM=BN，CN=CP，DP=DQ，EQ=ER，AR=AM，进而得出x+y=5，①，y﹣4=x，②，解由①②组成的方程组，即可得出x，y的值，从而求出答案。
9．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB AP=5 3=2.
故答案为：2.
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，可证得AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长。
10．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图：连接OF，OE，OC，
∵AC与BC都是⊙O的切线，
∴∠1=∠2= ∠ACB= ×60°=30°，OE⊥BC，
∴在Rt△OCE中，tan∠1=tan30°="OE" /CE = ，
∵OE=1cm，
∴CE= cm．
【分析】连接OF，OE，OC，利用切线长定理求出∠1的度数，可证OE⊥BC，再在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长，然后求出CE的长。
11．【答案】（1）解：∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12
（2）解：连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD= （∠BOF+∠AOF）= ∠BOA=64°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，于是得到DE=DA+EB，即可得到结论；（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，即可得到结论．
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一、单选题
1．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图：
由切线长定理得，BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，
∴BD+CP=BG+CG=5，
∴AD+AP=18 10=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MD+AN+NP=AD+AP=8.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得到BD=BG，CP=CG，MH=MD，NH=NP，根据三角形的周长公式计算．
2．（2019·杭州）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵PA=3，
∴PB=3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，结合题意可得答案.
3．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】A、注意真命题是正确的命题．A错在对角线还应互相平分，故A不符合题意.
B、B错在等腰梯形不是中心对称图形，故B不符合题意.
C、圆的切线垂直于经过切点的半径，故C符合题意.
D、D错在结论应是互相平行，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
4．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，圆和四边形ABCD的四条边都相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：设，圆与四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∵AB切圆于点E ，BC切圆于点F，∴BE=BF，同理CF=CG，DG=DH，AG=AE，∴AE＋BE＋CG＋DG=AH＋DH＋BF＋CF，即AB＋DC=AD＋BC=26，∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋DA=52.
故答案为：52.
【分析】根据切线长定理得出BE=BF，同理CF=CG，DG=DH，AG=AE，根据等式的性质得出AE＋BE＋CG＋DG=AH＋DH＋BF＋CF，即AB＋DC=AD＋BC=26，根据四边形的周长计算方法得出答案。
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习）如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，且∠APB=40°，下列结论不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，∴∠AOP=180°－∠APO－∠OAP=70°.故A，B，D都是正确的只有C符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，进而根据角平分线的定义及垂直的定义得出∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，根据三角形的内角和即可得出答案。
二、填空题
6．（2019九上·泰州月考）如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则△PDE的周长为 cm.
【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，
∴PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE；
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋CD＋CE＝2PA＝16（cm）.
故答案为：16.
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换和线段的和差即可求出答案.
7．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．
【答案】4
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2=PA PB，
即PA=9，
则AB=9﹣1=8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
【分析】利用切割线定理得出PC2=PA PB，利用等积式即可算出AB的长，进而得出答案。
8．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷A）如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB=5，BC=7，CD=8，DE=9，EA=4，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设AM=x，BM=y，
∵圆O内切于五边形ABCDE，
∴AM=AR，BM=BN，CN=CP，DP=DQ，EQ=ER，AR=AM，
∴BN=y，
∵AB=5，
∴x+y=5，
∵BC=7，
∴CN=CP=7﹣y，
∵CD=8，∴DQ=DP=y+1，
∵DE=9，
∴EQ=ER=8﹣y，
∵EA=4，
∴AR=AM=y﹣4，
∴y﹣4=x，
∴ ，
解得： ，
∴AM= ，MB= ，
∴ = = ；
故答案为：
【分析】设AM=x，BM=y，根据切线长定理得出AM=AR，BM=BN，CN=CP，DP=DQ，EQ=ER，AR=AM，进而得出x+y=5，①，y﹣4=x，②，解由①②组成的方程组，即可得出x，y的值，从而求出答案。
9．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 同步训练）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 .
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB AP=5 3=2.
故答案为：2.
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，可证得AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长。
10．（2018九上·卫辉期末）如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是 cm．
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图：连接OF，OE，OC，
∵AC与BC都是⊙O的切线，
∴∠1=∠2= ∠ACB= ×60°=30°，OE⊥BC，
∴在Rt△OCE中，tan∠1=tan30°="OE" /CE = ，
∵OE=1cm，
∴CE= cm．
【分析】连接OF，OE，OC，利用切线长定理求出∠1的度数，可证OE⊥BC，再在Rt△OCE中，利用解直角三角形求出OE的长，然后求出CE的长。
三、综合题
11．（切线长定理）如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【答案】（1）解：∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12
（2）解：连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD= （∠BOF+∠AOF）= ∠BOA=64°．
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，于是得到DE=DA+EB，即可得到结论；（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD= ∠BOF，∠FOD=∠AOD= ∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，即可得到结论．
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