初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例
一、单选题
1．（2019九上·朝阳期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
2．（2019九上·长春月考）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（ ）
A．32m B．36m C．48m D．56m
3．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
A． B． C．11m D．
4．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2019·白山模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.
6．（2019·宁江模拟）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为 米.
三、解答题
7．（2019·西安模拟）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
四、综合题
8．（2019·台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
9．（2019·长春模拟）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
（1）已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：
（2）请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。
要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。
10．（2019·秀洲模拟）有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设竹竿长为x尺。由题意得：
解得x=45
即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴DE=48m，
故答案为：C．
【分析】先根据AB∥DE证得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形对应边成比例得，即，故可求出DE.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
5．【答案】6.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知： ，
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6．【答案】10
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，
∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，
由题意可得：，
∴AE=8（米），
∴AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：10.
【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长.
7．【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
8．【答案】（1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：在CD上截取DH=AF，
∵AF=DH，∠PAF=∠D=90°，AP=FD，
∴△PAF≌△FDH ( SAS )
∴PF=FH，
∴AD=CD，AF=DH
∴FD=CH=AP=-1
∵点E是AB中点，
∴BE=AE=1= EM
∴PE=PA+AE=
∴C2=BE2+BC2=1+4=5，
∴EC=
∴EC=PE，CM=-1
∴∠P=∠ECP
∴AP∥ CD
∴∠P=∠PCD
∴∠ECP=∠PCD，且CM=CH=-1， CF=CF
∴△FCM≌△FCH ( SAS )
∴FM=FH
∴FM=PF
（3）解：点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上，理由如下，
若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB， AE= BE
∴AQ=BQ=AP=-1
由旋转的性质可得AQ=AQ'=-1，AB=AB'=2，Q'B'=QB=-1，
∵点B (0，-2)，点N (2，-1 )
∴直线BN解析式为y=x-2
设点B’(x，x-2)
∴AB'=，
∴x=，
∴点B'（，），
∵点Q'（，0）
∴B'Q'=，
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.
（2）在CD上截取DH=AF，由"SAS”可证△PAF≌△HDF，可得PF=FH，由勾股定理可求CE=EP=，可得CM=CH=-1，由“SAS"可证△FCM≌△FCH，可得FM=FH=PF ；
（3）以A原点， AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求BN解析式，即可求B'坐标，计算B'Q'的长度，即可判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上.
9．【答案】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ ，∴CD= =8.
D= 1.8答；该古城墙的高度为8m
（2）解：答案不唯一，如：如圈，
在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，过点D作DCLAB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα= ，∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据入射角等于反射角可得
∠APB=∠CPD ，由
AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长。（2）设计成视角问题求古城墙的高度。
10．【答案】（1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ，
∴
∴AR=AD-RD=80-2x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴EH=5x=75cm；
（2） 解：设PQ=y，则PM=y，
∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y
∵PQ∥EH，
∴△APQ∽△AEH，
∴ ，
∴ ，
即PQ=30，
由题意知：PQ是△AEH的中位线，
∴PQ=EH=37.5 ，
∵30≠37.5
∴ 小聪的剪法不正确．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案；
（2）设PQ=y，则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。
1 / 1初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例
一、单选题
1．（2019九上·朝阳期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设竹竿长为x尺。由题意得：
解得x=45
即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
2．（2019九上·长春月考）如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（ ）
A．32m B．36m C．48m D．56m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴DE=48m，
故答案为：C．
【分析】先根据AB∥DE证得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形对应边成比例得，即，故可求出DE.
3．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
A． B． C．11m D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
4．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
二、填空题
5．（2019·白山模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.
【答案】6.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知： ，
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6．（2019·宁江模拟）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上的影长BD=9.6米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度AB为 米.
【答案】10
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，
∴CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，
由题意可得：，
∴AE=8（米），
∴AB=AE+BE=8+2=10（米）.
故答案为：10.
【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形BDCE为矩形，利用矩形的对边相等，可得CE=CE=9.6米，BE=CD=2米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”，可得，从而求出AE的长，继而求出AB的长.
三、解答题
7．（2019·西安模拟）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
四、综合题
8．（2019·台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
【答案】（1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：在CD上截取DH=AF，
∵AF=DH，∠PAF=∠D=90°，AP=FD，
∴△PAF≌△FDH ( SAS )
∴PF=FH，
∴AD=CD，AF=DH
∴FD=CH=AP=-1
∵点E是AB中点，
∴BE=AE=1= EM
∴PE=PA+AE=
∴C2=BE2+BC2=1+4=5，
∴EC=
∴EC=PE，CM=-1
∴∠P=∠ECP
∴AP∥ CD
∴∠P=∠PCD
∴∠ECP=∠PCD，且CM=CH=-1， CF=CF
∴△FCM≌△FCH ( SAS )
∴FM=FH
∴FM=PF
（3）解：点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上，理由如下，
若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB， AE= BE
∴AQ=BQ=AP=-1
由旋转的性质可得AQ=AQ'=-1，AB=AB'=2，Q'B'=QB=-1，
∵点B (0，-2)，点N (2，-1 )
∴直线BN解析式为y=x-2
设点B’(x，x-2)
∴AB'=，
∴x=，
∴点B'（，），
∵点Q'（，0）
∴B'Q'=，
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.
（2）在CD上截取DH=AF，由"SAS”可证△PAF≌△HDF，可得PF=FH，由勾股定理可求CE=EP=，可得CM=CH=-1，由“SAS"可证△FCM≌△FCH，可得FM=FH=PF ；
（3）以A原点， AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求BN解析式，即可求B'坐标，计算B'Q'的长度，即可判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上.
9．（2019·长春模拟）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
（1）已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：
（2）请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。
要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。
【答案】（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ ，∴CD= =8.
D= 1.8答；该古城墙的高度为8m
（2）解：答案不唯一，如：如圈，
在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，过点D作DCLAB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα= ，∴AC=α tanα，∴AB=AC+BC=αtanα+h
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据入射角等于反射角可得
∠APB=∠CPD ，由
AB⊥BD、CD⊥BD 可得到 ∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长。（2）设计成视角问题求古城墙的高度。
10．（2019·秀洲模拟）有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
【答案】（1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ，
∴
∴AR=AD-RD=80-2x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴EH=5x=75cm；
（2） 解：设PQ=y，则PM=y，
∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y
∵PQ∥EH，
∴△APQ∽△AEH，
∴ ，
∴ ，
即PQ=30，
由题意知：PQ是△AEH的中位线，
∴PQ=EH=37.5 ，
∵30≠37.5
∴ 小聪的剪法不正确．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案；
（2）设PQ=y，则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。
1 / 1
