初中数学北师大版九年级上学期 第六章 6.2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1．（2019九上·利辛月考）若反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k< B．k> C．k>2 D．k<2
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限
∴1-2k＜0
解，得 k＞
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象所在的象限确定出比例系数k的取值范围，列出不等式，解之即可。
2．（2019九上·萧山开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y 上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设点D（m， ），
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
又AD=CD，∠DHA=∠CGD=90°，
∴△DHA≌△CGD（AAS），
∴HA=DG，DH=CG，
同理△ANB≌△DGC（AAS），
∴AN=DG=1=AH，则点G（m， -1），CG=DH，
AH=-1-m=1，解得：m=-2，
故点G（-2，-4），D（-2，-3），H（-2，1），
则点E（- ，-4），GE= ，
CE=CG-GE=DH-GE=4- =3.5，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点设点D（m， ），如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据同角的余角相等得出∠HDA=∠GCD，从而利用AAS判断出△DHA≌△CGD，根据全等三角形的性质得出HA=DG，DH=CG，同理△ANB≌△DGC，推出AN=DG=1=AH，故G（m， -1），CG=DH，从而列出方程，求解算出m的值得出G,D,H三点的坐标，进而得出点E的坐标，根据两点间的距离公式得出GE的长，最后根据CE=CG-GE=DH-GE即可算出答案。
3．（2019九上·萧山开学考）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A，C两点． 轴于点B， 轴于点D，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解: 由题意得A、C关于原点对称，则OA=OC，
∠AOB=∠COD，
∠CDO=∠ABO=90°，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OD=OB，
∴S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC=，
∴ 四边形 的面积为：4× =2，
故答案为：C .
【分析】因为A、C在y=x图象上，利用A、C关于原点对称，得出OA=OC，再利用角角边定理证明△AOB≌△COD，得出对应边OB和OD相等，则根据等高同底得出△AOB、△AOD、△COD和△BOC的面积相等，因为△AOB的面积是定值，则四边形 的面积可求.
4．（2019九上·萧山开学考）反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 的图象经过一、三象限，当x>0时，y>0，当x<0，y<0，
∵x3>0， ∴y3>0为最大，
在第三象限内y随x增大而减小，∵x1y2，
综上可得y2故答案为：A.
【分析】反比例函数，k>0时，图象经过一、三象限，但在第一象限内，纵坐标大于0，在第三象限内，纵坐标小于0，在一、三象限，y都随x的增大而减小，据此分步比较y值大小即知答案.
5．（2019九上·温州开学考）如图，已知A，B为反比例函数y1= 图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2= （k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且 = 时，k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F. 连接OC.
∵A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO=∠COA=∠AEO=90 ，
∵∠COF+∠AOE=90 ,∠AOE+∠EAO=90 ，
∴∠COF=∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴
∵CA:AB=5:8，AO=OB，
∴CA:OA=5:4，
∴CO:OA=3:4，
∴=,∵S△AOE=2，
∴S△COF=，
∴
∵k<0，
∴k= .
故答案为：A。
【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F. 连接OC，根据等腰三角形的三线合一得出OC⊥AB，根据同角的余角相等得出∠COF=∠OAE，然后判断出△CFO∽△OEA，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出根据比例式即可求出三角形COF的面积，进而根据反比例函数k的几何意义及图象所在的象限即可求出k的值。
6．（2019九上·苏州开学考）若点A(–2， )、B( –1， )、C(1， )都在反比例函数 ( 为常数)的图像上，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据 ，可得反比例函数的图象在第一、三象限
因此在x的范围内，随着x的增大，y在减小
因为A、B两点的横坐标都小于0，C点的横坐标大于0
因此可得
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象、系数与性质的关系可知：当比例系数 时，反比例函数的图象在第一、三象限，而且在每一个象限内随着x的增大，y在减小，进而即可根据A,B,C三点所在的象限点的坐标特点及反比例函数的性质判断得出答案。
7．（2019·台州）已知某函数的图象C与函数y= 的图象关于直线y=2对称下列命题：①图象C与函数y= 的象交于点（ ，2）；②（ ，-2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1>x2，则y1-y2，其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图像C与反比例函数y= 关于y=2对称可得如下图，
①当x= 时，y=2，故①正确；
②当x= 时，y1=6，即（ ，6）关于y=2时的对称点为（ ，-2），故②正确；
③如图：y= 与y=2之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；
④当x＞0时，x1＞x2，则y1＞y2；当x＜0时，x1＞x2，则y1＞y2；
∵不管x＞0还是x＜0时，图像都是增函数，
∴x1＞x2时则y1＞y2；故④错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出图形，①将x= 代入y= 得y=2，从而可判断①正确；
②令x= 时，y1=6，即（ ，6）关于y=2时的对称点为（ ，-2），从而可判断②正确；
③根据图形分析可得C右侧图与x轴间距离小于4，但y轴左侧与x轴距离大于4，从而可判断③错误；
④由图像可知不管x＞0还是x＜0时，图像都是增函数，从而可判断④错误.
8．（2019八下·扬州期末）如图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=kx+3与反比例函数 的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，有y=kx+3过一、二、三象限，反比例函数 的过一、三象限，A不符合题意；
由函数y=kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y=kx+3过一、二、四象限，反比例函数 的过一、三象限，排除D。
故答案为：A。
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由常数项b=3＞0得出该一次函数的图象一定交y轴的正半轴；然后根据k＞0，一次函数与反比例函数的图象一定过一、三象限；k＜0一次函数与反比例函数的图象一定过二、四象限，即可一一判断得出答案。
9．（2019八下·扬州期末）若反比例函数 的图象在第二,四象限,则m的值是（ ）
A． 1或1 B．小于12的任意实数
C． 1 D．不能确定
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
解之得m=±1.
又因为图象在第二，四象限，
所以2m-1＜0，
解得m＜ ，即m的值是-1。
故答案为：C。
【分析】根据反比例函数的定义可知自变量的指数应该为-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由 图象在第二,四象限得出比例系数应该小于0，从而列出混合组，求解即可。
二、填空题
10．（2019九上·萧山开学考）已知反比例函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】x≤-2或x≥6
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得x≠0，
当x>0时，
则x≥6,
当x<0时，
则x≤-2.
故答案为：x≤-2或x≥6.
【分析】x分三种情况讨论，当x=0时，函数不成立，当x>0时和当x<0时，分别求出x的范围，最后总结确定x的范围即可.
11．（2019九上·萧山开学考）设点A（x1，y1），B(x2，y2)位于函数 . 的图像上，当x1 >x2>0必有0”，“<”，“=”中的一个填写)
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 点A（x1，y1），B(x2，y2)位于函数 的图像上，当x1 >x2>0必有0∴y随x的增大而减小，
∴k＞0
故答案为：＞
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，由已知当x1 >x2>0必有0三、综合题
12．（2019八下·莲都期末）小明在学习反比例函数后，为研究新函数 ，先将函数变形为 ，画图发现函数 的图象可以由函数 的图象向上平移1个单位得到.
（1）根据小明的发现，请你写出函数 的图象可以由反比例函数 的图象经过怎样的平移得到；
（2）在平面直角坐标系中，已知反比例函数 (x＞0)的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数 (x＞0)的图象；
（3）若直线y=－x＋b与函数 (x＞0)的图象没有交点，求b的取值范围.
【答案】（1）解：函数 的图象可以由反比例函数 的图象向下平移1个单位得到。
（2）解：函数 的图象如图所示.
（3）解：当直线y=－x＋b与函数 (x＞0)
的图象有一个交点时，
整理，得 .
由 ，解得 ，
∴ ，满足题意.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由于 可以变形为，根据题干提供的信息，即可得出结论；
（2）根据平移的方法即可画出函数图象；
（3）联立两函数的解析式得出方程 整理，得 ，由两函数只有一个交点的时候，其根的判别式的值为0，从而求出b的界点值，进而根据没有交点即可求出b的取值范围。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第六章 6.2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1．（2019九上·利辛月考）若反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k< B．k> C．k>2 D．k<2
2．（2019九上·萧山开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y 上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．（2019九上·萧山开学考）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A，C两点． 轴于点B， 轴于点D，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2019九上·萧山开学考）反比例函数 图象上有三个点 ， ， ，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·温州开学考）如图，已知A，B为反比例函数y1= 图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2= （k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且 = 时，k的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019九上·苏州开学考）若点A(–2， )、B( –1， )、C(1， )都在反比例函数 ( 为常数)的图像上，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·台州）已知某函数的图象C与函数y= 的图象关于直线y=2对称下列命题：①图象C与函数y= 的象交于点（ ，2）；②（ ，-2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1>x2，则y1-y2，其中真命题是（ ）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
8．（2019八下·扬州期末）如图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=kx+3与反比例函数 的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019八下·扬州期末）若反比例函数 的图象在第二,四象限,则m的值是（ ）
A． 1或1 B．小于12的任意实数
C． 1 D．不能确定
二、填空题
10．（2019九上·萧山开学考）已知反比例函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 ．
11．（2019九上·萧山开学考）设点A（x1，y1），B(x2，y2)位于函数 . 的图像上，当x1 >x2>0必有0”，“<”，“=”中的一个填写)
三、综合题
12．（2019八下·莲都期末）小明在学习反比例函数后，为研究新函数 ，先将函数变形为 ，画图发现函数 的图象可以由函数 的图象向上平移1个单位得到.
（1）根据小明的发现，请你写出函数 的图象可以由反比例函数 的图象经过怎样的平移得到；
（2）在平面直角坐标系中，已知反比例函数 (x＞0)的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数 (x＞0)的图象；
（3）若直线y=－x＋b与函数 (x＞0)的图象没有交点，求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限
∴1-2k＜0
解，得 k＞
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象所在的象限确定出比例系数k的取值范围，列出不等式，解之即可。
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设点D（m， ），
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，
∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，
∴∠HDA=∠GCD，
又AD=CD，∠DHA=∠CGD=90°，
∴△DHA≌△CGD（AAS），
∴HA=DG，DH=CG，
同理△ANB≌△DGC（AAS），
∴AN=DG=1=AH，则点G（m， -1），CG=DH，
AH=-1-m=1，解得：m=-2，
故点G（-2，-4），D（-2，-3），H（-2，1），
则点E（- ，-4），GE= ，
CE=CG-GE=DH-GE=4- =3.5，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特点设点D（m， ），如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据同角的余角相等得出∠HDA=∠GCD，从而利用AAS判断出△DHA≌△CGD，根据全等三角形的性质得出HA=DG，DH=CG，同理△ANB≌△DGC，推出AN=DG=1=AH，故G（m， -1），CG=DH，从而列出方程，求解算出m的值得出G,D,H三点的坐标，进而得出点E的坐标，根据两点间的距离公式得出GE的长，最后根据CE=CG-GE=DH-GE即可算出答案。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解: 由题意得A、C关于原点对称，则OA=OC，
∠AOB=∠COD，
∠CDO=∠ABO=90°，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OD=OB，
∴S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC=，
∴ 四边形 的面积为：4× =2，
故答案为：C .
【分析】因为A、C在y=x图象上，利用A、C关于原点对称，得出OA=OC，再利用角角边定理证明△AOB≌△COD，得出对应边OB和OD相等，则根据等高同底得出△AOB、△AOD、△COD和△BOC的面积相等，因为△AOB的面积是定值，则四边形 的面积可求.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 的图象经过一、三象限，当x>0时，y>0，当x<0，y<0，
∵x3>0， ∴y3>0为最大，
在第三象限内y随x增大而减小，∵x1y2，
综上可得y2故答案为：A.
【分析】反比例函数，k>0时，图象经过一、三象限，但在第一象限内，纵坐标大于0，在第三象限内，纵坐标小于0，在一、三象限，y都随x的增大而减小，据此分步比较y值大小即知答案.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F. 连接OC.
∵A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∴∠CFO=∠COA=∠AEO=90 ，
∵∠COF+∠AOE=90 ,∠AOE+∠EAO=90 ，
∴∠COF=∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴
∵CA:AB=5:8，AO=OB，
∴CA:OA=5:4，
∴CO:OA=3:4，
∴=,∵S△AOE=2，
∴S△COF=，
∴
∵k<0，
∴k= .
故答案为：A。
【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F. 连接OC，根据等腰三角形的三线合一得出OC⊥AB，根据同角的余角相等得出∠COF=∠OAE，然后判断出△CFO∽△OEA，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出根据比例式即可求出三角形COF的面积，进而根据反比例函数k的几何意义及图象所在的象限即可求出k的值。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据 ，可得反比例函数的图象在第一、三象限
因此在x的范围内，随着x的增大，y在减小
因为A、B两点的横坐标都小于0，C点的横坐标大于0
因此可得
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象、系数与性质的关系可知：当比例系数 时，反比例函数的图象在第一、三象限，而且在每一个象限内随着x的增大，y在减小，进而即可根据A,B,C三点所在的象限点的坐标特点及反比例函数的性质判断得出答案。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图像C与反比例函数y= 关于y=2对称可得如下图，
①当x= 时，y=2，故①正确；
②当x= 时，y1=6，即（ ，6）关于y=2时的对称点为（ ，-2），故②正确；
③如图：y= 与y=2之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；
④当x＞0时，x1＞x2，则y1＞y2；当x＜0时，x1＞x2，则y1＞y2；
∵不管x＞0还是x＜0时，图像都是增函数，
∴x1＞x2时则y1＞y2；故④错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出图形，①将x= 代入y= 得y=2，从而可判断①正确；
②令x= 时，y1=6，即（ ，6）关于y=2时的对称点为（ ，-2），从而可判断②正确；
③根据图形分析可得C右侧图与x轴间距离小于4，但y轴左侧与x轴距离大于4，从而可判断③错误；
④由图像可知不管x＞0还是x＜0时，图像都是增函数，从而可判断④错误.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，有y=kx+3过一、二、三象限，反比例函数 的过一、三象限，A不符合题意；
由函数y=kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y=kx+3过一、二、四象限，反比例函数 的过一、三象限，排除D。
故答案为：A。
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由常数项b=3＞0得出该一次函数的图象一定交y轴的正半轴；然后根据k＞0，一次函数与反比例函数的图象一定过一、三象限；k＜0一次函数与反比例函数的图象一定过二、四象限，即可一一判断得出答案。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
解之得m=±1.
又因为图象在第二，四象限，
所以2m-1＜0，
解得m＜ ，即m的值是-1。
故答案为：C。
【分析】根据反比例函数的定义可知自变量的指数应该为-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由 图象在第二,四象限得出比例系数应该小于0，从而列出混合组，求解即可。
10．【答案】x≤-2或x≥6
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得x≠0，
当x>0时，
则x≥6,
当x<0时，
则x≤-2.
故答案为：x≤-2或x≥6.
【分析】x分三种情况讨论，当x=0时，函数不成立，当x>0时和当x<0时，分别求出x的范围，最后总结确定x的范围即可.
11．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 点A（x1，y1），B(x2，y2)位于函数 的图像上，当x1 >x2>0必有0∴y随x的增大而减小，
∴k＞0
故答案为：＞
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，由已知当x1 >x2>0必有012．【答案】（1）解：函数 的图象可以由反比例函数 的图象向下平移1个单位得到。
（2）解：函数 的图象如图所示.
（3）解：当直线y=－x＋b与函数 (x＞0)
的图象有一个交点时，
整理，得 .
由 ，解得 ，
∴ ，满足题意.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由于 可以变形为，根据题干提供的信息，即可得出结论；
（2）根据平移的方法即可画出函数图象；
（3）联立两函数的解析式得出方程 整理，得 ，由两函数只有一个交点的时候，其根的判别式的值为0，从而求出b的界点值，进而根据没有交点即可求出b的取值范围。
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