初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.5 三角形内角和定理
一、单选题
1．（2019八上·诸暨月考）在 ABC中， A： B： C=2：3：5，则 ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的最大角为：180°×=90°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理，结合比例的关系，求出最大角，即可确定三角形的形状。
2．（2019八上·获嘉月考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和，由∠C=180°-∠A-∠B即可算出答案。
3．（2019七下·郑州期末）如图，一把直尺的边缘AB 经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，交斜边CD 于点A，直尺的边缘EF 分别交CD、BD 于点E、F，若∠D=60°，∠ABC=20°，则∠1 的度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝=90°-20°=70°，
∵EF∥AB，
∴∠DFE＝∠ABD＝70°，
∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝50°，
∴∠1＝∠DEF＝50°，
故答案为：C.
【分析】根据角的和差算出∠ABD的度数，根据二直线平行，同位角相等得出∠DFE＝∠ABD＝70°，根据三角形的内角和算出∠DEF的度数，最后根据对顶角相等算出∠1的度数。
4．（2019·绍兴）如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2=∠3=100°，∠1=70°
∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。
二、填空题
5．（2019八上·恩施期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数： .
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠AFC=180°，
又∵∠EFD=∠AFC，
∴∠E+∠D=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠FAB+∠B+∠FCB+∠1+∠2
=∠BAC+∠B+∠ACB
=180゜.
故答案是：180°.
【分析】连接AC，如图所示：根据三角形的内角和定理、对顶角相等及等式的性质得出∠E+∠D=∠1+∠2，从而根据角的和差及等量代换、三角形的内角和定理即可算出答案.
6．（2019八上·惠东月考）已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是 三角形.
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个角的度数分别为2x，3x，5x
∴2x+3x+5x=180°
∴10x=180°
x=18°
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°
∴△ABC为直角三角形。
【分析】根据三角形三边的度数的比，根据三角形的内角度数和求出答案即可。
7．（2019八下·东莞期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在C'的位置上，若∠BFE＝67°，则∠ABE的度数为 ．
【答案】44°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝67°；
又∵∠BEF＝∠DEF＝67°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣46°＝44°，
故答案为44°．
【分析】根据直线平行的性质，即可得到∠DEF的数值，根据三角形的内角和定理求出答案即可。
8．（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是 ．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，
依题可得：∠AOC=50°，
∴∠OAC=40°，
即观察楼顶的仰角度数为40°.
故答案为：40°.
【分析】根据题意可得∠AOC=50°，由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC即为观察楼顶的仰角度数.
三、解答题
9．（2019八上·恩施期中）如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B=65°，∠MDN=135°，求：∠AMB的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠A=180°﹣∠MDN=45°， 从而根据三角形的内角和定理，由 ∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B 即可算出答案.
10．（2019八上·昭阳开学考）如图，在△ABC中，∠A=70°,外角平分线CE∥AB.求∠B和∠ACB的度数.
【答案】 解：∵ CE∥AB ，
∴∠DCE=∠CAB=70°，
∴∠DCB=140°，
∴∠ACB=180°-∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-40°-70°=70°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由CE∥AB，利用平行线的性质求得∠DCE的度数，再由CE平分∠DCB，求得∠DCB的度数，利用邻补角的性质即可求出∠ACB的度数，最后利用三角形的内角和定理即可求出∠B的度数。
四、综合题
11．（2019八上·惠东月考）如图，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°
（1）求∠A的度数
（2）求∠D的度数
【答案】（1）∵∠AOC=95°
∴∠AOB=180°-95°=85°
∴∠A=180°-∠AOB-∠B=180°-85°-50°=45°
（2）∵AB∥CD
∴∠A=∠D=45°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据平角的性质计算得到∠AOB的度数，在三角形AOB中，根据三角形的内角和定理即可得到∠A的度数。
（2）根据两直线平行，内错角相等即可计算得到∠D的度数。
12．（2019八上·台州开学考）下列语句中，正确的是（ ）
A．三角形的外角大于任何一个内角
B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意；
B、三角形的一个外角等于这个三角形的不相邻两个内角之和，不符合题意；
CD、 因为三角形的内角至少有两个是锐角，则三个外角中，至少有两个钝角，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的一个外角等于这个三角形的不相邻两个内角之和，则三角形的外角大于任何一个不相邻的内角； 因为三角形的内角至少有两个是锐角，则三个外角中，至少有两个钝角；据此分析判断即知答案。
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一、单选题
1．（2019八上·诸暨月考）在 ABC中， A： B： C=2：3：5，则 ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2．（2019八上·获嘉月考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2019七下·郑州期末）如图，一把直尺的边缘AB 经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，交斜边CD 于点A，直尺的边缘EF 分别交CD、BD 于点E、F，若∠D=60°，∠ABC=20°，则∠1 的度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
4．（2019·绍兴）如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
二、填空题
5．（2019八上·恩施期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数： .
6．（2019八上·惠东月考）已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是 三角形.
7．（2019八下·东莞期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在C'的位置上，若∠BFE＝67°，则∠ABE的度数为 ．
8．（2019·金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是 ．
三、解答题
9．（2019八上·恩施期中）如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B=65°，∠MDN=135°，求：∠AMB的度数.
10．（2019八上·昭阳开学考）如图，在△ABC中，∠A=70°,外角平分线CE∥AB.求∠B和∠ACB的度数.
四、综合题
11．（2019八上·惠东月考）如图，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°
（1）求∠A的度数
（2）求∠D的度数
12．（2019八上·台州开学考）下列语句中，正确的是（ ）
A．三角形的外角大于任何一个内角
B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的最大角为：180°×=90°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理，结合比例的关系，求出最大角，即可确定三角形的形状。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和，由∠C=180°-∠A-∠B即可算出答案。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝=90°-20°=70°，
∵EF∥AB，
∴∠DFE＝∠ABD＝70°，
∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝50°，
∴∠1＝∠DEF＝50°，
故答案为：C.
【分析】根据角的和差算出∠ABD的度数，根据二直线平行，同位角相等得出∠DFE＝∠ABD＝70°，根据三角形的内角和算出∠DEF的度数，最后根据对顶角相等算出∠1的度数。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2=∠3=100°，∠1=70°
∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。
5．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠AFC=180°，
又∵∠EFD=∠AFC，
∴∠E+∠D=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠FAB+∠B+∠FCB+∠1+∠2
=∠BAC+∠B+∠ACB
=180゜.
故答案是：180°.
【分析】连接AC，如图所示：根据三角形的内角和定理、对顶角相等及等式的性质得出∠E+∠D=∠1+∠2，从而根据角的和差及等量代换、三角形的内角和定理即可算出答案.
6．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设三角形三个角的度数分别为2x，3x，5x
∴2x+3x+5x=180°
∴10x=180°
x=18°
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°
∴△ABC为直角三角形。
【分析】根据三角形三边的度数的比，根据三角形的内角度数和求出答案即可。
7．【答案】44°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝67°；
又∵∠BEF＝∠DEF＝67°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣67°﹣67°＝46°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣46°＝44°，
故答案为44°．
【分析】根据直线平行的性质，即可得到∠DEF的数值，根据三角形的内角和定理求出答案即可。
8．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，
依题可得：∠AOC=50°，
∴∠OAC=40°，
即观察楼顶的仰角度数为40°.
故答案为：40°.
【分析】根据题意可得∠AOC=50°，由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC即为观察楼顶的仰角度数.
9．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据二直线平行同旁内角互补得出 ∠A=180°﹣∠MDN=45°， 从而根据三角形的内角和定理，由 ∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B 即可算出答案.
10．【答案】 解：∵ CE∥AB ，
∴∠DCE=∠CAB=70°，
∴∠DCB=140°，
∴∠ACB=180°-∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-40°-70°=70°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】由CE∥AB，利用平行线的性质求得∠DCE的度数，再由CE平分∠DCB，求得∠DCB的度数，利用邻补角的性质即可求出∠ACB的度数，最后利用三角形的内角和定理即可求出∠B的度数。
11．【答案】（1）∵∠AOC=95°
∴∠AOB=180°-95°=85°
∴∠A=180°-∠AOB-∠B=180°-85°-50°=45°
（2）∵AB∥CD
∴∠A=∠D=45°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据平角的性质计算得到∠AOB的度数，在三角形AOB中，根据三角形的内角和定理即可得到∠A的度数。
（2）根据两直线平行，内错角相等即可计算得到∠D的度数。
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，不符合题意；
B、三角形的一个外角等于这个三角形的不相邻两个内角之和，不符合题意；
CD、 因为三角形的内角至少有两个是锐角，则三个外角中，至少有两个钝角，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的一个外角等于这个三角形的不相邻两个内角之和，则三角形的外角大于任何一个不相邻的内角； 因为三角形的内角至少有两个是锐角，则三个外角中，至少有两个钝角；据此分析判断即知答案。
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