初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．（2019八下·封开期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1， ，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，∴选项不符合题意；
B.，∴选项不符合题意；
C.，∴选项符合题意；
D.，∴选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】分别根据勾股定理的逆定理进行判断即可。
2．（2019八上·兰州期末）已知以下三个数， 不能组成直角三角形的是 （ ）
A．9、12、15 B． 、3、2
C．0.3、0.4、0.5； D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意；
B、（ ）2+32=（2 ）2，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理反证三角形是直角三角形。勾股定理内容：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；所以，反过来，若存在两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。
3．（2019八下·蔡甸月考）a、b、c为△ABC三边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A-∠B B．a:b:c = 1 : :
C．∠A∶∠B∶∠C＝5∶4∶3 D． ，
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B
∵∠C=∠A-∠B
∴∠A=90°
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵12+（ ）2=22，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=5:4:3，
∴设∠A=5x，∠B=4x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x=15°
∠A=75°，∠B=60°，∠C=45°
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵b2=a2-c2，
∴a2=b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理分别判断即可.
4．（2019八下·郾城期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有 、 、 、 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
则 ,
因为
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH。
故答案为：D。
【分析】利用方格纸的特点，由勾股定理分别算出 2、 2、 2 、 2，通过观察即可得出，然后利用勾股定理的逆定理判断出AB、EF、GH三条线段能围城直角三角形。
二、填空题
5．（2019八下·江北期中）如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= .
【答案】18
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，
∴∠I=∠DFE=90°，
∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，
∴∠AEI=∠DEF，
∵AE=DE，
∴△AEI≌△DEF(AAS)，
∴AI=DF，
∵EH=EF，
∴S△AHE=S△DEF，
同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，
∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，
∴DE2=DF2+EF2,
∴△DEF是Rt三角形，且∠DFE=90°，
∴S△DEF= ×3×4=6，
∴S1+S2+S3=18.
故答案为：18.
【分析】过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，根据同角的余角相等得出∠AEI=∠DEF，利用AAS判断出△AEI≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等得出AI=DF，根据等底等到的三角形的面积相等得出S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，从而用S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF即可算出答案。
6．（2018八上·徐州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1cm，△ABC为格点三角形．
（1）△ABC的面积= cm2；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）5
（2）解：∵AB2=22+12=5，BC2=42+22=20，AC2=42+32=25，
∵25=5+20，
即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）△ABC的面积=4× cm2；
【分析】可用填充法看成将三角形放在一个边长为4的正方形内，所以正方形由△ABC和3个直角三角形组成。
（1）△ABC的面积=正方形的面积-三个直角三角形的面积；
（2）根据勾股定理可分别得3个直角三角形斜边的平方为5、20、25，也是△ABC三条边的平方，25=5+20符合三角形的勾股定理，即可判断三角形为直角三角形。
三、解答题
7．（2018八上·泗阳期中）在△ABC中， ，试判断△ABC的形状，并说明理由。
【答案】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】分别求出AB2+BC2和AC2的值，利用勾股定理的逆定理，可判断得出△ABC的形状。
8．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
9．一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
【答案】解：连结BD．∵AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5，∴AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．∴△ABD、△BDC是直角三角形．∴∠A=90°，∠BDC=90°．故这个零件符合要求
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连结BD．根据勾股定理的逆定理可知AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．故△ABD、△BDC是直角三角形，且∠A=90°，∠BDC=90°，从而得出这个零件符合要求。
四、作图题
10．（2019八下·天台期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；
（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.
【答案】（1）解： 如图， ；以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况，如下图所示，
（2）解：作法如图：
（其中直线PQ只要过AC、BD交点O，且不与AC、BD重合即可）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理:c2=a2+b2,因为, 以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况。
（2）依据勾股定理，13=22+32， 照此构造格点直角三角形，得出斜边AB，再画出边长为的正方形，∵正方形是中心对称图形，以对称中心，即正方形对角线的交点为基点任意画一条贯穿正方形对边的直线即可把正方形的面积均分。
11．（2017九下·东台期中）图a．图b均为边长等于1的正方形组成的网格．
（1）在图a空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线AB翻折后的图形，并算出原来阴影部分的面积．（直接写出答案）
（2）在图b空白的方格中，画出阴影部分的图形向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图形，并判断原来阴影部分的图形是什么三角形？（直接写出答案）
【答案】（1）解：如图a所示：阴影部分的面积为：2×3﹣ ×2×2﹣ ×1×3﹣ ×1×1=2；
（2）解：如图b所示：阴影部分是等腰直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案，再利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出答案，再利用勾股定理逆定理可得出答案．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．（2019八下·封开期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1， ，3
2．（2019八上·兰州期末）已知以下三个数， 不能组成直角三角形的是 （ ）
A．9、12、15 B． 、3、2
C．0.3、0.4、0.5； D．
3．（2019八下·蔡甸月考）a、b、c为△ABC三边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A-∠B B．a:b:c = 1 : :
C．∠A∶∠B∶∠C＝5∶4∶3 D． ，
4．（2019八下·郾城期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有 、 、 、 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、填空题
5．（2019八下·江北期中）如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= .
6．（2018八上·徐州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1cm，△ABC为格点三角形．
（1）△ABC的面积= cm2；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
三、解答题
7．（2018八上·泗阳期中）在△ABC中， ，试判断△ABC的形状，并说明理由。
8．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
9．一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？
四、作图题
10．（2019八下·天台期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；
（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.
11．（2017九下·东台期中）图a．图b均为边长等于1的正方形组成的网格．
（1）在图a空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线AB翻折后的图形，并算出原来阴影部分的面积．（直接写出答案）
（2）在图b空白的方格中，画出阴影部分的图形向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图形，并判断原来阴影部分的图形是什么三角形？（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，∴选项不符合题意；
B.，∴选项不符合题意；
C.，∴选项符合题意；
D.，∴选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】分别根据勾股定理的逆定理进行判断即可。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意；
B、（ ）2+32=（2 ）2，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理反证三角形是直角三角形。勾股定理内容：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；所以，反过来，若存在两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B
∵∠C=∠A-∠B
∴∠A=90°
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵12+（ ）2=22，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=5:4:3，
∴设∠A=5x，∠B=4x，∠C=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x=15°
∠A=75°，∠B=60°，∠C=45°
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵b2=a2-c2，
∴a2=b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理分别判断即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
则 ,
因为
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH。
故答案为：D。
【分析】利用方格纸的特点，由勾股定理分别算出 2、 2、 2 、 2，通过观察即可得出，然后利用勾股定理的逆定理判断出AB、EF、GH三条线段能围城直角三角形。
5．【答案】18
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，
∴∠I=∠DFE=90°，
∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，
∴∠AEI=∠DEF，
∵AE=DE，
∴△AEI≌△DEF(AAS)，
∴AI=DF，
∵EH=EF，
∴S△AHE=S△DEF，
同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，
∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，
∴DE2=DF2+EF2,
∴△DEF是Rt三角形，且∠DFE=90°，
∴S△DEF= ×3×4=6，
∴S1+S2+S3=18.
故答案为：18.
【分析】过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，根据同角的余角相等得出∠AEI=∠DEF，利用AAS判断出△AEI≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等得出AI=DF，根据等底等到的三角形的面积相等得出S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，从而用S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF即可算出答案。
6．【答案】（1）5
（2）解：∵AB2=22+12=5，BC2=42+22=20，AC2=42+32=25，
∵25=5+20，
即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）△ABC的面积=4× cm2；
【分析】可用填充法看成将三角形放在一个边长为4的正方形内，所以正方形由△ABC和3个直角三角形组成。
（1）△ABC的面积=正方形的面积-三个直角三角形的面积；
（2）根据勾股定理可分别得3个直角三角形斜边的平方为5、20、25，也是△ABC三条边的平方，25=5+20符合三角形的勾股定理，即可判断三角形为直角三角形。
7．【答案】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】分别求出AB2+BC2和AC2的值，利用勾股定理的逆定理，可判断得出△ABC的形状。
8．【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
9．【答案】解：连结BD．∵AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5，∴AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．∴△ABD、△BDC是直角三角形．∴∠A=90°，∠BDC=90°．故这个零件符合要求
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连结BD．根据勾股定理的逆定理可知AB2+AD2=BD2，BD2+DC2=BC2．故△ABD、△BDC是直角三角形，且∠A=90°，∠BDC=90°，从而得出这个零件符合要求。
10．【答案】（1）解： 如图， ；以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况，如下图所示，
（2）解：作法如图：
（其中直线PQ只要过AC、BD交点O，且不与AC、BD重合即可）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理:c2=a2+b2,因为, 以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况。
（2）依据勾股定理，13=22+32， 照此构造格点直角三角形，得出斜边AB，再画出边长为的正方形，∵正方形是中心对称图形，以对称中心，即正方形对角线的交点为基点任意画一条贯穿正方形对边的直线即可把正方形的面积均分。
11．【答案】（1）解：如图a所示：阴影部分的面积为：2×3﹣ ×2×2﹣ ×1×3﹣ ×1×1=2；
（2）解：如图b所示：阴影部分是等腰直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案，再利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出答案，再利用勾股定理逆定理可得出答案．
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