初中数学人教版八年级下学期 第十七章 17.2 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2020八上·金山期末）下列四组数据表示三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的一组数据是（ ）
A．1 cm， cm， 4cm B．5cm， 12cm， 13cm：
C．3cm， 4cm， 5cm： D．7cm， 24cm， 25 cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵12+( )2=9=32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵52+122=169=132，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42=25=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242=625=22，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
2．（2020八上·昌平期末）如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点 所经过的最短路线长为( ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
此时： ；
此时，
此时，
∵
∴ 为最短路径．
故答案为：C．
【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
3．（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有（ ）
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤ ；⑥ 11 、60 、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：① ，故3、4、5是勾股数；
② ，故5、12 、13是勾股数；
③ ，故9、40 、41是勾股数；
④ ，故13、14、15不是勾股数；
⑤ ，故 是勾股数；
⑥ ，故11 、60 、61是勾股数
是勾股数的共5组
故答案为：B
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行计算，然后判断即可.
4．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
5．（2020八上·苏州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a：b：c=
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A=2∠B=3∠C
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13<42=16，不是直角三角形，不符合题意；
B、设比的每份为1, 则 ,是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴不一定有角是90°，不符合题意；
D、∵∠A=2∠B=3∠C ，∴∠B=∠A，∠C=∠A，∴∠A+∠A+∠A=180°，解得∠A=≠90°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角，看是否等于90°即可.
6．（2019八上·长兴月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边为a，较短的直角边长为b，
∴a2+b2=c2，即c2-b2=a2
阴影部分的面积为
c2-b2-a（c-b）
=a2-ac+ab
=a（a-c+b）
∴较小的两个正方形重叠部分的长为a-（c-b），宽为a，
∴较小两个正方形重叠部分的的面积为a（a-c+b）
∴知道阴影部分的面积就一定能求出较小的两个正方形重叠部分的面积.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得c2-b2=a2，再根据正方形的面积及长方形的面积可证得阴影部分的面积为a（a-c+b），从而可得到较小的两个正方形重叠部分的长和宽，即可得出结论。
二、填空题
7．（2019八上·萧山期中）在△ABC中，AC=AB=5，一边上的高为3，则底边BC的长是 .
【答案】8或 或
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】①当底边BC边上的高为3时，如图1所示
∵在△ACD中，AB=AC=5，高AD=3
∴BD=CD=
∴BC=2BD=8
②当腰上的高BD=3时，如图2所示
则AD=
∴CD=5-4=1
∴BC=
③当高在△ABC的外部时，如图3所示
∵在△BCD中，AB=AC=5，高BD=3
∴AD=
∴CD=4+5=9
∴BC=
故答案为：8或 或 .
【分析】分三种情况：①当底边BC边上的高为3时；②当腰上的高BD=3时；③当高在△ABC的外部时；根据勾股定理先求得AD，根据线段的和差求得BD，根据勾股定理求得底边BC的长．
8．（2019八上·新兴期中）若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是 。
【答案】17
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】a2=32+42,故a=5,52+b2=132，故b=12.故a+b=17
【分析】勾股定理的运用
三、解答题
9．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
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一、单选题
1．（2020八上·金山期末）下列四组数据表示三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的一组数据是（ ）
A．1 cm， cm， 4cm B．5cm， 12cm， 13cm：
C．3cm， 4cm， 5cm： D．7cm， 24cm， 25 cm
2．（2020八上·昌平期末）如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点 所经过的最短路线长为( ）
A． B． C． D．以上都不对
3．（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有（ ）
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤ ；⑥ 11 、60 、61
A．6组 B．5组 C．4组 D．3组
4．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
5．（2020八上·苏州期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a：b：c=
C．∠A+∠B=2∠C D．∠A=2∠B=3∠C
6．（2019八上·长兴月考）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题
7．（2019八上·萧山期中）在△ABC中，AC=AB=5，一边上的高为3，则底边BC的长是 .
8．（2019八上·新兴期中）若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是 。
三、解答题
9．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵12+( )2=9=32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵52+122=169=132，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+42=25=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242=625=22，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
2．【答案】C
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
此时： ；
此时，
此时，
∵
∴ 为最短路径．
故答案为：C．
【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：① ，故3、4、5是勾股数；
② ，故5、12 、13是勾股数；
③ ，故9、40 、41是勾股数；
④ ，故13、14、15不是勾股数；
⑤ ，故 是勾股数；
⑥ ，故11 、60 、61是勾股数
是勾股数的共5组
故答案为：B
【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行计算，然后判断即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13<42=16，不是直角三角形，不符合题意；
B、设比的每份为1, 则 ,是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠C=180°，∴∠C=60°，∴∠A+∠B=120°，∴不一定有角是90°，不符合题意；
D、∵∠A=2∠B=3∠C ，∴∠B=∠A，∠C=∠A，∴∠A+∠A+∠A=180°，解得∠A=≠90°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】已知三边，先求出较小两边的平方和，利用勾股定理即可判断；已知角的关系，则求出最大角，看是否等于90°即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长的直角边为a，较短的直角边长为b，
∴a2+b2=c2，即c2-b2=a2
阴影部分的面积为
c2-b2-a（c-b）
=a2-ac+ab
=a（a-c+b）
∴较小的两个正方形重叠部分的长为a-（c-b），宽为a，
∴较小两个正方形重叠部分的的面积为a（a-c+b）
∴知道阴影部分的面积就一定能求出较小的两个正方形重叠部分的面积.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得c2-b2=a2，再根据正方形的面积及长方形的面积可证得阴影部分的面积为a（a-c+b），从而可得到较小的两个正方形重叠部分的长和宽，即可得出结论。
7．【答案】8或 或
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】①当底边BC边上的高为3时，如图1所示
∵在△ACD中，AB=AC=5，高AD=3
∴BD=CD=
∴BC=2BD=8
②当腰上的高BD=3时，如图2所示
则AD=
∴CD=5-4=1
∴BC=
③当高在△ABC的外部时，如图3所示
∵在△BCD中，AB=AC=5，高BD=3
∴AD=
∴CD=4+5=9
∴BC=
故答案为：8或 或 .
【分析】分三种情况：①当底边BC边上的高为3时；②当腰上的高BD=3时；③当高在△ABC的外部时；根据勾股定理先求得AD，根据线段的和差求得BD，根据勾股定理求得底边BC的长．
8．【答案】17
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】a2=32+42,故a=5,52+b2=132，故b=12.故a+b=17
【分析】勾股定理的运用
9．【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
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