初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、基础巩固
1．（2019八下·海安月考）下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·杭州期末）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，且有 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
3．（2019·南充模拟）针对关于x的方程x2+mx-2=0，下列说法错误的（ ）．
A．可以有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．一个根大于0，一个根小于0 D．m=±1时才有整数根
4．（2019·夏津模拟）若一元二次方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个根分别为x1，x2，满足x12+x22=4，则k的值= 。
5．若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数，则k=
二、真题演练
6．（2019·盐城）设 是方程 的两个根，则 .
7．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
8．（2019·鄂州）已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且 ，试求k的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、∵x2-x+6=0，
∴△=b2-4ac=-23＜0，
∴此方程没有实数根，故不符合题意；
B、∵x2-x-6=0，
∴△=b2-4ac=25＞0，
∴此方程有实数根，x1+x2=1，故不符合题意；
C、∵x2+x+6=0，
∴△=b2-4ac=-23<0，
∴此方程没有实数根，故不符合题意；
D、∵x2+x-6=0，
∴△=b2-4ac=25＞0，
∴此方程有实数根；
根据根与系数的关系可求x1+x2=-1，
故符合题意。
故答案为：D。
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式判断出各个方程是否有实数根，对于有实数根的方程再根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-即可一一判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，
∴△=（3a+1）2-8a（a+1）=（a-1）2＞0， ， a≠0，
∴a≠1且a≠0 ，
∵ ，
∴ ，
解得a=±1，
∴a=-1.
故答案为：B.
【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根可知：其根的判别式的值应该等于0，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解即可得出x的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而代入 求解并检验即可得出a的值。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:
x2+mx-2=0
△=m2-4×（-2）=m2+8,
∵m2≥0，∴m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故A符合题意，B不符合题意；
设方程的两根为x1，x2，∴x1·x2=-2＜0，
∴一个根大于0，一个根小于0 ，故C不符合题意；
当m=±1，∴△=9是完全平方数，∴m=±1时才有整数根，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先计算出根的判别式△=m2+8＞0，据此判断A和B；根据根与系数的关系，可得x1·x2=-2＜0，据此判断C；利用当m=±1，∴△=9是完全平方数，据此判断D；
4．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数之间的关系可知：x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，即（-2k）2-2（k2-2k+1）=4
整理得：k2+2k-3=0，解得k1=1，k2=-3
又因为一元二次方程有两个根，所以b2-4ac≥0，即（2k）2-4（k2-2k+1）≥0，解得k≥
所以k的值为1.
【分析】先根据一元二次方程根与系数之间的关系，用含有k的代数式将x1+x2与x1·x2表示出来，再根据已知中x12+x22=4，把x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，得到一个关于k的一元二次方程，求出k的值，最后根据一元二次方程根的判别式，求出k的取值范围，即可确定k的值。
5．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系知， , 两根互为倒数，则k2=1, k=±1,
∵方程有两个实数根， , 当k=1时，代入△<0,不成立，故K=-1
【分析】二次方程两根互为倒数，则两根之积等于1， 求出k值，但要保证△≥0.
6．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵, ∴
【分析】根据二次方程根于系数的关系先求出两根之和和两根之积，再代入求值式即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
8．【答案】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2-4ac≥0∴(-2)2-4(2k-1)≥0
∴k≤1
（2）解：∵x1,x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2＝2，x1·x2＝2k-1又∵∴ ， ∴(x1+x2)2-2x1x2=(x1·x2)2∴22-2(2k-1)=(2k-1)2解之，得： 经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1∴k=-
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以,由△≥0，求出k的取值范围.
（2）由根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积。再把求解式变形，能够代入两根之和和两根之积的值，则k值可求。
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一、基础巩固
1．（2019八下·海安月考）下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、∵x2-x+6=0，
∴△=b2-4ac=-23＜0，
∴此方程没有实数根，故不符合题意；
B、∵x2-x-6=0，
∴△=b2-4ac=25＞0，
∴此方程有实数根，x1+x2=1，故不符合题意；
C、∵x2+x+6=0，
∴△=b2-4ac=-23<0，
∴此方程没有实数根，故不符合题意；
D、∵x2+x-6=0，
∴△=b2-4ac=25＞0，
∴此方程有实数根；
根据根与系数的关系可求x1+x2=-1，
故符合题意。
故答案为：D。
【分析】首先根据一元二次方程根的判别式判断出各个方程是否有实数根，对于有实数根的方程再根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-即可一一判断得出答案。
2．（2019八下·杭州期末）关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，且有 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，
∴△=（3a+1）2-8a（a+1）=（a-1）2＞0， ， a≠0，
∴a≠1且a≠0 ，
∵ ，
∴ ，
解得a=±1，
∴a=-1.
故答案为：B.
【分析】根据关于x的方程有两个不相等的实数根可知：其根的判别式的值应该等于0，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解即可得出x的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而代入 求解并检验即可得出a的值。
3．（2019·南充模拟）针对关于x的方程x2+mx-2=0，下列说法错误的（ ）．
A．可以有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．一个根大于0，一个根小于0 D．m=±1时才有整数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:
x2+mx-2=0
△=m2-4×（-2）=m2+8,
∵m2≥0，∴m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，故A符合题意，B不符合题意；
设方程的两根为x1，x2，∴x1·x2=-2＜0，
∴一个根大于0，一个根小于0 ，故C不符合题意；
当m=±1，∴△=9是完全平方数，∴m=±1时才有整数根，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先计算出根的判别式△=m2+8＞0，据此判断A和B；根据根与系数的关系，可得x1·x2=-2＜0，据此判断C；利用当m=±1，∴△=9是完全平方数，据此判断D；
4．（2019·夏津模拟）若一元二次方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个根分别为x1，x2，满足x12+x22=4，则k的值= 。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数之间的关系可知：x1+x2=-2k，x1·x2=k2-2k+1
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，即（-2k）2-2（k2-2k+1）=4
整理得：k2+2k-3=0，解得k1=1，k2=-3
又因为一元二次方程有两个根，所以b2-4ac≥0，即（2k）2-4（k2-2k+1）≥0，解得k≥
所以k的值为1.
【分析】先根据一元二次方程根与系数之间的关系，用含有k的代数式将x1+x2与x1·x2表示出来，再根据已知中x12+x22=4，把x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，得到一个关于k的一元二次方程，求出k的值，最后根据一元二次方程根的判别式，求出k的取值范围，即可确定k的值。
5．若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数，则k=
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系知， , 两根互为倒数，则k2=1, k=±1,
∵方程有两个实数根， , 当k=1时，代入△<0,不成立，故K=-1
【分析】二次方程两根互为倒数，则两根之积等于1， 求出k值，但要保证△≥0.
二、真题演练
6．（2019·盐城）设 是方程 的两个根，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵, ∴
【分析】根据二次方程根于系数的关系先求出两根之和和两根之积，再代入求值式即可。
7．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
8．（2019·鄂州）已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且 ，试求k的值.
【答案】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2-4ac≥0∴(-2)2-4(2k-1)≥0
∴k≤1
（2）解：∵x1,x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2＝2，x1·x2＝2k-1又∵∴ ， ∴(x1+x2)2-2x1x2=(x1·x2)2∴22-2(2k-1)=(2k-1)2解之，得： 经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1∴k=-
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以,由△≥0，求出k的取值范围.
（2）由根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积。再把求解式变形，能够代入两根之和和两根之积的值，则k值可求。
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