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初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2.5 一元二次方程的跟与系数的关系
一、单选题
1．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
2．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
3．（2019·黄冈）若x1·x2是一元一次方程 的两根，则x1·x2的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ x1·x2是一元一次方程 的两根，
∴x1·x2=-5
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数，将一元二次方程化成一般形式，根据当二次项系数a=1时，两根之积等于常数项，可得出答案。
4．（2019·江汉）若方程x2－2x－4=0的两个实数根为 ， ，则 的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．－4．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 方程x2－2x－4=0的两个实数根为 ， ，
∴α+β=2，αβ=-4，
∴ =（α＋β）2-2αβ=22-2×（-4）=4+8=12。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：由α+β=，αβ=得出α+β=2，αβ=-4，然后根据完全平方公式的恒等变形得出 =（α＋β）2-2αβ，再整体代入即可算出答案。
二、填空题
5．（2019·济宁模拟）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程另一根为x2．
∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1·x2=，即1×x2=-2，从而求出另一个根.
三、解答题
6．（2019·巴中）已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
【答案】解：①根据题意得：
，
解得： ，
②根据题意得：
， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
四、综合题
7．（2019·鄂州）已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且 ，试求k的值.
【答案】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2-4ac≥0∴(-2)2-4(2k-1)≥0
∴k≤1
（2）解：∵x1,x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2＝2，x1·x2＝2k-1又∵∴ ， ∴(x1+x2)2-2x1x2=(x1·x2)2∴22-2(2k-1)=(2k-1)2解之，得： 经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1∴k=-
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以,由△≥0，求出k的取值范围.
（2）由根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积。再把求解式变形，能够代入两根之和和两根之积的值，则k值可求。
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初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2.5 一元二次方程的跟与系数的关系
一、单选题
1．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
2．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
3．（2019·黄冈）若x1·x2是一元一次方程 的两根，则x1·x2的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
4．（2019·江汉）若方程x2－2x－4=0的两个实数根为 ， ，则 的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．－4．
二、填空题
5．（2019·济宁模拟）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
三、解答题
6．（2019·巴中）已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
四、综合题
7．（2019·鄂州）已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且 ，试求k的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ x1·x2是一元一次方程 的两根，
∴x1·x2=-5
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数，将一元二次方程化成一般形式，根据当二次项系数a=1时，两根之积等于常数项，可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 方程x2－2x－4=0的两个实数根为 ， ，
∴α+β=2，αβ=-4，
∴ =（α＋β）2-2αβ=22-2×（-4）=4+8=12。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：由α+β=，αβ=得出α+β=2，αβ=-4，然后根据完全平方公式的恒等变形得出 =（α＋β）2-2αβ，再整体代入即可算出答案。
5．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程另一根为x2．
∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1·x2=，即1×x2=-2，从而求出另一个根.
6．【答案】解：①根据题意得：
，
解得： ，
②根据题意得：
， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
7．【答案】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2-4ac≥0∴(-2)2-4(2k-1)≥0
∴k≤1
（2）解：∵x1,x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2＝2，x1·x2＝2k-1又∵∴ ， ∴(x1+x2)2-2x1x2=(x1·x2)2∴22-2(2k-1)=(2k-1)2解之，得： 经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1∴k=-
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）因为方程有实数根，所以,由△≥0，求出k的取值范围.
（2）由根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积。再把求解式变形，能够代入两根之和和两根之积的值，则k值可求。
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