初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
2．（2019·顺德模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（0， ） B．（ ，0）
C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
3．（2019九上·杭州月考）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A．(0， 1) B．(1， 0) C．(0， -1) D．(0， 0)
4．（2018九上·杭州期中）抛物线y= - (x-4)2+1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝1
6．（2018九上·广州期中）若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（﹣ ，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1
二、填空题
9．（2020·宁夏）若二次函数 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .
10．（2020·萧山模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ .
11．（2019·高台模拟）二次函数y=x2＋2x－3与x轴两交点之间的距离为 .
12．（2020·朝阳）抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 .
三、解答题
13．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．
14．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
15．如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
16．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），
∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：D．
【分析】由题意可知该函数关于x=1对称，A在x轴上，则求出A关于x=1的对称点即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴相交，横坐标为0可求解。
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解、由题意令y=0得，-（x-4）2+1=0，
解得x1=4+，x2=4-，即抛物线与x轴有两个交点；
令x=0，得y=-，即即抛物线与y轴有一个交点；
∴抛物线与坐标轴有3个交点。故选D。
【分析】由题意分别求出抛物线与x、y轴的交点即可判断。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0)，（1，0)．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==-1．
故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则 = =2，
解得：b= 4，
∴x2+bx=5即为x2 4x 5=0，
则(x 5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2= 1.
故答案为：D.
【分析】先通过题干求得对称轴为x=2，然后利用对称轴公式求得a、b的关系，在已知a=1的情况下求出b值，代入方程中求解即可。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣2，
∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y=（x+a）（x+b），
∴函数图象与x轴交点坐标为 ：（-a，0），（-b，0），
又∵y=（ax+1）（bx+1），
∴函数图象与x轴交点坐标为 ：（- ，0），（- ，0），
∵a≠b，
∴M=N，或M=N+1.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式分别得出图像与x轴的交点坐标，根据题意a≠b分等于0和不等于0的情况即可得出两个交点个数之间的关系式，从而得出答案.
9．【答案】k＞-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴△= ﹥0，
解得： ，
故答案为： .
【分析】根据二次函数 的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围.
10．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣ ＝2.
故答案为 ： 2.
【分析】用两根之和等于即可直接得出答案.
11．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y=0时，x2+2x-3=0.
解得x1=-1，x2=3，
∴|x1-x2|=4。
故答案为：4。
【分析】根据抛物线与x轴交点的坐标特点将y=0代入 二次函数y=x2＋2x－3 求出其与x轴两交点的横坐标，然后根据x轴上任意两点间的距离等于它们横坐标差的绝对值即可算出答案。
12．【答案】 且k≠1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 .
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案.
13．【答案】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．
又∵函数的最大值为9，
∴抛物线的顶点为C（1，9）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），求得a=﹣1．
∴二次函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+9，
即y=﹣x2+2x+8．
（2）过C作CE⊥x轴于E点．
当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．
∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点（﹣2，0）和（4，0）可得对称轴为x=1，又函数的最大值为9，则顶点的纵坐标为9，所以可设y=a（x﹣1）2+9，再把点B的坐标代入求出a的值即可；
（2）过C作CE⊥x轴于E点，根据点的坐标求得两个三角形的面积和一个梯形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．
14．【答案】解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】抓住已知条件：已知函数的图象与x轴只有一个公共点，因此分两种情况讨论：该函数是一次函数时，则二次项系数为0且一次项系数不为0，建立关于m的方程和不等式，求解即可；当此函数是二次函数时，二次项系数不为0且b2-4ac=0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
15．【答案】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）首先把A的坐标代入一次函数解析式即可求得k的值，根据对称轴即可得到一个关于a和b的式子，然后把A代入二次函数解析式，解所得到的两个式子组成的方程组即可求得a和b的值；
（2）解一次函数解析式和二次函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后根据图象求解．
16．【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由对称轴为直线x=2可得-=2，解得m=4，所以二次函数y=﹣x2+mx的解析式为y=﹣x2+4x。
如图，
关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+4x与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故答案为D．
【分析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
2．（2019·顺德模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（0， ） B．（ ，0）
C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），
∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：D．
【分析】由题意可知该函数关于x=1对称，A在x轴上，则求出A关于x=1的对称点即可。
3．（2019九上·杭州月考）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A．(0， 1) B．(1， 0) C．(0， -1) D．(0， 0)
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴相交，横坐标为0可求解。
4．（2018九上·杭州期中）抛物线y= - (x-4)2+1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解、由题意令y=0得，-（x-4）2+1=0，
解得x1=4+，x2=4-，即抛物线与x轴有两个交点；
令x=0，得y=-，即即抛物线与y轴有一个交点；
∴抛物线与坐标轴有3个交点。故选D。
【分析】由题意分别求出抛物线与x、y轴的交点即可判断。
5．方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0)，（1，0)．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==-1．
故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
6．（2018九上·广州期中）若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则 = =2，
解得：b= 4，
∴x2+bx=5即为x2 4x 5=0，
则(x 5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2= 1.
故答案为：D.
【分析】先通过题干求得对称轴为x=2，然后利用对称轴公式求得a、b的关系，在已知a=1的情况下求出b值，代入方程中求解即可。
7．（2017·齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（﹣ ，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣2，
∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
8．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y=（x+a）（x+b），
∴函数图象与x轴交点坐标为 ：（-a，0），（-b，0），
又∵y=（ax+1）（bx+1），
∴函数图象与x轴交点坐标为 ：（- ，0），（- ，0），
∵a≠b，
∴M=N，或M=N+1.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式分别得出图像与x轴的交点坐标，根据题意a≠b分等于0和不等于0的情况即可得出两个交点个数之间的关系式，从而得出答案.
二、填空题
9．（2020·宁夏）若二次函数 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .
【答案】k＞-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴△= ﹥0，
解得： ，
故答案为： .
【分析】根据二次函数 的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围.
10．（2020·萧山模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝ .
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由韦达定理得：
x1+x2＝﹣ ＝2.
故答案为 ： 2.
【分析】用两根之和等于即可直接得出答案.
11．（2019·高台模拟）二次函数y=x2＋2x－3与x轴两交点之间的距离为 .
【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y=0时，x2+2x-3=0.
解得x1=-1，x2=3，
∴|x1-x2|=4。
故答案为：4。
【分析】根据抛物线与x轴交点的坐标特点将y=0代入 二次函数y=x2＋2x－3 求出其与x轴两交点的横坐标，然后根据x轴上任意两点间的距离等于它们横坐标差的绝对值即可算出答案。
12．（2020·朝阳）抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 .
【答案】 且k≠1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 .
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案.
三、解答题
13．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．
又∵函数的最大值为9，
∴抛物线的顶点为C（1，9）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+9，代入B（4，0），求得a=﹣1．
∴二次函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+9，
即y=﹣x2+2x+8．
（2）过C作CE⊥x轴于E点．
当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．
∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点（﹣2，0）和（4，0）可得对称轴为x=1，又函数的最大值为9，则顶点的纵坐标为9，所以可设y=a（x﹣1）2+9，再把点B的坐标代入求出a的值即可；
（2）过C作CE⊥x轴于E点，根据点的坐标求得两个三角形的面积和一个梯形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．
14．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
【答案】解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】抓住已知条件：已知函数的图象与x轴只有一个公共点，因此分两种情况讨论：该函数是一次函数时，则二次项系数为0且一次项系数不为0，建立关于m的方程和不等式，求解即可；当此函数是二次函数时，二次项系数不为0且b2-4ac=0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
15．如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
【答案】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）首先把A的坐标代入一次函数解析式即可求得k的值，根据对称轴即可得到一个关于a和b的式子，然后把A代入二次函数解析式，解所得到的两个式子组成的方程组即可求得a和b的值；
（2）解一次函数解析式和二次函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后根据图象求解．
16．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
1 / 1
