初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一、单选题
1．（2019·山西模拟） 是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·福田模拟）如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（ ）（参考数据： ）
A．7米 B．14米 C．20米 D．40米
3．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
二、填空题
4．（2019九下·常熟月考）计算；sin30° tan30°+cos60° tan60°＝ ．
5．（2019九下·萧山开学考）比较大小：cos30°
6．（2019九上·荔湾期末）将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为 ．
7．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．
三、计算题
8．（2019九上·长春月考）计算：
9．（2019九上·浦东期中）计算： ；
10．（2018九上·大庆期中）计算：
（1）sin230°＋sin260°＋1－tan45°
（2）tan260°－2cos60°－ sin45°
四、综合题
11．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
12．（2017·秦淮模拟）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°，∠AED=45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =
故答案为：A．
【分析】特殊三角函数值的运算。
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
，
，
，
.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件，构建直角三角形，作BH⊥AC于H。即可得三角形BCH 是等腰三角形。设BH为x,根据特殊角三角函数值，即可求得CH与AH的长度，即可求出x,从而求出AB。
3．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
4．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式 .
故答案为: .
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则进行计算即可.
5．【答案】＞
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos30°=，
∴＞，
即cos30°＞.
故答案为：＞.
【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=，根据实数的比较大小即可得出答案.
6．【答案】30°
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，
∴圆锥的底面半径r＝12π÷2π＝6，
∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 ＝ ，
∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为30°，
故答案为：30°.
【分析】利用扇形的弧长和母线长求得扇形的弧长，并利用圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，在根据圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，利用勾股定理求得高，用高除以母线长即可得到正弦值，即可得到结论．
7．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴点P的运动轨迹是 ，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA=PC，OB⊥AC，
则AD=CD= AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= ∠ABC=30°，
∴PD=AD tan30°= AD= ，BD= AD= ，
∴PB=BD﹣PD= ﹣ = ．
故答案为：
【分析】根据题意得出当O、P、B共线时，PB长度最小，利用特殊角的函数值，利用PB=BD﹣PD，求出PB的长度。
8．【答案】解：原式＝ .
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本道题考察的就是特殊角的三角函数值。cos30°=，sin30°=，tan60°=，代入式子中进行计算即可。
9．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．
10．【答案】（1）解：原式= =1
（2）解：原式= =1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）首先将30°、60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
（2）首先将60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
11．【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴sinA=sin45°= ，
即sinA=
（2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示，
∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，
∴AD=a，AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∴CD=AC﹣AD= ，
∴ = ，
即tanC= ．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和算出 ∠A 的度数，然后根据特殊锐角三角函数值即可得出答案；
（2） 作BD⊥AC于点D，如下图所示， 设BD=a， 根据等腰直角三角形的性质AD,AB的长，根据AB=AC从而得出AC的长，根据线段的和差算出CD的长，然后根据正切函数的定义，由tanC=即可算出答案。
12．【答案】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F．
设AF的长度为xm．
∵∠AED=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∴EF=AF=x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ，
∴DF= = = ．
∵DE=18.9，
∴ +x=18.9，
解得x=16.2，
过点B作BG⊥AF，交AF于点G，
则BC=GF=15，∠CBG=90°．
∴AG=AF﹣GF=16.2﹣15=1.2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°．
在Rt△ABG中，
∵sin∠ABG= ，
∴AB= = =2.4，
答：灯杆AB的长度为2.4 m．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点A作AF⊥CE，点B作BG⊥AF，根据正切的概念求出DF，列方程求出AF，根据正弦的概念计算即可．
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一、单选题
1．（2019·山西模拟） 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =
故答案为：A．
【分析】特殊三角函数值的运算。
2．（2019·福田模拟）如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（ ）（参考数据： ）
A．7米 B．14米 C．20米 D．40米
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
，
，
，
.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件，构建直角三角形，作BH⊥AC于H。即可得三角形BCH 是等腰三角形。设BH为x,根据特殊角三角函数值，即可求得CH与AH的长度，即可求出x,从而求出AB。
3．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
二、填空题
4．（2019九下·常熟月考）计算；sin30° tan30°+cos60° tan60°＝ ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式 .
故答案为: .
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则进行计算即可.
5．（2019九下·萧山开学考）比较大小：cos30°
【答案】＞
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos30°=，
∴＞，
即cos30°＞.
故答案为：＞.
【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=，根据实数的比较大小即可得出答案.
6．（2019九上·荔湾期末）将半径为12cm，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角为 ．
【答案】30°
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为12，弧长为12π，
∴圆锥的底面半径r＝12π÷2π＝6，
∵圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，
∴圆锥的母线与圆锥底面的夹角的正弦值是 ＝ ，
∴圆锥的母线与圆锥高的夹角为30°，
故答案为：30°.
【分析】利用扇形的弧长和母线长求得扇形的弧长，并利用圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，在根据圆锥的母线长、底面半径及高围成直角三角形，利用勾股定理求得高，用高除以母线长即可得到正弦值，即可得到结论．
7．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴点P的运动轨迹是 ，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA=PC，OB⊥AC，
则AD=CD= AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD= ∠ABC=30°，
∴PD=AD tan30°= AD= ，BD= AD= ，
∴PB=BD﹣PD= ﹣ = ．
故答案为：
【分析】根据题意得出当O、P、B共线时，PB长度最小，利用特殊角的函数值，利用PB=BD﹣PD，求出PB的长度。
三、计算题
8．（2019九上·长春月考）计算：
【答案】解：原式＝ .
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本道题考察的就是特殊角的三角函数值。cos30°=，sin30°=，tan60°=，代入式子中进行计算即可。
9．（2019九上·浦东期中）计算： ；
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．
10．（2018九上·大庆期中）计算：
（1）sin230°＋sin260°＋1－tan45°
（2）tan260°－2cos60°－ sin45°
【答案】（1）解：原式= =1
（2）解：原式= =1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）首先将30°、60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
（2）首先将60°、45°等特殊角的三角函数值求出，先进行乘方计算，化简求值计算即可得出结果。
四、综合题
11．如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°．
（1）求sinA的值；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴sinA=sin45°= ，
即sinA=
（2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示，
∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a，
∴AD=a，AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
∴CD=AC﹣AD= ，
∴ = ，
即tanC= ．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和算出 ∠A 的度数，然后根据特殊锐角三角函数值即可得出答案；
（2） 作BD⊥AC于点D，如下图所示， 设BD=a， 根据等腰直角三角形的性质AD,AB的长，根据AB=AC从而得出AC的长，根据线段的和差算出CD的长，然后根据正切函数的定义，由tanC=即可算出答案。
12．（2017·秦淮模拟）如图，在路边安装路灯，灯柱BC高15m，与灯杆AB的夹角ABC为120°．路灯采用锥形灯罩，照射范围DE长为18.9m，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为∠ADE=80.5°，∠AED=45°．求灯杆AB的长度．（参考数据：cos80.5°≈0.2，tan80.5°≈6.0）
【答案】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F．
设AF的长度为xm．
∵∠AED=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∴EF=AF=x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ，
∴DF= = = ．
∵DE=18.9，
∴ +x=18.9，
解得x=16.2，
过点B作BG⊥AF，交AF于点G，
则BC=GF=15，∠CBG=90°．
∴AG=AF﹣GF=16.2﹣15=1.2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°．
在Rt△ABG中，
∵sin∠ABG= ，
∴AB= = =2.4，
答：灯杆AB的长度为2.4 m．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点A作AF⊥CE，点B作BG⊥AF，根据正切的概念求出DF，列方程求出AF，根据正弦的概念计算即可．
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