初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.2 勾股定理的应用
一、单选题
1．（2019九上·珠海开学考）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（ ）
A．16米 B．15米 C．24米 D．21米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= 米．
所以大树的高度是10+6=16米．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，由AB+BC即可求出大树的高度.
2．（2019八上·郑州开学考）如图，一圆柱高 ，底面半径 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC= =2π=6，矩形的宽AC=8，
在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB= ≈10.
故答案为：A.
【分析】立体图形表面上的最短问题，需要将立体图形展开成平面图形，根据平面图形上的两点之间线段最短来研究即可。
3．（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 《周髀算经》 中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。
故答案为：C
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。
4．（2019·咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵ “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形
∴只有B符合
故答案为：B
【分析】“赵爽弦图”的周围是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，观察图形可得出答案。
5．（2019·汽开区模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2–3=（10–x）2 B．x2–32=（10–x）2
C．x2+3=（10–x）2 D．x2+32=（10–x）2
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2.
故答案为：D.
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立方程，据此判断即可.
6．（2019·广西模拟）在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线L∥AB，P为直线L上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是（ ）
A．1 B．1或
C．1或 D． 或
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】过P作PD⊥BC，PE⊥AC，
则PD=EC，设EC=x， 因为∠ACB+∠ACP=90°+45°=135°，则∠ECP=45°，
设PE=EC=x， AP=AB=，在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=AP2，当P在直线BC的下方时有 (x+1)2+x2=2， 解得：， 则P到BC所在直线的距离为.负根舍去.
当P直线BC的上方时有(x-1)2+x2=2，解得，其中负根舍去.
故答案为：D
【分析】过P作PE⊥AC，把求PD的长，转化为求EC的长，构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列关系式，则EC长可求。注意过点C作直线L∥AB，以A点为圆心，以AB为半径画圆与L有两个交点。
7．（2019·咸宁模拟）如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用图形的面积公式对各选项进行证明，即可求解。
8．（2019八下·大连月考）如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．15 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A、B的边长分别为3和5，
∴正方形C的边长为= ，
所以正方形C的面积为42=16。
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理算出正方形C的边长，再根据正方形的面积等于边长的平方即可得出答案。
二、作图题
9．（2019·温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等.
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；作图-三角形
【解析】【分析】（1）为了画出格点三角形，利用勾股定理试算。设每小正方形的边长为1，构造Rt△EFG，为了保证∠EFG=90°，要使△EBF∽△FCG。（2）先由勾股定理按格点正方形边长试算MP和NQ，使MP=NQ，画出MP和NQ，使其相交，把四边形四点连接即可。
三、综合题
10．（2019八下·中山期末）如图，已知等腰三角形 的底边 长为10，点 是 上的一点，其中 。
（1）求证： ；
（2）求 的长。
【答案】（1）证明：∵
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴
（2）解：设 为 ，则
∵ ，
∴ ，
在 中
，即 ，
解得
∴ .
故答案为：(1)见解析；(2) .
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可计算得到△BDC为直角三角形，根据其性质得到答案。
（2）可以设AB为x，在三角形ABD中，根据勾股定理计算得到答案即可。
11．（2019·广西模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响 请说明理由；
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米／时，那么学校受到影响的时间是多久
【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AE⊥MN于点E，
点A到铁路MN的距离为80米，AE=80 m，
周围100米以内会受到噪音影响，80<100，
学校会受到影响；
（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB.AC。
则AB=AC=100 m，
在Rt△ABE中，
AB＝100 m，AE＝80m
BE= ，
BC=2BE=120 m，
火车的速度是180千米／时=50 m／s，
t= =2.4 s.
答：学校受到影响的时间是2.4秒.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是否影响应以学校到铁路的最短距离作为衡量标准。
（2） 因为周围100米以内会受到噪音影响，以A为圆心以100米为半径画弧与MN交与两点，火车驶过这两点之间的距离经历的时间即学校受到影响的时间。过A作垂直用勾股定理求出BE， 由等腰三角形三线合一定理得BC=2BE，再用速度公式，求出时间即可。
12．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路。
（2）解：设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）CH是否为从村庄C到河边最近的路，只要能说明三角形CHB是直角三角形即可，依据题目中给出的CB、CH与HB的长，计算能否满足勾股定理的逆定理，满足即为最近的路，不满足则不是最近的路；
（2）可设AC的长为x米，由AB=AC可用含x的代数式将AH表示出来，即x-1.8，由（1）中的结论可知三角形CHB为直角三角形，所以三角形AHC也为直角三角形，将AC、CH与AH代入勾股定理中即可求得x的值。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.2 勾股定理的应用
一、单选题
1．（2019九上·珠海开学考）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（ ）
A．16米 B．15米 C．24米 D．21米
2．（2019八上·郑州开学考）如图，一圆柱高 ，底面半径 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 《周髀算经》 中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．（2019·咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·汽开区模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2–3=（10–x）2 B．x2–32=（10–x）2
C．x2+3=（10–x）2 D．x2+32=（10–x）2
6．（2019·广西模拟）在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线L∥AB，P为直线L上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是（ ）
A．1 B．1或
C．1或 D． 或
7．（2019·咸宁模拟）如图图中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八下·大连月考）如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．15 C．16 D．18
二、作图题
9．（2019·温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
三、综合题
10．（2019八下·中山期末）如图，已知等腰三角形 的底边 长为10，点 是 上的一点，其中 。
（1）求证： ；
（2）求 的长。
11．（2019·广西模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响 请说明理由；
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米／时，那么学校受到影响的时间是多久
12．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= 米．
所以大树的高度是10+6=16米．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，由AB+BC即可求出大树的高度.
2．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC= =2π=6，矩形的宽AC=8，
在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB= ≈10.
故答案为：A.
【分析】立体图形表面上的最短问题，需要将立体图形展开成平面图形，根据平面图形上的两点之间线段最短来研究即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。
故答案为：C
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵ “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形
∴只有B符合
故答案为：B
【分析】“赵爽弦图”的周围是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，观察图形可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2.
故答案为：D.
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立方程，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】过P作PD⊥BC，PE⊥AC，
则PD=EC，设EC=x， 因为∠ACB+∠ACP=90°+45°=135°，则∠ECP=45°，
设PE=EC=x， AP=AB=，在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=AP2，当P在直线BC的下方时有 (x+1)2+x2=2， 解得：， 则P到BC所在直线的距离为.负根舍去.
当P直线BC的上方时有(x-1)2+x2=2，解得，其中负根舍去.
故答案为：D
【分析】过P作PE⊥AC，把求PD的长，转化为求EC的长，构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列关系式，则EC长可求。注意过点C作直线L∥AB，以A点为圆心，以AB为半径画圆与L有两个交点。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用图形的面积公式对各选项进行证明，即可求解。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A、B的边长分别为3和5，
∴正方形C的边长为= ，
所以正方形C的面积为42=16。
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理算出正方形C的边长，再根据正方形的面积等于边长的平方即可得出答案。
9．【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等.
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；作图-三角形
【解析】【分析】（1）为了画出格点三角形，利用勾股定理试算。设每小正方形的边长为1，构造Rt△EFG，为了保证∠EFG=90°，要使△EBF∽△FCG。（2）先由勾股定理按格点正方形边长试算MP和NQ，使MP=NQ，画出MP和NQ，使其相交，把四边形四点连接即可。
10．【答案】（1）证明：∵
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴
（2）解：设 为 ，则
∵ ，
∴ ，
在 中
，即 ，
解得
∴ .
故答案为：(1)见解析；(2) .
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可计算得到△BDC为直角三角形，根据其性质得到答案。
（2）可以设AB为x，在三角形ABD中，根据勾股定理计算得到答案即可。
11．【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AE⊥MN于点E，
点A到铁路MN的距离为80米，AE=80 m，
周围100米以内会受到噪音影响，80<100，
学校会受到影响；
（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB.AC。
则AB=AC=100 m，
在Rt△ABE中，
AB＝100 m，AE＝80m
BE= ，
BC=2BE=120 m，
火车的速度是180千米／时=50 m／s，
t= =2.4 s.
答：学校受到影响的时间是2.4秒.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）是否影响应以学校到铁路的最短距离作为衡量标准。
（2） 因为周围100米以内会受到噪音影响，以A为圆心以100米为半径画弧与MN交与两点，火车驶过这两点之间的距离经历的时间即学校受到影响的时间。过A作垂直用勾股定理求出BE， 由等腰三角形三线合一定理得BC=2BE，再用速度公式，求出时间即可。
12．【答案】（1）解：是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路。
（2）解：设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2
解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米。
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）CH是否为从村庄C到河边最近的路，只要能说明三角形CHB是直角三角形即可，依据题目中给出的CB、CH与HB的长，计算能否满足勾股定理的逆定理，满足即为最近的路，不满足则不是最近的路；
（2）可设AC的长为x米，由AB=AC可用含x的代数式将AH表示出来，即x-1.8，由（1）中的结论可知三角形CHB为直角三角形，所以三角形AHC也为直角三角形，将AC、CH与AH代入勾股定理中即可求得x的值。
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