初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.7 二次根式
一、单选题
1．（2019八下·南浔期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·黔东南）下列四个运算中,只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（ ）
①30+3-3=-3 ②③④
A．① B．② C．③ D．④
3．（2019·台湾）若 =2 ， =3 ，则a+b之值为何？（ ）
A．13 B．17 C．24 D．40
4．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
二、填空题
5．（2019八下·嘉兴期末）化简:4 -7 +2 = .
6．（2019八下·义乌期末）
若要使二次根式 -2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
7．（2019·南京）计算 的结果是 .
8．（2019八下·赵县期末）若直角三角形两边的长分别为a、b且满足 +|b-4|=0，则第三边的长是 。
三、计算题
9．（2019八下·南浔期末）计算：
10．（2019八下·赵县期末）计算:
（1）(3 -2 + )÷2
（2）( -1)2+( +2)2-2( -1)( +2)
（3）先化简:再求值．
，其中a=2 ，b=
四、综合题
11．（2019八下·天台期末）计算 .
（1）研究规律：先观察几个具体的式子：
。
。
。
（2）寻找规律：
（3）请完成计算：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、=2， 不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：A
【分析】最简二次根式满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．(3)被开方数不含分母。据此分析判断即可。
2．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】 解：①,不符合题意；
②和 不是同类项，不能相加减，故，不符合题意 ；
③ , 不符合题意；
④, 符合题意。
故答案为：D
【分析】根据零次幂和负指数幂的计算，零次幂等于1，负指数幂等于正指数幂的倒数、同类二次根式的运算，只有同类二次根式才能相加减，积的乘方等于乘方的积及单项式的除法等运算法则逐一计算判断。
3．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ∵ == =2 ，∴a=11，
∵= = =3 ，∴b=6，
∴a+b=11+6=17.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质将分别化为最简二次根式，通过比较即可得出a,b的值，再根据有理数的加法法则即可算出代数式的值。
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：,
由 ， 则b>a, 由, 则b>c, ∴b最大， 又∵ ,则a>c. 故b>a>c.
故答案为:B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
5．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
6．【答案】x≤0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：-x≥0，则x≤0，
故x的取值范围是x≤0 .
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即-x≥0，解不等式即可得出x的取值范围。
7．【答案】0
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式＝2 -2 ＝0.
故答案为：0.
【分析】根据二次根式的性质及分式的性质将被减数进行分母有理化，再约分化为最简形式；根据二次根式的性质将减数化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案。
8．【答案】3或
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据被开方数与绝对值的非负性，
可得出a2-10a+25=0，b-4=0
可得出a=5，b=4，
根据勾股定理可得出第三边=
或者
【分析】根据开方数与绝对值的非负性，可得出a、b的值，分两种情况利用勾股定理求出第三边。
9．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘法和开方运算，化简最简根式，再合并同类项即可。
10．【答案】（1）解：
（2）解：9
（3）解：化简得 值
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1） (3 -2 + )÷2
（2） ( -1)2+( +2)2-2( -1)( +2)
=
（3）
将a=，b=，代入可得出
【分析】（1）根据被开方数的混合运算法则可进行运算。
（2）根据被开方数的混合运算法则可进行运算。
（2）利用公式法，对整式进行化简，再将a、b的值代入求出结果。
11．【答案】（1）；；
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】 解：（1）；
；
；
（2）
【分析】 （1）根据左右相等依次配数字，逐步找规律；
（2）根据题（1）的探索结果，得出一般规律，并验证左右是否相等。
（3）依据（2）的一般规律，用题（2）的右式的形式将求值式表示出来，发现从第二项开始，除首尾项，相邻项相加都等于1，通过这种简便求和算法可以得到求值式的值。
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一、单选题
1．（2019八下·南浔期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、=2， 不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：A
【分析】最简二次根式满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．(3)被开方数不含分母。据此分析判断即可。
2．（2019·黔东南）下列四个运算中,只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（ ）
①30+3-3=-3 ②③④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】 解：①,不符合题意；
②和 不是同类项，不能相加减，故，不符合题意 ；
③ , 不符合题意；
④, 符合题意。
故答案为：D
【分析】根据零次幂和负指数幂的计算，零次幂等于1，负指数幂等于正指数幂的倒数、同类二次根式的运算，只有同类二次根式才能相加减，积的乘方等于乘方的积及单项式的除法等运算法则逐一计算判断。
3．（2019·台湾）若 =2 ， =3 ，则a+b之值为何？（ ）
A．13 B．17 C．24 D．40
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ∵ == =2 ，∴a=11，
∵= = =3 ，∴b=6，
∴a+b=11+6=17.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质将分别化为最简二次根式，通过比较即可得出a,b的值，再根据有理数的加法法则即可算出代数式的值。
4．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：,
由 ， 则b>a, 由, 则b>c, ∴b最大， 又∵ ,则a>c. 故b>a>c.
故答案为:B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
二、填空题
5．（2019八下·嘉兴期末）化简:4 -7 +2 = .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
6．（2019八下·义乌期末）
若要使二次根式 -2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤0
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：-x≥0，则x≤0，
故x的取值范围是x≤0 .
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即-x≥0，解不等式即可得出x的取值范围。
7．（2019·南京）计算 的结果是 .
【答案】0
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式＝2 -2 ＝0.
故答案为：0.
【分析】根据二次根式的性质及分式的性质将被减数进行分母有理化，再约分化为最简形式；根据二次根式的性质将减数化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案。
8．（2019八下·赵县期末）若直角三角形两边的长分别为a、b且满足 +|b-4|=0，则第三边的长是 。
【答案】3或
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据被开方数与绝对值的非负性，
可得出a2-10a+25=0，b-4=0
可得出a=5，b=4，
根据勾股定理可得出第三边=
或者
【分析】根据开方数与绝对值的非负性，可得出a、b的值，分两种情况利用勾股定理求出第三边。
三、计算题
9．（2019八下·南浔期末）计算：
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先算乘法和开方运算，化简最简根式，再合并同类项即可。
10．（2019八下·赵县期末）计算:
（1）(3 -2 + )÷2
（2）( -1)2+( +2)2-2( -1)( +2)
（3）先化简:再求值．
，其中a=2 ，b=
【答案】（1）解：
（2）解：9
（3）解：化简得 值
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1） (3 -2 + )÷2
（2） ( -1)2+( +2)2-2( -1)( +2)
=
（3）
将a=，b=，代入可得出
【分析】（1）根据被开方数的混合运算法则可进行运算。
（2）根据被开方数的混合运算法则可进行运算。
（2）利用公式法，对整式进行化简，再将a、b的值代入求出结果。
四、综合题
11．（2019八下·天台期末）计算 .
（1）研究规律：先观察几个具体的式子：
。
。
。
（2）寻找规律：
（3）请完成计算：
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】 解：（1）；
；
；
（2）
【分析】 （1）根据左右相等依次配数字，逐步找规律；
（2）根据题（1）的探索结果，得出一般规律，并验证左右是否相等。
（3）依据（2）的一般规律，用题（2）的右式的形式将求值式表示出来，发现从第二项开始，除首尾项，相邻项相加都等于1，通过这种简便求和算法可以得到求值式的值。
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