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初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.2.3 正方形
一、单选题
1．（2019九上·简阳期末）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】A选项中对角线互相垂直平分的有菱形和正方形；
B选项中所有的四边形的内角和为360°；
C选项中对角线相等的有矩形和正方形；
D选项中对角线平分内角的有菱形。
故答案为：C
【分析】正方形具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质；菱形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角；矩形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线相等且互相平分。
2．（2019七下·蜀山期中）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（ ）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，
故答案为：A．
【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．
3．（2019九上·天河月考）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相交于点 ，设 .得到以下结论：① ；② ；③ 则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
；（1）
所以①成立；(2)如图延长 交 延长线于点 ，
则：
∴ 为直角三角形 斜边 上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立；(3)∵
∴
∵
∴
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=BM=a，故②成立；
利用等面积法求得BE=，进而求得CP=，故③成立。
4．（2019·德州）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】
∵四边形 是正方形，
， ，
∵ ，
，
，
在 与 中，
，
，
；故①符合题意；
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
∵ ，
，
；故②符合题意；
作 于 ，设 ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
，
∵ ，
，
，
∵ ， ，
，
∵ ，
；故③符合题意，
设 的面积为 ，
∵ ，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的性质可得AN=；根据三线合一的性质和余角关系得∠ADF=∠GMF；分别求出△ANF与四边形CNFB的面积，即可判断面积之比。
5．（2019八上·阳东期末）如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案.已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x >y)表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A．x+y=7 B．x-y=2 C．x2 +y2=25 D．4xy+4=49
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2.
∵x+y表示大正方形的边长，
∴x+y=7，故A不符合题意；
∵x-y表示小正方形的边长，
∴x-y=2，故B不符合题意；
∵x2+y2=(x-y)2+2xy，
∴x2+y2表示小正方形与两个小矩形的面积之和，
∴x2+y2=(49-4)÷4×2+4=26.5≠25，故C符合题意；
∵4xy+4表示大正方形的面积，
∴4xy+4=49，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】观察图形发现，x+y表示大正方形的边长，x-y表示小正方形的边长，4xy+4表示大正方形的面积，进而联系所求得的两个正方形的边长，结合已知图案的总面积，即可求解.
6．（2019八下·乌兰察布期中）下列结论错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】选项A，对角线相等的菱形是正方形，选项A不符合题意；
选项B，对角线互相垂直的矩形是正方形，选项B不符合题意；
选项C，∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，选项C符合题意；
选项D，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据正方形的判定方法解答即可.
二、填空题
7．（2019八上·新昌期中）将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：因为O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，所以阴影部分的面积是正方形面积的 ，即是 ，2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得及正方形的性质可知，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n 1阴影部分的和，进而就可算出答案.
8．（2019八下·义乌期末）
平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为正方形．
【答案】AC=BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD平行四边形，对角线互相平分，
又∵AC⊥BD，
∴根据对角线特征来判断，需添加的一个条件是AC=BD。
故答案为：AC=BD
【分析】根据正方形判定定理之一，即对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
9．（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 .
【答案】3
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
三、解答题
10．（2019九上·天河月考）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.
四、综合题
11．（2019九上·渠县月考）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中
AD=AB ∠BAD=90°
∴∠DAF+∠BAE=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠AFD=∠BEA=90°
∴∠DAF+∠ADF=90°
∴∠BAE=∠ADF
∴△ABE≌△DAF（AAS）
（2）∵△ABE≌△DAF
∴BE=AF=1，DF=AE=AF+EF=1+EF
∵ S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE=6
∴
即
解得 EF=2（EF=-5舍去）
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证得AD=AB，∠BAD=90°，则有∠DAF+∠BAE=90°；再根据已知条件BE⊥AG，DF⊥AG证得∠AFD=∠BEA=90°，由此可得∠DAF+∠ADF=90°，则∠BAE=∠ADF，故可证△ABE≌△DAF。
（2）由△ABE≌△DAF得BE=AF=1，DF=AE=1+EF；而 S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE，故有，即，求解即可。
12．（2019·杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，CE=CG，设小正方形边长CE=x，则DE=1-x，由S1=S2列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH= ，在Rt△DHC中，根据勾股定理求得HD= ，再由HG=HC+CG= ，即HD=HG.
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初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.2.3 正方形
一、单选题
1．（2019九上·简阳期末）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线平分内角
2．（2019七下·蜀山期中）已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（ ）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
3．（2019九上·天河月考）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相交于点 ，设 .得到以下结论：① ；② ；③ 则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2019·德州）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．（2019八上·阳东期末）如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案.已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x >y)表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A．x+y=7 B．x-y=2 C．x2 +y2=25 D．4xy+4=49
6．（2019八下·乌兰察布期中）下列结论错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
二、填空题
7．（2019八上·新昌期中）将2016个边长为1的正方形按照如图所示方式摆放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于
8．（2019八下·义乌期末）
平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点D，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为正方形．
9．（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 .
三、解答题
10．（2019九上·天河月考）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
四、综合题
11．（2019九上·渠县月考）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
12．（2019·杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】A选项中对角线互相垂直平分的有菱形和正方形；
B选项中所有的四边形的内角和为360°；
C选项中对角线相等的有矩形和正方形；
D选项中对角线平分内角的有菱形。
故答案为：C
【分析】正方形具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质；菱形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角；矩形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线相等且互相平分。
2．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，
故答案为：A．
【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．
3．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
；（1）
所以①成立；(2)如图延长 交 延长线于点 ，
则：
∴ 为直角三角形 斜边 上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立；(3)∵
∴
∵
∴
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=BM=a，故②成立；
利用等面积法求得BE=，进而求得CP=，故③成立。
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】
∵四边形 是正方形，
， ，
∵ ，
，
，
在 与 中，
，
，
；故①符合题意；
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
∵ ，
，
；故②符合题意；
作 于 ，设 ， ，则 ， ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
，
∵ ，
，
，
∵ ， ，
，
∵ ，
；故③符合题意，
设 的面积为 ，
∵ ，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质和已知条件证出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性质可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=AB，又证得△AFN∽△CDN，由相似的性质可得AN=；根据三线合一的性质和余角关系得∠ADF=∠GMF；分别求出△ANF与四边形CNFB的面积，即可判断面积之比。
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2.
∵x+y表示大正方形的边长，
∴x+y=7，故A不符合题意；
∵x-y表示小正方形的边长，
∴x-y=2，故B不符合题意；
∵x2+y2=(x-y)2+2xy，
∴x2+y2表示小正方形与两个小矩形的面积之和，
∴x2+y2=(49-4)÷4×2+4=26.5≠25，故C符合题意；
∵4xy+4表示大正方形的面积，
∴4xy+4=49，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】观察图形发现，x+y表示大正方形的边长，x-y表示小正方形的边长，4xy+4表示大正方形的面积，进而联系所求得的两个正方形的边长，结合已知图案的总面积，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】选项A，对角线相等的菱形是正方形，选项A不符合题意；
选项B，对角线互相垂直的矩形是正方形，选项B不符合题意；
选项C，∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，选项C符合题意；
选项D，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据正方形的判定方法解答即可.
7．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：因为O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形对角线的交点，所以阴影部分的面积是正方形面积的 ，即是 ，2016个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得及正方形的性质可知，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n 1阴影部分的和，进而就可算出答案.
8．【答案】AC=BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD平行四边形，对角线互相平分，
又∵AC⊥BD，
∴根据对角线特征来判断，需添加的一个条件是AC=BD。
故答案为：AC=BD
【分析】根据正方形判定定理之一，即对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
9．【答案】3
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
10．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可得AB＝AD，∠DAB＝90°，进而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可证得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性质可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，则有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.
11．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中
AD=AB ∠BAD=90°
∴∠DAF+∠BAE=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠AFD=∠BEA=90°
∴∠DAF+∠ADF=90°
∴∠BAE=∠ADF
∴△ABE≌△DAF（AAS）
（2）∵△ABE≌△DAF
∴BE=AF=1，DF=AE=AF+EF=1+EF
∵ S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE=6
∴
即
解得 EF=2（EF=-5舍去）
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证得AD=AB，∠BAD=90°，则有∠DAF+∠BAE=90°；再根据已知条件BE⊥AG，DF⊥AG证得∠AFD=∠BEA=90°，由此可得∠DAF+∠ADF=90°，则∠BAE=∠ADF，故可证△ABE≌△DAF。
（2）由△ABE≌△DAF得BE=AF=1，DF=AE=1+EF；而 S四边形ABED的面积=S△ABE+S△ADE，故有，即，求解即可。
12．【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，CE=CG，设小正方形边长CE=x，则DE=1-x，由S1=S2列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH= ，在Rt△DHC中，根据勾股定理求得HD= ，再由HG=HC+CG= ，即HD=HG.
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