初中数学华师大版八年级上学期 第11章 11.2 实数
一、单选题
1．（2019·宜昌）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数 的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】因为无理数 略大于3.14，所以D点最适合表示。
【分析】先确定无理数 近似值，然后在数轴上找适合表示的点。
2．（2019·济宁模拟）下列四个实数中，最小的是（ ）
A． B．-5 C．1 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】根据实数大小比较的方法，可得
，
所以四个实数中，最小的数是-5．
故答案为：B．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值答的反而小，据此解答即可.
3．（2019八下·杭州期末）一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）.其中，所需平移的距离最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；勾股定理；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵A、平移的距离＝1+2＝3=，
B、平移的距离＝2+1＝3=，
C、平移的距离＝ ＝ ，
D、平移的距离＝2 =，
又∵＜＜，
∴C图平移的距离最短。
故答案为：C。
【分析】根据平移的性质及等腰直角三角形的性质、勾股定理分别计算出各个图形中平移的距离，然后再比大小即可得出答案。
4．（2019·建华模拟）若x与3互为相反数，则|x|+3等于（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；实数的运算
【解析】【解答】∵x与3互为相反数，
∴x＝﹣3，
∴|x|+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6.
故答案为：D.
【分析】由于3与-3互为相反数，故x=-3，将x的值代入算式，根据绝对值的意义先去绝对值符号，再按有理数的加法法则算出答案。
5．（2019·龙湖模拟）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，则有
A、a＜b，故A选项不符合题意；
B、|a|>|b|，故B选项不符合题意；
C、ab＜0，故C选项不符合题意；
D、-a＞b，故D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】实数在数轴上的表示，有正负性。
二、填空题
6．（2019七下·龙岩期末）请写出一个比2大且比4小的无理数： .
【答案】 （ 或 ）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】设无理数为 ， ，所以x的取值在4~16之间都可，故可填
【分析】这是一道开放型题目，答案不唯一。可以先将2和4化为二次根式，然后从中选择一个符合条件的无理数即可。
7．（2019·北京模拟）如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接 . （写出一个答案即可）
【答案】答案不唯一，如：AD
【知识点】无理数的大小比较；勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得： ， ．
故答案为：答案不唯一，如：AD．
【分析】根据题意连接两个点之后线段的长度大于3且小于4 ，利用勾股定理，符合条件的线段长度有 很多，故答案不唯一。
三、计算题
8．（2019·连云港）计算： .
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据算式平方根的定义、有理数乘法法则、负指数的意义分别化简，再根据有理数加法法则算出答案。
9．（2019七下·博白期末）计算：
【答案】解：原式=3-3-4
=-4．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算。
四、综合题
10．（2019七下·天台期末）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的 大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的 大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中 ， 两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示 以及 的点．（作图过程中标出必要线段长）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【分析】（1）∵∴大正方形边长为 ，即小正方形对角线的长。
（2）由题（1）知小正方形对角线等于 ，则图2圆的半径等于 ，则0点到A的长度为 ，
它表示的数为-（-1），即1- . 0点到B点的长度为+1，相应表示的数为1+ .
（3）∵5=4+1，得()2=22+1， 先把一个无理数的平方表示成两个有理数的平方和，然后以0点为基点，以数轴的正方向的一个单位长度，或两个单位长度为矩形的一边，相应另一边垂直于数轴，长度等于2或1，依此作出矩形，则矩形对角线的长度为，最后以0点为圆心，以此矩形的对角线的长度画弧交数轴的正方向于一点，这点表示的数即是 .
在数轴上再以-3为圆心，以为半径画弧交-3点和0点之间于一点，这点表示的就是 .
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一、单选题
1．（2019·宜昌）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数 的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2019·济宁模拟）下列四个实数中，最小的是（ ）
A． B．-5 C．1 D．4
3．（2019八下·杭州期末）一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）.其中，所需平移的距离最短的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·建华模拟）若x与3互为相反数，则|x|+3等于（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
5．（2019·龙湖模拟）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2019七下·龙岩期末）请写出一个比2大且比4小的无理数： .
7．（2019·北京模拟）如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接 . （写出一个答案即可）
三、计算题
8．（2019·连云港）计算： .
9．（2019七下·博白期末）计算：
四、综合题
10．（2019七下·天台期末）如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的 大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的 大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中 ， 两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示 以及 的点．（作图过程中标出必要线段长）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】因为无理数 略大于3.14，所以D点最适合表示。
【分析】先确定无理数 近似值，然后在数轴上找适合表示的点。
2．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】根据实数大小比较的方法，可得
，
所以四个实数中，最小的数是-5．
故答案为：B．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值答的反而小，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；勾股定理；平移的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵A、平移的距离＝1+2＝3=，
B、平移的距离＝2+1＝3=，
C、平移的距离＝ ＝ ，
D、平移的距离＝2 =，
又∵＜＜，
∴C图平移的距离最短。
故答案为：C。
【分析】根据平移的性质及等腰直角三角形的性质、勾股定理分别计算出各个图形中平移的距离，然后再比大小即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；实数的运算
【解析】【解答】∵x与3互为相反数，
∴x＝﹣3，
∴|x|+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6.
故答案为：D.
【分析】由于3与-3互为相反数，故x=-3，将x的值代入算式，根据绝对值的意义先去绝对值符号，再按有理数的加法法则算出答案。
5．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由数轴得出a＜－1＜0＜b＜1，则有
A、a＜b，故A选项不符合题意；
B、|a|>|b|，故B选项不符合题意；
C、ab＜0，故C选项不符合题意；
D、-a＞b，故D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】实数在数轴上的表示，有正负性。
6．【答案】 （ 或 ）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】设无理数为 ， ，所以x的取值在4~16之间都可，故可填
【分析】这是一道开放型题目，答案不唯一。可以先将2和4化为二次根式，然后从中选择一个符合条件的无理数即可。
7．【答案】答案不唯一，如：AD
【知识点】无理数的大小比较；勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得： ， ．
故答案为：答案不唯一，如：AD．
【分析】根据题意连接两个点之后线段的长度大于3且小于4 ，利用勾股定理，符合条件的线段长度有 很多，故答案不唯一。
8．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据算式平方根的定义、有理数乘法法则、负指数的意义分别化简，再根据有理数加法法则算出答案。
9．【答案】解：原式=3-3-4
=-4．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先算开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算。
10．【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【分析】（1）∵∴大正方形边长为 ，即小正方形对角线的长。
（2）由题（1）知小正方形对角线等于 ，则图2圆的半径等于 ，则0点到A的长度为 ，
它表示的数为-（-1），即1- . 0点到B点的长度为+1，相应表示的数为1+ .
（3）∵5=4+1，得()2=22+1， 先把一个无理数的平方表示成两个有理数的平方和，然后以0点为基点，以数轴的正方向的一个单位长度，或两个单位长度为矩形的一边，相应另一边垂直于数轴，长度等于2或1，依此作出矩形，则矩形对角线的长度为，最后以0点为圆心，以此矩形的对角线的长度画弧交数轴的正方向于一点，这点表示的数即是 .
在数轴上再以-3为圆心，以为半径画弧交-3点和0点之间于一点，这点表示的就是 .
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