初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2.2 直线和圆的位置关系
一、基础巩固
1．（2018九下·梁子湖期中）下列命题中假命题是（ ）
A．六边形的外角和为
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．点 关于x轴对称的点为
D．抛物线 的对称轴为直线
2．（2019九下·东莞月考）已知⊙O的半径是5cm，点O到同一平面内直线a的距离为4cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
3．（2019九下·东莞月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为(3，5)，则B的坐标为 （ ）
A．(0，5) B．(0，7) C．(0，8) D．(0，9)
4．（2019九下·萧山开学考）点P是半径为10的圆O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
5．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、强化提升
6．（2019九下·乐清月考）如图，在平面直角坐标系中，OM与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（ ）
A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）
7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
8．正三角形内切圆与外接圆半径之比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
10．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E= .
11．（2019九下·杭州期中）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连结AD．
（1）求证：AD∥OC．
（2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：
小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；
小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化。
若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x．你认为他们之中谁说的是正确的 若你认为小聪说的正确，请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．
12．（2019九下·南宁月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．
（1）求证：BF与⊙O相切．
（2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．
三、真题演练
13．（2019·广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
14．（2019·上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
15．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A．2 B． C． D．
16．（2019·温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧 上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
17．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E
（1）若⊙O的半径为 ，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、六边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、圆的切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、（2，-3）关于x轴的对称点为（2，3）是真命题，故C不符合题意；
D、抛物线y=x2-4x+2018对称轴应为直线x=2，选项D是假命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、任何多边形的外角和都是360°；所以六边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、根据切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、如果两个点关于x轴对称，则它们的横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以（2，-3）关于x轴的对称点为（2，3）是真命题，故C不符合题意；
D、根据抛物线y=ax2+bx+c对称轴直线公式x=-可知y=x2-4x+2018对称轴应为直线x=2，选项D是假命题，故D符合题意.
2．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】点O到同一平面内直线a的距d＜r，直线与圆相交。
故答案为：A。
【分析】直线与圆的位置关系：d表示圆心到直线的距离，r表示圆半径，则d＜r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离。
3．【答案】D
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接MA、MB，过M作MD⊥BC交于D，
∵⊙M与x轴相切于点A，
∴MA⊥x轴，
∵
M的坐标为(3，5) ，
∴MA=5，MD=3，
在Rt△BDM中，BD= =4，
∴OB=5+4=9，
∴B点坐标为（0，9）。
故答案为：D。
【分析】连接MA，由切线的性质易得圆半径为5，根据垂径定理、勾股定理可求得BD长，即可得到BO长，即可写出B点坐标。
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=8＜r，
∴点P在O内，
∴过点P的直线l与O相交.
故答案为：A.
【分析】根据点和圆的位置关系可得点P在O内，过圆内一点做一条直线可得该直线与O相交.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接MA，MB，过点M作MH⊥BC于点H
∵圆M与x轴相切
∴MA⊥x轴，
∵M（3，5）
∴MA=MB=OH=5，OA=MH=3
在Rt△BMH中
BH=
∴OB=OH+BH=5+4=9
∴点B的坐标为：（0,9）
故答案为：D
【分析】连接MA，MB，过点M作MH⊥BC于点H，根据切线的性质，就可证得MA⊥x轴，再由点M的坐标，就可求出MB、OH、MH的长，利用勾股定理求出BH的长，然后根据OB=OH+BH，求出OB的长，从而可得到点B的坐标。
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8,；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OD：OA=1：2．
故选A．
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
10．【答案】50°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ＝ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由垂径定理可得 ＝ ，所以∠GFD=∠AFC；由弦切角定理可得∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF，∠DFE=∠DCF；由三角形外角的性质可得∠FGD=∠FCD+∠CFA，所以∠EFG=∠EGF，则根据三角形的内角和定理可得∠E=180°-∠EFG-∠EGF可求解。
11．【答案】（1） 证明：连结OD，如图：
，
∵ BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OD=OB，OC=OC，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，
∴∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，
∴∠ODA=∠DOC，
∴AD∥CO.
（2）解：小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：∵∠CDA+∠AOC=y，∠A=x，∴∠ODA=∠OAD=x，∠ODC+∠ODA+∠AOC=y，∵∠ODC=90°，∴90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，∵AD∥CO，∴∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，∴90°+180°=y，即y=270°，∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）连结OD，根据切线性质得∠ODC=∠OBC=90°，由全等三角形判定HL得Rt△ODC≌Rt△OBC，根据全等三角形性质得∠DOC=∠BOC，根据三角形内角和定理和平角得∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，从而可得∠ODA=∠DOC，由平行线判定即可得证.
（2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：根据题意可得90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，由平行线性质得∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，两式联立可得90°+180°=y=270°.
12．【答案】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=2∠4，
∴∠1=∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：∵BC=CF=4，
∴∠F=∠4，
而∠BAC=2∠4，
∴∠BAC=2∠F，
∴∠F=30°，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴BF= = =4 ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=
（180°-∠CAB）=90°-
∠CAB，由于∠CAB=2∠CBF，则∠ABC+∠CBF=90°，则根据切线的判定定理得BF是 O的切线；
（2）根据等边对等角得 ∠F=∠4， 再利用 ∠BAC=2∠4得∠BAC=2∠F， 根据∠F=30°可得∠BAC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得 △ABC为等边三角形， 然后根据勾股定理即可解答.
13．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故答案为：C.
【分析】根据过一个点可作出两条圆的切线，可求解。
14．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故答案为：C
【分析】根据圆的切线的性质，即可得到X，Y，Z之间的关系，根据其关系计算得到圆的半径的长度即可。
15．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA
∵∠ABC=30°弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是圆O的切线，
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴AP=OAtan60°=1× =
故答案为：B
【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。
16．【答案】57
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OF、OE，
∵AB、AC为切线，∴ ，故 ，故 。故答案为：57。
【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。
17．【答案】（1）解： ∵ ⊙O 的半径为，则CD=5，AB=10，CD为直径，得DN⊥BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=。
（2）证明： 连接NO，
ON=OC，则∠ONC=∠OCN，
又∵BD=CD，∠DBC=∠BCD，
∴∠ONC=∠DBC，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BNE=90°，
∴∠BNE=∠A，
故∠ONC+∠BNE=∠DBC+∠A=90°， 则∠ONE=90°.
又ON是半径，则 NE与⊙O相切 。
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中点到三顶点距离相等，得△BDC为等腰三角形，又由直径所对的圆周角是直角得DN⊥BC，由三线合一知BN=CN= .BC的长可由勾股定理得到。
（2）证明切线，一般先把圆心和切点连接，然后再证明垂直，由题（1）知，图中有等腰三角形和直角三角形，通过角的转化，即可证明ON⊥NE，则NE为切线。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2.2 直线和圆的位置关系
一、基础巩固
1．（2018九下·梁子湖期中）下列命题中假命题是（ ）
A．六边形的外角和为
B．圆的切线垂直于过切点的半径
C．点 关于x轴对称的点为
D．抛物线 的对称轴为直线
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、六边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、圆的切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、（2，-3）关于x轴的对称点为（2，3）是真命题，故C不符合题意；
D、抛物线y=x2-4x+2018对称轴应为直线x=2，选项D是假命题，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、任何多边形的外角和都是360°；所以六边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；
B、根据切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；
C、如果两个点关于x轴对称，则它们的横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以（2，-3）关于x轴的对称点为（2，3）是真命题，故C不符合题意；
D、根据抛物线y=ax2+bx+c对称轴直线公式x=-可知y=x2-4x+2018对称轴应为直线x=2，选项D是假命题，故D符合题意.
2．（2019九下·东莞月考）已知⊙O的半径是5cm，点O到同一平面内直线a的距离为4cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】点O到同一平面内直线a的距d＜r，直线与圆相交。
故答案为：A。
【分析】直线与圆的位置关系：d表示圆心到直线的距离，r表示圆半径，则d＜r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离。
3．（2019九下·东莞月考）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为(3，5)，则B的坐标为 （ ）
A．(0，5) B．(0，7) C．(0，8) D．(0，9)
【答案】D
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接MA、MB，过M作MD⊥BC交于D，
∵⊙M与x轴相切于点A，
∴MA⊥x轴，
∵
M的坐标为(3，5) ，
∴MA=5，MD=3，
在Rt△BDM中，BD= =4，
∴OB=5+4=9，
∴B点坐标为（0，9）。
故答案为：D。
【分析】连接MA，由切线的性质易得圆半径为5，根据垂径定理、勾股定理可求得BD长，即可得到BO长，即可写出B点坐标。
4．（2019九下·萧山开学考）点P是半径为10的圆O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=8＜r，
∴点P在O内，
∴过点P的直线l与O相交.
故答案为：A.
【分析】根据点和圆的位置关系可得点P在O内，过圆内一点做一条直线可得该直线与O相交.
5．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
二、强化提升
6．（2019九下·乐清月考）如图，在平面直角坐标系中，OM与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，M的坐标为（3，5），则B的坐标为（ ）
A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接MA，MB，过点M作MH⊥BC于点H
∵圆M与x轴相切
∴MA⊥x轴，
∵M（3，5）
∴MA=MB=OH=5，OA=MH=3
在Rt△BMH中
BH=
∴OB=OH+BH=5+4=9
∴点B的坐标为：（0,9）
故答案为：D
【分析】连接MA，MB，过点M作MH⊥BC于点H，根据切线的性质，就可证得MA⊥x轴，再由点M的坐标，就可求出MB、OH、MH的长，利用勾股定理求出BH的长，然后根据OB=OH+BH，求出OB的长，从而可得到点B的坐标。
7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8,；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
8．正三角形内切圆与外接圆半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OD：OA=1：2．
故选A．
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
9．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
10．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E= .
【答案】50°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ＝ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由垂径定理可得 ＝ ，所以∠GFD=∠AFC；由弦切角定理可得∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF，∠DFE=∠DCF；由三角形外角的性质可得∠FGD=∠FCD+∠CFA，所以∠EFG=∠EGF，则根据三角形的内角和定理可得∠E=180°-∠EFG-∠EGF可求解。
11．（2019九下·杭州期中）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连结AD．
（1）求证：AD∥OC．
（2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：
小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；
小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化。
若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x．你认为他们之中谁说的是正确的 若你认为小聪说的正确，请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．
【答案】（1） 证明：连结OD，如图：
，
∵ BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OD=OB，OC=OC，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°，
∴∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，
∴∠ODA=∠DOC，
∴AD∥CO.
（2）解：小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：∵∠CDA+∠AOC=y，∠A=x，∴∠ODA=∠OAD=x，∠ODC+∠ODA+∠AOC=y，∵∠ODC=90°，∴90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，∵AD∥CO，∴∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，∴90°+180°=y，即y=270°，∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）连结OD，根据切线性质得∠ODC=∠OBC=90°，由全等三角形判定HL得Rt△ODC≌Rt△OBC，根据全等三角形性质得∠DOC=∠BOC，根据三角形内角和定理和平角得∠ODA+∠OAD=∠DOC+∠BOC，从而可得∠ODA=∠DOC，由平行线判定即可得证.
（2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，理由如下：根据题意可得90°+x+∠AOC=y，即x+∠AOC=y-90°，由平行线性质得∠OAD+∠AOC=180°，即x+∠AOC=180°，两式联立可得90°+180°=y=270°.
12．（2019九下·南宁月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF．
（1）求证：BF与⊙O相切．
（2）若BC＝CF＝4，求BF的长度．
【答案】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=2∠4，
∴∠1=∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；
（2）解：∵BC=CF=4，
∴∠F=∠4，
而∠BAC=2∠4，
∴∠BAC=2∠F，
∴∠F=30°，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴BF= = =4 ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=
（180°-∠CAB）=90°-
∠CAB，由于∠CAB=2∠CBF，则∠ABC+∠CBF=90°，则根据切线的判定定理得BF是 O的切线；
（2）根据等边对等角得 ∠F=∠4， 再利用 ∠BAC=2∠4得∠BAC=2∠F， 根据∠F=30°可得∠BAC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得 △ABC为等边三角形， 然后根据勾股定理即可解答.
三、真题演练
13．（2019·广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故答案为：C.
【分析】根据过一个点可作出两条圆的切线，可求解。
14．（2019·上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故答案为：C
【分析】根据圆的切线的性质，即可得到X，Y，Z之间的关系，根据其关系计算得到圆的半径的长度即可。
15．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA
∵∠ABC=30°弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是圆O的切线，
∴OA⊥AP
∴∠OAP=90°
∴AP=OAtan60°=1× =
故答案为：B
【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。
16．（2019·温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧 上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
【答案】57
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OF、OE，
∵AB、AC为切线，∴ ，故 ，故 。故答案为：57。
【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。
17．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E
（1）若⊙O的半径为 ，AC＝6，求BN的长；
（2）求证：NE与⊙O相切.
【答案】（1）解： ∵ ⊙O 的半径为，则CD=5，AB=10，CD为直径，得DN⊥BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=。
（2）证明： 连接NO，
ON=OC，则∠ONC=∠OCN，
又∵BD=CD，∠DBC=∠BCD，
∴∠ONC=∠DBC，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BNE=90°，
∴∠BNE=∠A，
故∠ONC+∠BNE=∠DBC+∠A=90°， 则∠ONE=90°.
又ON是半径，则 NE与⊙O相切 。
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中点到三顶点距离相等，得△BDC为等腰三角形，又由直径所对的圆周角是直角得DN⊥BC，由三线合一知BN=CN= .BC的长可由勾股定理得到。
（2）证明切线，一般先把圆心和切点连接，然后再证明垂直，由题（1）知，图中有等腰三角形和直角三角形，通过角的转化，即可证明ON⊥NE，则NE为切线。
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